Număr pătrat centrat

Un număr pătrat centrat este un număr poligon centrat care reprezintă un pătrat cu un punct în centru și toate celelalte puncte din jur care sunt pe straturi pătrate.

Astfel, fiecare număr pătrat centrat este egal cu numărul de puncte dintr-o anumită distanță, în blocuri , de la punctul central de pe grila pătrată . Numerele pătrate centrate, ca și numerele figurative , au puține, dacă nu există, aplicații practice, dar sunt studiate în matematică distractivă pentru proprietățile lor geometrice și aritmetice elegante.

Cifrele pentru primele patru numere pătrate centrate sunt prezentate mai jos:


$C_{4,1}=1$		$C_{4,2}=5$		$C_{4,3}=13$		$C_{4,4}=25$

Legătura cu alte numere ondulate

Al n-lea număr pătrat centrat este dat de

C_{4,n}=n^{2}+(n-1)^{2}.

Cu alte cuvinte, un număr pătrat centrat este suma a două pătrate consecutive . Următoarele diagrame demonstrează formula:


$C_{4,1}=1$		$C_{4,2}=1+4$		$C_{4,3}=4+9$		$C_{4,4}=9+16$

Formula poate fi reprezentată după cum urmează

C_{4,n}={(2n-1)^{2}+1 \over 2};

deci al n -lea număr pătrat centrat este egal cu jumătate din al n -lea pătrat impar + 1/2 așa cum este ilustrat mai jos:


$C_{4,1}=(1+1)/2$		$C_{4,2}=(9+1)/2$		$C_{4,3}=(25+1)/2$		$C_{4,4}=(49+1)/2$

Ca și alte numere poligonale centrate , numerele pătrate centrate pot fi exprimate în termeni de numere triunghiulare :

C_{4,n}=1+4\,T_{n-1},

Unde

T_{n}={n(n+1) \over 2}={n^{2}+n \over 2}={n+1 \alegeți 2)

este al n -lea număr triunghiular. Acest lucru este ușor de văzut dacă pur și simplu eliminați punctul central și împărțiți pe cele rămase în patru triunghiuri, după cum urmează:


$C_{4,1}=1$		$C_{4,2}=1+4\times 1$		$C_{4,3}=1+4\times 3$		$C_{4,4}=1+4\times 6.$

Diferența dintre două numere octogonale consecutive este un număr pătrat centrat (Conway și Guy, p. 50).

Proprietăți

Primele câteva numere pătrate centrate [1] :

1 , 5 , 13 , 25 , 41 , 61 , 85 , 113 , 145 , 181, 221, 265, 313 , 365 , 421, 481, 575, 613, 613, 613, 681, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3 121 1301 1405 1513 1625 1741 1861 1985 2113 2245 2381 2521 2665 2813 2965 3121 3281 3445 3613 3612 396 4

Toate numerele pătrate centrate sunt impare, iar ultima cifră în reprezentare zecimală dă secvența 1-5-3-5-1.

Toate numerele pătrate centrate și divizorii lor au un rest de 1 atunci când sunt împărțite la 4. Prin urmare, toate numerele pătrate centrate și divizorii lor sunt congruente cu 1 sau 5 modulo 6, 8 sau 12.

Toate numerele pătrate centrate, cu excepția lui 1, au o ipotenuză într-unul dintre triplele pitagoreice (de ex. 3-4-5, 5-12-13).

Prime pătrate centrate

Primele pătrate centrate sunt numere pătrate centrate care sunt, de asemenea, prime . Spre deosebire de numerele pătrate obișnuite , care nu sunt niciodată prime, numerele pătrate centrate multiple sunt prime.

Mai multe prime pătrate centrate [2] :

5, 13, 41, 61, 113, 181, 313, 421, 613, 761, 1013, 1201, 1301, 1741, 1861, 2113, 2381, 2521, 3613, … 3613

Un exemplu remarcabil poate fi văzut în pătratul magic al-Antaakiya din secolul al X-lea.

Vezi și

Numărul de celule din vecinătatea von Neumann de ordinul r coincide cu numărul pătratului centrat cu numărul r
Teoremă privind reprezentarea numerelor prime ca sumă a două pătrate

Note

↑ Secvența OEIS A001844 _
↑ Secvența OEIS A027862 _

Literatură

Alfred, U. (1962), n și n + 1 numere întregi consecutive cu sume egale de pătrate, Mathematics Magazine vol . 35 (3): 155–164
Beiler, A. H. (1964), Recreations in the Theory of Numbers , New York: Dover, p. 125
Conway, John H. & Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers , New York: Copernicus, p. 41–42, ISBN 0-387-97993-X

Link -uri

(n² + 1) / 2 ca caz special pentru M(i, j) = (i² + j) / 2

numere ondulate

apartament

Poligonală clasică	triunghiular Pătrat Pentagonal Hexagonal Heptagonal Octogonal Dodecagonal
Centrat	triunghiular Pătrat Pentagonal Hexagonal Heptagonal Octogonal În nouă unghiuri Decagonală

Piramidal	tetraedric Pătrat piramidal
cu mai multe fațete	cub octaedral Dodecaedral icosaedric Octaedral stelat

cu mai multe fațete	Pentatopic Bisquare