Poliedru convex

Un politop convex  este un politop care este o mulțime convexă . Acesta este conceptul de bază în problemele de progradare liniară .

Definiții

Un poliedru convex este definit ca învelișul convex al unui număr finit de puncte din spațiul euclidian .

Definiții înrudite

• Un poliedru convex se numește nedegenerat sau solid dacă are puncte interioare.

• O față a unui poliedr convex este intersecția poliedrului cu un semi -spațiu astfel încât niciun punct interior al poliedrului să nu se afle la limita semi-spațiului.
  • Fețele 0-dimensionale se numesc vârfuri,
  • Fețele unidimensionale se numesc muchii.

• Un poliedru solid n-dimensional se numește simplu dacă exact n muchii converg la fiecare dintre vârfurile sale.
  • De exemplu, cubul și dodecaedrul sunt ambele simple.

• Se spune că doi politopi sunt izomorfi combinatoriu dacă rețelele lor faciale sunt izomorfe.

• Graficul unui poliedru  este graficul format din vârfurile și muchiile sale, toate fețele cu dimensiuni mari sunt ignorate.

• Definirea unui poliedru în termeni de hiperplanuri fețe se numește reprezentare H.
• Definirea unui poliedru ca o înveliș convex a vârfurilor sale se numește reprezentare V.

Exemple

• Multe exemple de politopuri convexe mărginite pot fi găsite în articolul „ politop ”.
• În spațiul bidimensional, exemple de poliedre solide sunt un semiplan , o panglică între două linii paralele, un unghi (intersecția a două semiplanuri neparalele), o figură definită de o polilinie convexă cu două raze atașate la capete și un poligon convex .
• Cazurile speciale de poliedre convexe nemărginite sunt o placă între două hiperplane paralele, o pană între două semi -spații neparalele , un cilindru , o prismă nemărginită și un con nemărginit .

• Poliedrele convexe includ: solide platonice , poliedre arhimide , poliedre rombice ( dodecaedru rombic , triacontaedru rombic ), poliedre Goldberg [1] .

Proprietăți

• Un poliedru convex este intersecția unui număr finit de semi -spații închise .
• Un poliedru convex mărginit poate fi construit ca învelișul convex al unui număr finit de puncte.
• Un poliedru convex mărginit, ca orice altă submulțime compactă convexă a lui R n , este homeomorf unei bile închise . [2] Dacă poliedrul este solid, bila are dimensiunea .
  • În special, un politop convex este o varietate cu graniță, caracteristica lui Euler este 1 și grupul său fundamental este trivial.
  • Limita unui politop convex este homeomorfă pentru o sferă ( m  − 1)-dimensională . Caracteristica Euler a graniței este 0 pentru m par și 2 pentru m impar . Limita poate fi gândită ca un parchet cu geometrie sferică ( m  − 1)-dimensională , adică un parchet sferic .

• Fețele unui poliedru convex formează o rețea cu ordine parțială Euler , care se numește rețea feței , unde ordinea parțială este determinată de apartenența fețelor. Definiția unei fețe dată mai sus permite atât poliedrul în sine, cât și mulțimea goală să fie considerate fețe. Întregul politop este singurul element maxim al rețelei, iar mulțimea goală, fiind o față (−1)-dimensională ( politopul gol ), este singurul element minim al politopului.

• După cum a arătat Whitney [3] , rețeaua fețelor unui poliedru tridimensional este determinată de graficul său. Același lucru este adevărat dacă poliedrul este simplu (Blind & Mani-Levitska (1987), Kalai (1988) oferă o demonstrație simplă). Ultimul fapt este un instrument pentru a demonstra că, din punct de vedere al complexității computaționale, problema determinării dacă două poliedre convexe sunt izomorfe din punct de vedere combinator este echivalentă cu problema determinării dacă graficele sunt izomorfe , chiar dacă ne restrângem la clasele simple sau izomorfe. poliedre simplex . [patru]

• Orice poliedru convex admite triangularea cu mulțimea de vârfuri care coincide cu mulțimea de vârfuri a poliedrului. [5]

Variații și generalizări

• poliedru regulat
• Matroida orientată
• Poliedrul naosului

Vezi și

• algoritmul lui Chan

Note

1. ↑ https://scientificrussia.ru/articles/new-class-of-polyhedra-discovered Copie de arhivă din 11 februarie 2017 la Wayback Machine O nouă clasă de forme geometrice a fost numită poliedrul Goldberg
2. ↑ Glen Bredon Topologie și Geometrie . - 1993. - ISBN 0-387-97926-3 , p. 56..
3. ↑ Hassler Whitney. Grafice congruente și conectivitatea graficelor  // Amer. J. Math .. - 1932. - T. 54 , nr. 1 . — S. 150–168 . — .
4. ↑ Volker Kaibel, Alexander Schwartz. {{{title}}} // Grafice și combinatorie. - 2003. - T. 19 , nr. 2 . — S. 215–230 . Arhivat din original pe 21 iulie 2015.
5. ↑ B. Bueler, A. Enge, K. Fukuda. Calcularea exactă a volumului pentru politopi: un studiu practic. Politopii - Combinatorică și calcul .. - 2000. - P. 131 . — ISBN 978-3-7643-6351-2 . - doi : 10.1007/978-3-0348-8438-9_6. .

Link -uri

• Weisstein, Eric W. Poligon convex  (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
• Weisstein, Eric W. Convex polyhedron  (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
• Komei Fukuda , Întrebări frecvente privind calculul poliedric .