Funcția delta

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 14 februarie 2020; verificările necesită 12 modificări .

Funcția Delta (sau măsura delta, δ - funcția, δ - Funcția Dirac, Dirac delta, funcție de impuls unitar ) este o funcție generalizată care vă permite să înregistrați o acțiune punctuală, precum și densitatea spațială a mărimilor fizice (masă, sarcină, intensitatea unei surse de căldură, forță etc. ), concentrată sau aplicată într-un punct.

De exemplu, densitatea unui punct unitar de masă m situat în punctul a în spațiul euclidian unidimensional este scrisă folosind o funcție - sub forma Funcției Delta este de asemenea aplicabilă pentru a descrie distribuția sarcinii, masei etc. pe suprafețe sau linii. . $\R^1,$ $\delta$ $m\delta(xa).$

În ciuda formei comune de scriere, funcția - nu este o funcție a unei variabile reale, ci este definită ca o funcție generalizată : o funcțională liniară continuă pe spațiul funcțiilor diferențiabile. Puteți introduce o derivată pentru funcția δ, care va fi, de asemenea, o funcție generalizată și o integrală, definită ca o funcție Heaviside . Este ușor de găsit secvențe de funcții clasice obișnuite care converg slab către o funcție -. $\delta (x),x\in \mathbb {R} ,$ $\delta$ $\delta$

Este posibil să se facă distincția între funcțiile delta unidimensionale și multidimensionale, cu toate acestea, acestea din urmă pot fi reprezentate ca un produs al funcțiilor unidimensionale într-o cantitate egală cu dimensiunea spațiului pe care este definită funcția multidimensională.

Introdus de fizicianul englez Paul Dirac .

Definiții

Există opinii diferite asupra conceptului de funcție delta. Obiectele rezultate, strict vorbind, sunt diferite, dar au o serie de proprietăți caracteristice comune. Toate construcţiile indicate mai jos se generalizează în mod firesc la cazurile de spaţii de dimensiune superioară . $(\R^n,\n>1)$

Definiție simplă

Funcția delta (funcția Dirac) a unei variabile reale poate fi definită ca o funcție care îndeplinește următoarele condiții: $\delta(x)$

$\delta(x)=\left\{\begin{matrice} +\infty, & x=0, \\ 0, & x\ne 0; \\ \end{matrice}\dreapta.$
$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)\,dx=1.$

Adică, această funcție nu este egală cu zero doar în punctul în care se transformă în infinit, astfel încât integrala sa peste orice vecinătate este egală cu 1. În acest sens, conceptul de funcție delta este similar cu conceptele fizice ale unui punct masa sau o sarcină punctiformă . Pentru a înțelege integrala, este util să ne imaginăm o anumită figură pe un plan cu unitate de arie , de exemplu, un triunghi . Dacă micșorăm baza acestui triunghi și creștem înălțimea astfel încât aria să rămână neschimbată, atunci în cazul limitativ obținem un triunghi cu o bază mică și o înălțime foarte mare. Prin presupunere, aria sa este egală cu unitatea, care este arătată de integrală. În loc de triunghi, puteți folosi orice figură fără pierderea generalității. Condiții similare sunt valabile pentru funcțiile delta definite pe $x=0$ $x=0$ $\mathbb{R}^n.$

Aceste egalități nu sunt de obicei considerate a fi definiția funcției delta, dar în multe manuale de fizică aceasta este definită în acest fel, iar acest lucru este suficient pentru o definiție precisă a funcției delta. Rețineți că această definiție a funcției delta implică următoarea egalitate

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(xy)f(x)\,dx=f(y)

(proprietate de filtrare) pentru orice funcție f . Într-adevăr, datorită proprietății la , valoarea acestei integrale nu se modifică dacă funcția este înlocuită cu funcția , care este egală în punct și are valori arbitrare în alte puncte. De exemplu, luăm , apoi o scoatem din semnul integral și, folosind a doua condiție din definiția funcției delta, obținem egalitatea dorită. $\delta(xy)=0$ $x\ney$ $f(x)$ $\tilde{f}(x)$ $f(x)$ $x=y$ $\tilde{f}(x)=f(y)=\operatorname {const}$ $f(y)$

Derivatele funcției delta sunt, de asemenea, egale cu 0 aproape peste tot și se transformă în la . $\pm\infty$ $x=0$

Definiție clasică

O funcție delta este definită ca o funcțională liniară continuă pe un spațiu funcțional ( spațiul funcțiilor de testare ). În funcție de obiectiv și de proprietățile dorite, acesta poate fi un spațiu de funcții cu suport compact , un spațiu de funcții care descrește rapid la infinit , funcții netede pe o varietate , funcții analitice etc. Pentru a defini derivate ale unei funcții delta cu bune proprietăți , în toate cazurile funcțiile principale sunt considerate ca fiind infinit diferențiabile, spațiul funcțiilor principale trebuie să fie și un spațiu metric complet . Consultați articolul asociat pentru o abordare generală a funcțiilor generice . Astfel de funcții generalizate sunt numite și distribuții .

