Expozant

Exponentul este o funcție exponențială , unde este numărul Euler . $f(x)=\exp(x)=e^{x}$ $e\aprox 2{,}718$

Definiție

Funcția exponențială poate fi definită în diferite moduri echivalente. De exemplu, prin seria Taylor :

e^{x}=1+\sum _{{n=1}}^{{\infty }}{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2! }+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots

sau peste limita :

e^{x}=\lim _{{n\rightarrow \infty }}\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}

Aici este orice număr complex . $X$

Originea conceptului

Cuvântul expozant provine din lat. „ exponere”, care se traduce prin „propuși ; arată ”, care, la rândul său, provine din lat. prefixele „ ex-” („înainte”) și lat. cuvintele „ ponere” („pune, aranja”); [1] Înțelesul folosirii unui astfel de cuvânt pentru exponent este că semnul exponentului este „plasat în afara” liniei obișnuite de scriere (puțin deasupra și în dreapta locului în care figura ar trebui să fie de obicei plasată). $a^{x}$

Proprietăți

$(e^{x})'=e^{x}$ , și în special, exponențialul este singura soluție a unei ecuații diferențiale cu date inițiale . În plus, soluțiile generale ale ecuațiilor diferențiale omogene sunt exprimate în termeni de exponențial . $y'=y$ $y(0)=1$
Exponentul este definit pe toată axa reală. Pe el, exponentul crește peste tot și este strict mai mare decât zero.
Exponentul este o funcție convexă .
Funcția inversă a acesteia este logaritmul natural . $(\ln x)$
Transformata Fourier a exponentului este o functie generalizata si anume functia delta Dirac .
Transformarea Laplace a exponenţialului este definită în domeniul . $e^{ax)$ $\operatorname {Re} (x)<a$
Derivata la zero este , deci tangenta la exponent in acest punct trece sub un unghi sau . $unu$ $45^{\circ )$ ${\frac {\pi }{4))$
Proprietatea funcțională principală a exponentului, precum și orice funcție exponențială: $\exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)$ .
- O funcție continuă cu această proprietate este fie identic egală cu sau are forma , unde este o constantă. $0$ $\exp(cx)$ $c$

$e^{x}=\operatorname {sh} x+\operatorname {ch} x$ , unde și sunt sinus și cosinus hiperbolice . $\operatorname {sh}$ $\operatorname {ch}$

Exponent complex

Exponentul complex este o funcție matematică dată de relația , unde este un număr complex . Exponentul complex este definit ca continuarea analitică a exponentului unei variabile reale : $f(z)=e^{z}$ $z$ $f(x)=e^{x}$ $X$

Să definim o expresie formală

e^{z}=e^{{x+iy}}=e^{x}\cdot e^{{iy}}

Expresia astfel definită pe axa reală va coincide cu exponentul real clasic. Pentru corectitudinea completă a construcției, este necesar să se dovedească analiticitatea funcției , adică să se arate că se extinde în unele serii convergente către această funcție. Să-l arătăm: $e^{z}$ $e^{z}$

f(z)=e^{z}=e^{x}\cdot e^{{iy}}=e^{{iy}}\sum _{{n=0}}^{\infty }{\ frac {x^{n}}{n!}}

Convergența acestei serii este ușor de demonstrat:

\left|e^{iy}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!)}}\right|\leq \left|\sum _ {n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right|\leq \sum _{n=0}^{\infty }\left|{\frac { x^{n}}{n!}}\right|=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {|x|^{n}}{n!}}=e^{ | x|}

Seria converge absolut peste tot , adică peste tot în general, astfel, suma acestei serii în fiecare punct specific va determina valoarea funcției analitice . Conform teoremei unicității , extensia rezultată va fi unică, prin urmare, pe plan complex, funcția este definită și analitică peste tot. $f(z)=e^{z}$ $e^{z}$

Proprietăți

Exponentul complex este o întreagă funcție holomorfă pe întregul plan complex . În niciun moment nu dispare.
$e^{z}$ este o funcţie periodică cu perioada principală 2 π i : . În virtutea periodicității, exponentul complex este infinit . Ca regiune de univalență , puteți alege orice bandă orizontală cu o înălțime de . $e^{{i\varphi }}=e^{{i(\varphi +2\pi )}}$ $2\pi$
$e^{z}$ - singura funcție până la un factor constant, a cărei derivată (și, în consecință, antiderivată ) coincide cu funcția inițială.
Din punct de vedere algebric, exponentul unui argument complex poate fi definit după cum urmează: $z=x+iy$ $e^{z}=e^{{x+iy}}=e^{x}e^{{iy}}=e^{x}(\cos \,y+i\sin \,y)$ ( formula lui Euler ).
- În special, identitatea Euler deține : $e^{i\pi }+1=0.$

Variații și generalizări

În mod similar, exponentul este definit pentru un element al unei algebre asociative arbitrare . Într-un caz particular, este necesară și dovada existenței acestor limite.

Exponent matrice

Exponentul unei matrice pătrate (sau un operator liniar ) poate fi definit formal prin înlocuirea matricei în seria corespunzătoare:

\exp A=\sum _{{k=0}}^{{\infty }}{\frac {A^{k}}{k!}}.

Seria definită în acest fel converge pentru orice operator cu o normă mărginită, deoarece este dominată de o serie pentru exponentul normei.De aceea, exponentul unei matrice este întotdeauna definit și este el însuși o matrice. $A$ $A\colon$ $\exp\|A\|.$ $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$

Folosind exponentul matricei, este ușor de precizat forma soluției unei ecuații diferențiale liniare cu coeficienți constanți : ecuația cu condiția inițială are soluția sa ${\dot x}=Ax,~~~x\in {\mathbb R}^{n}$ $x(0)=x_{0}$ $x(t)=\exp(At)x_{0}.$

h -exponent

Introducerea exponentului - se bazează pe a doua limită remarcabilă : $h$

e_{{h}}(x)=(1+h)^{{\frac {x}{h}}}.

La , se obține exponentul obișnuit [2] . $h\la 0$

Funcția inversă

Funcția inversă față de funcția exponențială este logaritmul natural . Desemnat : $\ln x$

\ln x=\log _{{e}}x.

Vezi și

Note

Literatură

Lavrent'ev M. A., Shabat B. V. Metode ale teoriei funcțiilor unei variabile complexe. - ediția a 5-a, revizuită. — M.: Nauka, 1987. — 688 p.
Khaplanov M. G. Teoria funcției unei variabile complexe (curs scurt). - Ediția a II-a, revizuită. - M .: Educaţie, 1965. - 209 p.

Link -uri

Un ghid intuitiv pentru funcțiile exponențiale și e | BetterExplained _