Suprafața algebrică

O suprafață algebrică este o varietate algebrică de dimensiunea doi. În cazul geometriei peste câmpul numerelor complexe, o suprafață algebrică are dimensiunea complexă doi (ca o varietate complexă dacă este nesingulară ) și, prin urmare, are dimensiunea patru ca o varietate netedă .

Teoria suprafețelor algebrice este substanțial mai complexă decât teoria curbelor algebrice (inclusiv suprafețele Riemann compacte , care sunt suprafețe autentice de dimensiunea (reala) doi). Cu toate acestea, multe rezultate au fost obținute de școala italiană de geometrie algebrică cu aproape o sută de ani în urmă.

Clasificare după dimensiunea Kodaira

În cazul dimensiunii unu, varietățile sunt clasificate numai după genul topologic , dar în dimensiunea doi, diferența dintre genul aritmetic și genul geometric devine semnificativă, deoarece nu putem distinge birațional doar genul topologic. Introducem noțiunea de neregularitate pentru clasificarea suprafețelor. $p_{a}$ $p_{g)$

Exemple de suprafețe algebrice (aici κ este dimensiunea Kodaira ):

κ=−∞: plan proiectiv , cvadrici în P 3 , suprafețe cubice , suprafață Veronese , suprafețe del Pezzo , suprafețe riglate
κ=0 : suprafețe K3 , suprafețe abeliene , suprafețe Enriques , suprafețe hipereliptice
κ=1: suprafețe eliptice
κ=2: suprafețe de tip general .

Alte exemple pot fi găsite în articolul ''Lista suprafețelor algebrice'' .

Primele cinci exemple sunt de fapt echivalente birațional . Adică, de exemplu, câmpul funcțiilor raționale pe o suprafață cubică este izomorf cu câmpul funcțiilor raționale din planul proiectiv , care este câmpul funcțiilor raționale în două variabile. Produsul cartezian a două curbe este, de asemenea, un exemplu.

Geometria birațională a suprafețelor

Geometria birațională a suprafețelor algebrice este bogată datorită transformării „ explorării” (care este cunoscută și sub denumirea de „transformare monoidală”), în care un punct este înlocuit cu o curbă a tuturor direcțiilor tangente mărginite în el (o linie proiectivă ). Unele curbe pot fi contractate , dar există o limitare (indicele de auto-intersecție trebuie să fie -1).

Proprietăți

Criteriul Nakai afirmă că:

Un divizor D [1] pe o suprafață S este amplu dacă și numai dacă D 2 > 0 și D • C > 0 pentru toate curbele ireductibile C pe S [2] [3] .

Un divizor amplu are proprietatea utilă că este imaginea inversă a divizorului hiperplan al unui spațiu proiectiv ale cărui proprietăți sunt bine cunoscute. Fie un grup abelian format din toți divizorii de pe S . Apoi, după teorema intersecției , ${\mathcal {D}}(S)$

{\mathcal {D}}(S)\times {\mathcal {D}}(S)\rightarrow \mathbb {Z} :(X,Y)\mapsto X\cdot Y

poate fi gândită ca o formă pătratică . Lăsa

{\mathcal {D}}_{0}(S):=\{D\in {\mathcal {D}}(S)|D\cdot X=0

pentru toți

X\in {\mathcal {D}}(S)\}

atunci devine echivalent numeric cu grupul de clasă al suprafeţei S şi ${\mathcal {D}}/{\mathcal {D}}_{0}(S):=Număr(S)$

Num(S)\times Num(S)\mapsto \mathbb {Z} =({\bar {D)), {\bar {E)})\mapsto D\cdot E

devine de asemenea o formă pătratică pe , unde este imaginea divizorului D pe S . ( Litera D este folosită mai jos pentru imagine .) $Num(S)$ ${\bar {D)}$ ${\bar {D)}$

Pentru un snop amplu H pe S definiția

\{H\}^{\perp }:=\{D\in Num(S)|D\cdot H=0\}.

conduce la o versiune a teoremei Hodge despre indicele de la suprafață

căci , adică este o formă pătratică definită negativă.

D\in \{\{H\}^{\perp }|D\neq 0\},D\cdot D<0

\{H\}^{\perp )

Această teoremă este demonstrată folosind criteriul Nakai și teorema suprafeței Riemann-Roch . Pentru toți divizorii din această teoremă este adevărat. Această teoremă nu este doar un instrument pentru studiul suprafețelor, dar a fost folosită de Deligne pentru a demonstra conjecturile Weil , deoarece este adevărată în toate câmpurile închise algebric. $\{H\}^{\perp )$

Rezultatele de bază în teoria suprafețelor algebrice sunt teorema indicelui Hodge și descompunerea în cinci grupuri a claselor de echivalență rațională, care este cunoscută sub numele de clasificarea Enriques-Kodaira sau clasificarea suprafețelor algebrice . O clasă de tip general cu dimensiunea Kodaira 2 este foarte mare (de exemplu, conține suprafețe nesingulare de gradul 5 și mai mare în P 3 ).

Există trei invarianți Hodge numerici de bază pentru o suprafață. Printre acestea se numără h 1,0 , care se numește neregula și notat cu q , și h 2,0 , care se numește genul geometric p g . Al treilea invariant, h 1,1 , nu este un invariant birațional , deoarece explozia poate adăuga curbe complete din clasa H 1,1 . Se știe că ciclurile Hodge sunt algebrice și că echivalența algebrică este aceeași cu echivalența omologică, astfel încât h 1,1 este o limită superioară pentru ρ, rangul grupului Néron-Severi . Genul p a este egal cu diferența

gen geometric - neregularitate.

Acest fapt explică de ce neregula este numită așa, deoarece este un fel de „termen rezidual”.

Note

↑ Definiția unui divizor poate fi găsită în Hartshorne ( Hartshorn 1981 )
↑ Averu și colab., 1985 , p. 119.
↑ Hartshorne, 1981 , p. 459, Teorema 1.10.

Literatură

IV Dolgaciov. Enciclopedia de matematică / Michiel Hazewinkel. - Springer, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .
Oscar Zariski. Suprafețe algebrice. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1995. - (Classics in Mathematics). — ISBN 978-3-540-58658-6 .
J. Averou, L. Bernard-Bergerie, J.-P. Bourgoignon, P. Gauduchon, A. Derdzinski, J. La Fontaine, P. Marry, D. Meyer, A. Polombo, P. Sentenac. Geometrie riemanniană cu patru dimensiuni / Arthur Besse. - M. : „Mir”, 1985.
R. Hartshorne. Geometrie algebrică. - M. : „Mir”, 1981.

Link -uri

Software gratuit SURFER Arhivat 2 iulie 2017 la Wayback Machine pentru vizualizarea suprafețelor algebrice
SingSurf Arhivat 8 mai 2017 la Wayback Machine un vizualizator 3D interactiv pentru suprafețe algebrice.
Pagina despre suprafețele algebrice a început în 2008 Arhivată 3 martie 2016 la Wayback Machine
Prezentare generală și gânduri despre proiectarea suprafețelor algebrice Arhivat 2 aprilie 2017 la Wayback Machine