Ipoteza Legendre

Conjectura lui Legendre (problema a 3-a a lui Landau)  este o presupunere matematică dintr-o familie de rezultate și ipoteze despre intervale dintre numere prime , conform căreia pentru orice natural există un număr prim între și . Este una dintre problemele lui Landau . Formulat de Legendre în 1808, [1] din 2022 nici dovedit, nici infirmat.

Intervalele prime

Din teorema privind distribuția primelor rezultă că numărul de prime între și [2] tinde asimptotic la . Deoarece acest număr crește odată cu creșterea , acest lucru dă temei pentru ipoteza lui Legendre.

Dacă presupunerea este adevărată, intervalul dintre orice prim și următorul prim trebuie să fie întotdeauna de ordinul [3] , iar în -notație intervalul este . Două ipoteze mai puternice, conjectura lui Andritz și conjectura lui Opperman  , presupun același comportament al intervalelor. Ipoteza nu oferă o soluție ipotezei Riemann , dar întărește una dintre consecințe dacă ipoteza este adevărată.

Dacă conjectura lui Cramer este adevărată (că intervalele au ordine ), atunci conjectura lui Legendre va decurge din ea pentru suficient de mare . Cramer a mai arătat că o limită mai slabă a mărimii celui mai mare interval dintre numere prime rezultă din ipoteza Riemann [4] .

Un contraexemplu în jurul valorii de 10 18 ar trebui să aibă un interval de 50 de milioane de ori intervalul mediu.

Din conjectura lui Legendre rezultă că cel puțin un prim poate fi găsit în fiecare jumătate de tură a spiralei Ulam .

Rezultate parțiale

La începutul anilor 2000, sa stabilit că există un număr prim în interval pentru toate marile [5] .

Tabelul cu intervale maxime de numere prime arată [6] că ipoteza este valabilă până la .

S-a demonstrat că pentru un număr infinit de numere ,

unde  este funcția de distribuție a numerelor prime [7] .

Vezi și

• postulatul lui Bertrand
• Ipoteza lui Brocard
• Ipoteza lui Firuzbekht

Note

1. ↑ DOVDAREA ȘI EXTENSIREA IPOTEZEI LEGANDRE ÎN TEORIA NUMERELOR PRIME
2. ↑ Secvența OEIS A014085 . _
3. ↑ Aceasta este o consecință a faptului că diferența dintre două pătrate succesive este de ordinul rădăcinilor lor pătrate.
4. ↑ Stewart, 2013 , p. 164.
5. ↑ Baker, Harman, Pintz, Pintz, 2001 , p. 532-562.
6. ↑ Oliveira e Silva, Herzog, Pardi, 2014 , p. 2033-2060.
7. ↑ Hassani, Mehdi (2006), Numărarea primelor în interval ( n 2 , ( n  + 1) 2 ), arΧiv : math/0607096 . 

Literatură

• Baker RC, Harman G., Pintz G., Pintz J. Diferența dintre numerele prime consecutive, II  //  Proceedings of the London Mathematical Society. - 2001. - Vol. 83 , iss. 3 . - P. 532-562 . - doi : 10.1112/plms/83.3.532 .
• Tomás Oliveira e Silva, Siegfried Herzog, Silvio Pardi. Verificarea empirică a conjecturii Goldbach egale și calculul golurilor prime până la //  Matematica calculului. - 2014. - Vol. 83 , iss. 288 . - P. 2033-2060 . - doi : 10.1090/S0025-5718-2013-02787-1 . 
• Ian Stewart. Viziuni ale infinitului: marile probleme de matematică  (engleză) . - Cărți de bază, 2013. - ISBN 9780465022403 . .

Link -uri

• Weisstein, conjectura lui Eric W. Legendre  (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
• Hashimoto, Tsutomu (2008), Despre o anumită relație între conjectura lui Legendre și postulatul lui Bertrand, arΧiv : 0807.3690 . 
• Mitra, Adway; Paul, Goutam & Sarkar, Ushnish (2009), Câteva conjecturi asupra numărului de numere prime în anumite intervale, arΧiv : 0906,0104 . 
• Paz, German (2013), Despre conjecturile lui Legendre, Brocard, Andirca și Oppermann, arΧiv : 1310.1323 .