Functor uituc

Un functor de uitare ( un functor de ștergere ) este un functor teoretic de categorie care „uită” unele sau toate structurile și proprietățile algebrice ale domeniului original, adică traduce domeniile dotate cu structuri și proprietăți suplimentare în codomenii cu mai puține restricții.

Conceptul nu are o definiție strictă și este folosit pentru a caracteriza calitativ transformările produse de astfel de functori. Pentru o structură algebrică cu un set dat de operații, aceste transformări pot fi descrise ca reducere a semnăturii , de exemplu, un functor uitator este unul care asociază fiecare inel din categoria inelelor ${\mathbf {Rng}}$ cu grupul său abelian aditiv din categorie ${\mathbf {Ab))$ și ia homomorfismele inelelor la homomorfisme de grup . Semnătura poate deveni goală, adică setul purtător al structurii originale se dovedește a fi codomeniul unui astfel de functor; un exemplu de astfel de functor este transformarea grupurilor din categoria grupurilor ${\mathbf {Grp}}$ în mulțimi ale elementelor lor din categoria ${\mathbf {Set}}$ , care transformă homomorfismele în mapări „obișnuite” de mulțimi. Deoarece multe constructe în matematică sunt descrise ca mulțimi cu structură suplimentară, functorul uitator într-un set purtător este cel mai comun exemplu în practică; posibilitatea de a construi un functor uituc în categoria mulţimilor stă la baza noţiunii importante de categorie concretă . În plus, un functor uituc poate păstra structurile, dar în același timp reduce restricțiile asupra proprietăților .

Exemplu

Ca exemplu, putem cita mai mulți functori uitatori din categoria inelelor comutative. Un inel comutativ descris în limbajul algebrei universale este o mulțime < R , +, *, a , 0, 1 > care satisface anumite axiome; aici + și * sunt operații binare pe mulțimea R , a este o operație unară (luând elementul opus prin adunare), 0 și 1 sunt operații zero de luare a elementelor identice prin adunare și înmulțire. Scoaterea unității corespunde unui functor uituc în categoria inelelor fără unitate; eliminarea lui * și 1 corespunde unui functor din categoria grupurilor abeliene , care asociază fiecare inel cu grupul său prin adăugare. Mai mult, fiecare morfism de inele este asociat cu aceeași funcție , considerată doar ca un morfism al grupurilor abeliene. Îndepărtarea întregii semnături corespunde unui functor din categoria mulțimilor.

Ștergerea structurii și proprietăților

Există anumite diferențe între acei functori care „uită structura” și cei care „uită doar proprietăți”. Dacă functorii și operațiile „șterge”, atunci ca exemplu de functor care își pierde proprietățile, putem da o transformare din categoria grupurilor abeliene în categoria grupurilor , care pierde axioma comutativității înmulțirii, dar păstrează toate operațiile. ${\mathbf {Rng}}\la {\mathbf {Ab}}$ ${\mathbf {Grp}}\la {\mathbf {Set}}$

Functorii uitatori sunt aproape întotdeauna univalenți . De exemplu, categoriile concrete sunt definite ca categorii care admit un functor univalent în categoria mulțimilor. Functorii care uită de axiome vor fi întotdeauna complet univalenți .

Functor adjunct stânga

Functorii uitatori au deseori functori conjugați care construiesc obiecte libere . De exemplu:

modul liber : un functor uitator de la (categorie -module ) la are un adjunct stânga corespunzator maparii multimii intr-un modul liber cu baza ; ${\mathbf {Mod}}(R)$ $R$ ${\mathbf {Set}}$ $\operatorname {Free}_{R}$ $X\mapsto \operatorname {Free}_{R}(X)$ $X$ $R$ $X$
grup liber ;
algebră tensorală .

În acest caz, conjugarea este interpretată după cum urmează: luând o mulțime X și un obiect construit pe acesta (de exemplu, un modul M ), mapările seturilor corespund în mod unic mapărilor modulelor . În cazul spațiilor vectoriale , acest lucru se spune de obicei astfel: „mapping-ul este dat de imaginile vectorilor de bază, iar vectorii de bază pot fi trimiși oriunde”, acest fapt este exprimat prin formula: $X\la M$ $\operatorname {Free}_{R}(X)\la M$

\operatorname {Hom}_{{{\mathbf {Mod}}_{R}}}(\operatorname {Free}_{R}(X),M)=\operatorname {Hom}_{{{\mathbf { Set}}}}(X,\operatorname {Uită}(M))

Categoria câmpurilor este un exemplu de categorie în care functorul uitător nu are adjunct: nu există câmp care să satisfacă proprietatea universală liberă pentru mulțimea X .

Literatură

McLane, Saunders . Categories for the Working Mathematician = Categories for the Working Mathematician. - M. : Fizmatlit, 2004. - S. 25. - 352 p. — ISBN 5-9921-0400-4 .