Ipoteza lui Cramer

Conjectura lui Cramer este o ipoteză teoretică a numerelor formulată de matematicianul suedez Harald Cramer în 1936, [1] afirmând că

p_{n+1}-p_n=O(\ln ^2 p_n),\

unde denotă al n -lea număr prim , iar O este O mare . În linii mari, aceasta înseamnă că intervalele dintre numerele prime succesive sunt întotdeauna mici. Conjectura Cramer este numită și o afirmație puțin mai puternică: $p_n$

\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\ln ^{2}p_{n}}}=1.

Ipoteza lui Cramer nu a fost încă dovedită sau infirmată.

Justificare euristică

Conjectura lui Cramer se bazează pe un model probabilistic (în esență euristic ) al distribuției primelor, care presupune că probabilitatea ca un număr natural x să fie prim este aproximativ egală cu . Acest model este cunoscut sub numele de Modelul lui Cramer al primelor. Cramer a demonstrat în modelul său că ipoteza menționată este adevărată cu probabilitatea 1 [1] . $\frac{1}{\ln x}$

Rezultate dovedite despre decalajele dintre numere prime

Cramer a dat, de asemenea, o dovadă condiționată a afirmației mai slabe că

p_{n+1}-p_n = O(\sqrt{p_n}\ln p_n)

presupunând adevărata ipoteză Riemann [1] .

Pe de altă parte, E. Westzynthius a demonstrat în 1931 că decalajele dintre numere prime sunt mai mult decât logaritmice. Adică [2]

\limsup_{n\to +\infty}\frac{p_{n+1}-p_n}{\ln p_n}=\infty.

Conjectura Cramer-Granville

Daniel Shanks a propus conjectura de egalitate asimptotică pentru cele mai mari intervale între numere prime care nu depășesc . Ipoteza lui Shanks este oarecum mai puternică decât cea a lui Cramer: [3] $G(x)$ $X$

G(x)\sim \ln ^{2}x.

Într-un model probabilistic

\limsup_{n\rightarrow\infty} \frac{p_{n+1}-p_n}{\ln ^2 p_n} = c,

în care

c = 1.

Dar constanta poate să nu fie aceeași ca pentru cele simple, conform teoremei lui Mayer . Andrew Granville a susținut în 1995 că constanta [4] , unde este constanta Euler . $c$ $c=2e^{-\gamma }\approx 1{,}1229\ldots$ $\gamma$

M. Wolf [5] a propus o formulă pentru distanța maximă dintre numere prime succesive mai mici de . Formula Wolf exprimă în funcție de funcția de distribuție a numerelor prime : $G(x)$ $X$ $G(x)$ $\pi(x)$

G(x)\sim {\frac {x}{\pi (x)))(2\ln \pi (x)-\ln x+c_{0}),

unde , și este de două ori constanta gemenilor prime . $c_{0}=\ln C_{2}=0{,}2778769\dots$ $C_{2}=1{,}3203236\dots$

Thomas Nicely a calculat multe dintre cele mai mari decalaje dintre numere prime. [6] El a testat calitatea conjecturii lui Cramer măsurând raportul R dintre logaritmul primelor și rădăcina pătrată a mărimii decalajului dintre numere prime:

R={\frac {\ln p_{n}}{\sqrt {p_{n+1}-p_{n}}}}.

El a scris: „Pentru decalajele maxime cunoscute între numere prime , R rămâne la aproximativ 1,13”, ceea ce arată, cel puțin în intervalul calculelor sale, că îmbunătățirea Granville a conjecturii lui Cramer nu pare a fi cea mai bună aproximare pentru datele disponibile. .

Vezi și

Teorema numerelor prime
Intervale între numere prime
Ipoteza lui Firuzbekht este o ipoteză mai puternică
Conjectura lui Legendre și conjectura lui Andritz sunt limite superioare mai slabe, dar nu sunt încă dovedite pentru decalajele dintre numere prime.

Link -uri

Weisstein, Eric W. Cramér Conjecture (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Cramér-Granville Conjecture (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .

Note

↑ 1 2 3 Cramér, Harald (1936), Despre ordinul de mărime al diferenței dintre numere prime consecutive , Acta Arithmetica vol. 2: 23–46 , < http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa /aa2/aa212.pdf > Arhivat 23 iulie 2018 la Wayback Machine .
↑ Westzynthius, Erik (1931), Über die Verteilung der Zahlen die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind , Commentationes Physico-Mathematicae Helsingfors T. 5:1-37 .
↑ Shanks, Daniel (1964). „Despre decalajele maxime între numerele prime succesive”. Matematica calculului . Societatea Americană de Matematică. 18 (88): 646-651. DOI : 10.2307/2002951 . JSTOR 2002951 .
↑ Granville, Andrew (1995). „Harald Cramér și distribuția numerelor prime” (PDF) . Jurnalul Actuarial Scandinav . 1 :12-28. Arhivat din original (PDF) la 23.09.2015.
↑ Wolf, Marek (2014). „Distribuția de spațiere în vecinătatea cea mai apropiată a numerelor prime și haosul cuantic” . Fiz. Rev. E. _ 89 :022922.
↑ Frumos, Thomas R. (1999). „Noi decalaje maxime prime și primele apariții” . Matematica calculului . 68 (227): 1311-1315. DOI : 10.1090/S0025-5718-99-01065-0 . MR 1627813 . Arhivat din original pe 30.12.2014.

Ipoteze despre numere prime
Ipoteze	Hardy - Littlewood Ago - Jugi Andritsy Artina Ipoteza Bateman-Horn Brocard Bunyakovsky Ipoteza chineză Kramer Dixon Elliot-Halberstam Firuzbekht Gilbraith Grimm Probleme Landau Goldbach Legendre Numerele gemene Legendre constantă Lemoine Mersenne Opperman Polignac Poyi Redmond - Sunya Ipoteza H Waringa