Vom lua în considerare cea mai simplă opțiune. Ca spațiu al funcțiilor de bază, considerăm spațiul tuturor funcțiilor infinit derivabile de pe interval. Secvența converge către dacă, pe orice mulțime compactă , funcțiile converg către uniform împreună cu toate derivatele lor: ${\mathcal {E}}$ $\varphi_n\in\mathcal{E}$ $\varphi\in\mathcal{E}$ $K\in\R$ $\varphi_n$ $\varphi$

\lim_{n\to\infty}\varphi_n=\varphi\iff\sup_j\sup_{x\in K}\left|\varphi^{(j)}_n(x)-\varphi^{(j)} (x)\right|\xrightarrow{n\to\infty}\,0.

Acesta este un spațiu metrizabil convex local. Definim funcția delta ca o funcțională astfel încât $\delta\in\mathcal{E}^\prime$

\forall\varphi\in\mathcal{E}:\;\lang\delta;\;\varphi\rang=\varphi(0).

Continuitatea înseamnă că dacă , atunci . Iată valoarea funcționalului pe funcție . $\varphi_n\to\varphi$ $\lang\delta;\;\varphi_n\rang\to\lang\delta;\;\varphi\rang$ $\lang\delta;\;\varphi\rang$ $\varphi$

Funcția Colombo delta

Expresiei integrale folosite pentru a lucra cu funcția delta i se poate da un sens apropiat de intuitiv, în cadrul teoriei algebrei funcțiilor Colombo generalizate ( algebra Colombeau engleză ) [1] .

Fie o mulțime de funcții infinit derivabile cu suport compact, adică nu egale cu zero doar pe o mulțime mărginită. Luați în considerare un set de funcții $\mathcal{D}$ $f\colon\R\la\R$

\mathcal{A}=\left\{\varphi\in\mathcal{D}\,\bigg|\int_\R\varphi(x)\,dx=1,\;\int_\R x\varphi(x )\,dx=0\dreapta\}.

O funcție generalizată este o clasă de echivalență de funcții care sunt infinit diferențiabile față de x pentru fiecare și satisfac o anumită condiție de moderare (presupunând că toate derivatele sale în raport cu x cresc destul de lent la ). Se presupune că două funcții sunt echivalente dacă , unde este o altă clasă de funcții cu restricții privind creșterea ca $R\colon\mathcal{A}\times\R\to\R,$ $R\colon(\varphi,\;x)\mapsto R(\varphi,\;x),$ $\varphi\in\mathcal{A}$ $\varphi_\varepsilon(x)=\varepsilon^{-1}\varphi(x\varepsilon^{-1}),$ $R(\varphi_\varepsilon,\;x)$ $\varepsilon\la 0$ $R_1-R_2\in\mathcal{N}$ $\mathcal{N}$ $R(\varphi_\varepsilon,\;x)$ $\varepsilon\la 0.$

Funcția delta este definită ca Avantajul abordării Colombo este că funcțiile sale generalizate formează o algebră asociativă comutativă , în timp ce conceptele de integrare, diferențiere, limite, chiar și valoare într-un punct se extind în mod natural la setul de funcții generalizate. În acest sens, funcția delta poate fi într-adevăr privită ca o funcție egală cu 0 peste tot, cu excepția punctului 0 și egală cu infinitul la zero, deoarece teoria lui Colombo include teoria numerelor infinit mari și infinitezimale, similară analizei nestandard. . $\delta(\varphi,\;x)=\varphi(-x).$

Abordarea lui Egorov

O teorie similară a funcțiilor generalizate a fost prezentată în lucrarea lui Yu. V. Egorov [2] . Deși nu este echivalent cu teoria Colombo, designul este mult mai simplu și are majoritatea proprietăților dorite.

O funcție generalizată este o clasă de echivalență de secvențe.Secvențele sunt considerate echivalente dacă, pentru orice mulțime compactă , funcțiile secvențelor coincid plecând de la un număr: $f=(f_1,\;f_2,\;\ldots),\;f_i\in C^\infty(\R).$ $f$ $\tilde f$ $\Omega\Subset\R$ $\Omega$

f\sim\tilde f\iff\forall\Omega\Subset\R\ \exists N\ \forall k>N\colon f_k|_\Omega={\tilde f}_k|_\Omega.

Tot felul de operații pe secvențe (înmulțire, adunare, integrare, diferențiere, compunere, ...) sunt definite component cu component. De exemplu, integrala multime I este definită ca clasa de echivalență a șirului

\int_I f(x)\,dx=[(a_1,\;a_2,\;\ldots)],\;a_i=\int_I f_i(x)\,dx.

Două funcții generalizate sunt slab egale dacă pentru orice funcție infinit netedă $\varphi$

\lim_{k\to\infty}\int_I(f_k(x)-{\tilde f}_k(x))\varphi(x)\,dx=0.

În acest caz, funcția delta este determinată de orice secvență în formă de delta (vezi mai jos ), toate aceste funcții generalizate sunt slab egale.

Proprietăți

Funcția delta este pară .
Integrala funcției delta pe orice interval care conține zero, adică un interval de forma în care și sunt numere reale pozitive arbitrare, este egală cu 1. $(-a_1,\;a_2),$ $a_{1}$ $a_{2}$
$x\delta^\prime(x)=-\delta(x).$
$\delta(f(x))=\sum_k\frac{\delta(x-x_k)}{|f'(x_k)|}$ , unde sunt zerourile simple ale funcției . $x_k$ $f(x)$

Antiderivată a funcției delta unidimensionale este funcția Heaviside :

\theta (x)=\left\{{\begin{array}{*{35}{l}}0,&x<0,\\1,&x\geqslant 0.\\\end{array} }\dreapta.

Proprietatea de filtrare a funcției delta:

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta(x-x_0)\,dx=f(x_0).

Funcția δ ca limită slabă

Lăsa $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=1.$

Apoi secvența

f_n(x)=nf(nx)

converge slab către funcţia -. $\delta$

Alegerea unei funcții integrabile a cărei integrală definită este egală cu 1 în intervalul de la până la este arbitrară. $f(x),$ ${-\infty }$ ${+\infty }$

De exemplu, deoarece puteți alege funcția sinc : dând secvența: $f(x)$ $f(x)={\frac {\sin \pi x}{\pi x)),$

f_{n}(x)=n{\frac {\sin(n\pi x)}{n\pi x))={\frac {\sin(n\pi x)}{\pi x }}.

Dacă se cere ca toate funcțiile din succesiune să fie peste tot pozitive, se poate alege, de exemplu, funcția Gaussiană normalizată sau orice altă funcție nenegativă de peste tot a cărei integrală este egală cu 1:

f(x)=\frac1{\sqrt{\pi}}e^{-x^2},

f_n(x)=\frac{n}{\sqrt{\pi}}e^{-(nx)^2}.

Reprezentare integrală

În multe aplicații, reprezentarea integrală a funcției delta se dovedește a fi convenabilă:

\delta(t)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{i\omega t}\,d\omega.

Dovada

Luați în considerare integrala

I(t)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty e^{i\omega t}\,d\omega,

(unu)

care poate fi interpretată ca limită

I(t)=\lim _{N\to \infty }I_{N}(t),

Unde

I_N(t)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-N}^N e^{i\omega t}\,d\omega=\frac{1}{\pi}N\ frac{\sin{tN}}{tN}.

(2)

Se știe că

\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{\sin t}{t}\,dt=\pi.

(3)

În virtutea (3), pentru orice , egalitatea este adevărată: $N$

\int\limits_{-\infty}^{\infty}I_N(t)\,dt=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{\sin{tN }}{tN}\,d(tN)=1.

(patru)

Se poate arăta ( vezi mai sus ) că, cu o creștere nelimitată a lui N, pentru funcția (2) toate proprietățile funcției delta se dovedesc a fi adevărate și, într-un anumit sens, tinde să $\delta(t).$

Derivată a funcției delta

Prin definiția derivatei funcției delta : $\delta(x)$

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta^\prime(xa)\,dx=-f^\prime(a)

(extinderea integrării pe părți la cazul integranților care conțin o funcție delta).

În mod similar, pentru derivata a n- a a funcției delta:

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta^{[n]}(xa)\,dx=-\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{\partial f}{\partial x}\delta^{[n-1]}(xa)\,dx.

Și după integrarea de părți de n ori, obținem în sfârșit:

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta^{[n]}(xa)\,dx=\left.(-1)^n\frac{\partial^nf (x)}{\partial x^n}\right|_{x=a}.

Pentru derivata funcției delta, este valabilă următoarea identitate:

f(x)\delta^\prime(x)=f(0)\delta^\prime(x)-f^\prime(0)\delta(x),

care se poate obţine prin diferenţierea produsului . $f(x)\delta(x)$

transformata Fourier

În această secțiune, vom aplica normalizarea corespunzătoare convenției coeficientului unitar în transformarea inversă, adică ținând cont $f(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{i\omega t}\,d \omega.$
Formulele din această secțiune au analogi corespunzători pentru transformarea Fourier multidimensională.

Transformarea Fourier poate fi aplicată funcției delta :

F\left\{\delta(t-t_0)\right\}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \delta(t-t_0)\cdot e^{-i\omega t}\,dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-i\omega\cdot t_0}.

Astfel, spectrul (transformata Fourier) al unei funcții delta centrată la , este o „undă” în spațiul de frecvență, având o „perioadă” . În special, spectrul (transformata Fourier) al unei funcții delta centrată la zero este o constantă (într-un sens liber, o „undă” cu o „perioadă”) infinit: $t_0$ $\frac{2\pi}{t_0}$

F\left\{\delta(t)\right\}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-i\omega\cdot 0} = \frac{1} {\sqrt{2\pi}}.

În consecință, dimpotrivă, funcția delta este transformata Fourier a unei funcții armonice pure sau a unei constante.

Reprezentarea funcțiilor delta multidimensionale în diverse sisteme de coordonate

În spațiul n -dimensional în coordonate carteziene (bază ortonormală):

\int\delta^n(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_n)\,d^nx=1;

\delta^n(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_n)=\delta(x_1)\delta(x_2)\ldots\delta(x_n).

În spațiul 2D:

\iint\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta^2(x,\;y)\,dx\,dy=1;

\delta^2(ax,\;by)=\frac{1}{\left|ab\right|}\delta^2(x,\;y);

\delta^2(x,\;y)=\delta(x)\delta(y).

În coordonate polare:

\delta^2(r,\;\varphi)=\frac{\delta(r)}{2\pi\left|r\right|}

- nedeplasat față de origine (cu o singularitate la r = 0 ),

\frac{\delta(r-r_0)\delta(\varphi-\varphi_0)}{|r|}

— cu o singularitate într-un punct în poziție generală pentru r = 0 este extinsă cu zero.

(r_0,\;\varphi_0);

În spațiul 3D:

\iiiint\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta^3(x,\;y,\;z)\,dx\,dy\,dz=1;

\delta^3(x,\;y,\;z)=\delta(x)\delta(y)\delta(z).

Într -un sistem de coordonate cilindric :

\delta^3(r,\;\theta,\;z)=\frac{\delta(r)\delta(z)}{2\pi r}

— nedeplasat față de origine (cu o singularitate la ),

r=0,\;z=0

\frac{\delta(r-r_0)\delta(\varphi-\varphi_0)\delta(z-z_0)}{|r|}

— cu o singularitate într-un punct în poziție generală pentru r = 0 este extinsă cu zero.

(r_0,\;\varphi_0,\;z_0);

Într -un sistem de coordonate sferice :

\delta^3(r,\;\theta,\;\varphi)=\frac{\delta(r)}{4\pi r^2}

- nedecalată în raport cu originea (cu o singularitate la r = 0 ). În formulele cu o singularitate la origine, se folosesc adesea coeficienți de două ori mai mari (1/π pentru cilindric și polar, 1/2π pentru sferic). Acest lucru se datorează faptului că rezultatul integrării se presupune a fi de două ori mai mic dacă punctul singular se află exact la limita intervalului de integrare.

Interpretare fizică

În apropierea punctului încărcat, câmpul este infinit, seria Taylor pentru câmp nu converg, așa că sunt introduse funcții speciale. O astfel de funcție este funcția delta. Problema câmpului unei particule încărcate punctiforme este relativ complicată, așa că să luăm mai întâi în considerare un exemplu mai simplu.

Instant Boost

Lasă o particulă care se poate deplasa de-a lungul unei linii drepte, la impact de o durată neglijabilă, să dobândească brusc o oarecare viteză. Să ne punem o întrebare: cum să calculăm accelerația dobândită de corp? Să construim un grafic al schimbării vitezei în timp. Graficul va arăta astfel:

Acest grafic este aproape peste tot graficul funcției Heaviside . Derivata funcției Heaviside este o funcție delta unitară, al cărei grafic poate fi descris în mod convențional ca

Acest grafic afișează accelerația infinită cu accelerație instantanee. În general, accelerația impactului poate fi scrisă ca

a(t)=\nu\delta(t-t_a).\

Masa/sarcina unui punct material

Dacă trebuie să găsiți masa totală (sarcina totală) a unei anumite distribuții de densitate (sau densitate de sarcină ), care, împreună cu componenta continuă , conține și mase punctiforme (sarcini), atunci este convenabil în locul unei formule care ia separat luând în considerare densitatea finală continuă și contribuțiile discrete: ${\displaystyle \rho _{\mathrm {contin} ))$

M=\int \rho _{\mathrm {contin} }(\mathbf {x} )\,dV+\sum _{i}m_{i)

unde este vectorul rază al poziției elementului în cauză (pentru claritate, denumirile corespund masei, nu sarcinii), este simplu de scris: $\mathbf {x}$

M=\int \rho (\mathbf {x})\,dV

ceea ce înseamnă că include atât componente continue, cât și de tip delta, adică concentrate în puncte geometrice (câte unul pentru fiecare obiect punctual ), componente: $\rho(\mathbf{x})$ $m_i$

\rho (\mathbf {x} )=\rho _{\mathrm {contin} }(\mathbf {x} )+\sum _{i}m_{i}\delta (\mathbf {x} - \mathbf {x} _{i})

Alte exemple

Funcția delta este utilizată în fizica matematică în rezolvarea problemelor care includ cantități agregate. În limita semiclasică ( ) a mecanicii cuantice , funcțiile de undă sunt localizate în pachete de undă cu anvelope de tip delta (adică având forma unei funcții delta în limită), iar regiunile de localizare a acestora se deplasează de-a lungul traiectoriilor clasice, conform Ecuațiile lui Newton . $\hbar\rightarrow 0$
Transformata Fourier a unității este o funcție delta. Acest lucru face posibilă formularea mai convenabilă și riguroasă din punct de vedere matematic a diferitelor probleme legate de transformata Fourier, care sunt foarte numeroase: optica undelor, acustica și teoria vibrațiilor. În mecanica cuantică, transformatele Fourier ale funcțiilor de undă joacă un rol fundamental și tehnic primordial; tocmai pentru aceasta Dirac a introdus pentru prima dată funcția delta.
Funcțiile delta joacă rolul de funcții proprii ale unui operator cu spectru continuu în reprezentările în care acest operator este diagonal. Astfel, ele joacă rolul unei baze în reprezentarea diagonală a operatorului.
O aplicație importantă a funcțiilor delta este participarea lor în aparatul funcțiilor lui Green ale operatorilor liniari. Pentru un operator liniar care acționează asupra funcțiilor generalizate peste o varietate , ecuația care definește funcția lui Green cu o sursă într-un punct are forma $L$ $M$ $g$ $x_0,$

L\,g(x,\;x_0)=\delta(x-x_0).

Deosebit de comună este aplicarea acestui aparat operatorului Laplace (electrostatică, conductivitate termică, difuzie, teoria mecanică a elasticității) și operatori similari acestuia, cum ar fi operatorul d'Alembert (acustica, electrodinamică, teoria câmpului cuantic, unde Green's). funcția are adesea numele special propagator ).

Pentru laplacianul în funcția lui Green este funcția , astfel încât $\mathbb {R} ^{3}$ $1/r$

\Delta\left(\frac{1}{r}\right)=-4\pi\delta(\mathbf{r}),

unde este distanța până la originea coordonatelor. Acest fapt este folosit pentru a demonstra că expresia potenţialului scalar

r

\Phi (\mathbf {x} )=\int {\frac {\varrho (\mathbf {x} ^{\prime })}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} ^ {\prime }\right|}}\,d^{3}x^{\prime }

satisface ecuația Poisson :

\Delta\Phi=-4\pi\varrho.

Vezi și

Note

↑ Colombeau JF Introducere elementară în noile funcții generalizate. - Amsterdam: Elsevier Science Publishers BV, 1985. - 281 p. — ISBN 978-0-444-87756-7 .
↑ Egorov Yu. V. Despre teoria funcțiilor generalizate // Uspekhi Mat. - 1990. - T. 45 , nr. 5 (275) . - S. 3-40 .

Literatură

Dirac P. A. M. Fundamentele mecanicii cuantice / Per. din engleza. - M. , 1932 (sunt multe retipăriri).
Kudryavtsev L. D. Curs scurt de analiză matematică. - Volumul 2. - ISBN 5-9221-0185-4 .
Weisstein, Eric W. Delta Function (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
Hermander L. Analiza ecuațiilor diferențiale liniare. - Volumul 1.
Hermander L. Operatori liniari diferențiale parțiale.
Gel'fand I. M., Shilov G. E. Funcții generalizate și acțiuni asupra lor.
Krasnopevtsev EA Metode matematice ale fizicii. Întrebări selectate.