Spațiul tangent al lui Zariski

Spațiul tangent Zariski este o construcție în geometria algebrică care vă permite să construiți un spațiu tangent într-un punct dintr- o varietate algebrică . Această construcție nu folosește metodele de geometrie diferențială , ci doar metodele de algebrei generale și, în situații mai specifice, algebrei liniare .

Motivație

Se consideră o curbă algebrică plană dată de ecuația polinomială

F(x,y)=0.

Să descriem spațiul tangent la această curbă la origine. Înlăturăm din ecuație toți termenii de ordine mai mari decât primul, ecuația rămâne

ax+by=0.

Sunt posibile două cazuri: fie , caz în care spațiul tangent este definit ca întreg planul afin (toate punctele sale satisfac ecuația de mai sus), caz în care originea este un punct singular al curbei. În caz contrar, spațiul tangent este o linie tratată ca un spațiu afin unidimensional. (Mai precis, nu există nicio origine în planul afin original. Cu toate acestea, atunci când definiți spațiul tangent în punctul p , este firesc să alegeți originea în acest punct.) $a=b=0$

Definiție

Spațiul cotangent al unui inel local cu ideal maxim m este definit ca $R$

{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}

unde m 2 este produsul idealurilor . Spațiul cotangent este spațiul vectorial peste câmpul de reziduuri . Spațiul vectorial dual acestuia se numește spațiu tangent R [1] . $k=R/{\mathfrak {m)}$

Această definiție generalizează exemplul de mai sus la dimensiuni mai mari. În linii mari, este inelul de germeni funcționali în punctul p . Acest inel este local, iar idealul său maxim este germenii funcțiilor egale cu zero în p (idealul maxim al unui inel local este format exact din elemente ireversibile). Întrucât punctul p aparține varietății, ne interesează doar elementele m , factorizarea prin m 2 corespunde eliminării termenilor de puteri mari. Deoarece am început cu un inel de funcții, corespunde „funcționale liniare” pe spațiul tangente, adică spațiul dual cu tangenta. $R$ ${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$

Spațiul tangent și spațiul cotangent la schema X în punctul P este spațiul (co)tangent al inelului local . Datorită functorialității lui Spec , harta de factorizare naturală induce un homomorfism , unde X =Spec( R ), P este punctul lui Y =Spec( R/I ). Acest homomorfism este adesea folosit pentru încorporarea în [2] (de exemplu, spațiul tangent al unei varietăți înglobat într-un spațiu afin este încorporat în mod natural în spațiul tangent al unui spațiu afin). Deoarece morfismele câmpurilor sunt injective , suprajecția câmpurilor reziduale induse de g este un izomorfism . Astfel g induce un morfism de k spații tangente, deoarece $T_{P}(X)$ $T_{P}^{*}(X)$ ${\mathcal {O}}_{X,P}$ $f:R\rightarrow R/I$ $g:{\mathcal {O}}_{X,f^{-1}(P)}\rightarrow {\mathcal {O}}_{Y,P}$ $T_{P}(Y)$ $T_{f^{-1}P}(X)$

{\mathfrak {m}}_{P}/{\mathfrak {m}}_{P}^{2}

\cong ({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/I)/(({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2} +I)/I)

\cong {\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2}+I)

\cong ({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/{\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2})/\mathrm { Ker}(k).

Deoarece k este surjectiv (este un homomorfism de factorizare), maparea liniară duală este injectivă (este o încorporare). $k^{*}:T_{P}(Y)\rightarrow T_{f^{-1}P}(X)$

Caz analitic

Dacă V este o subvarietă a unui spațiu vectorial n - dimensional definit de idealul I (idealul funcțiilor egal cu zero pe această varietate), inelul R corespunde inelului F n / I , unde F n este inelul germenilor de funcții netede/analitice/holomorfe pe spațiul vectorial, eu sunt germeni de funcții din ideal. Atunci spațiul tangent Zariski în punctul x este

{\mathfrak {m}}_{x}/(I+{\mathfrak {m}}_{x}^{2}),

unde este idealul funcțiilor de tipul corespunzător, egal cu zero în punctul x . ${\mathfrak {m}}_{x}$

În exemplul curbei algebrice, , și $I=(f)$ $(I+{\mathfrak {m}}_{x}^{2})=(ax+by+{\mathfrak {m}}_{x}^{2}).$

Proprietăți

Dacă R este un inel local noetherian , atunci dimensiunea spațiului tangent nu este mai mică decât dimensiunea lui R :

\mathrm {dim} \;{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\geqslant \mathrm {dim} \;R.

R se numește inel regulat dacă egalitatea este valabilă. Dacă inelul local al unui soi V este regulat într-un punct x , atunci x se spune că este un punct regulat al varietății. În caz contrar, x se numește punct singular .

Există o interpretare a spațiului tangent prin intermediul homomorfismelor în inelul numerelor duale În limbajul schemelor, morfismele din Spec k[t]/t 2 într-o schemă X peste k corespunde alegerii unui punct rațional x ∈ X (k) (puncte cu coordonate din câmpul k ) și un spațiu tangent al elementului în punctul x [3] . Astfel, este logic să numim aceste morfisme vectori tangenți . $k[t]/(t^{2}).$

Note

↑ Eisenbud, 1998 , I.2.2, pg. 26.
↑ Smoothness and the Zariski Tangent Space , James McKernan, 18.726 Spring 2011 Arhivat 19 februarie 2018 la Wayback Machine Lecture 5
↑ Hartshorne, 1977 , Exercițiul II 2.8.

Literatură

Hartshorne R. Geometrie algebrică. — M.: Mir, 1981.
David Eisenbud; Joe Harris (1998). Geometria Schemelor. Springer-Verlag. — ISBN 0-387-98637-5 .
Hartshorne, Robin (1977), Geometrie algebrică, Texte pentru absolvenți în matematică, 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9 , MR 0463157

Link -uri

Spațiu tangent Zariski . VI Danilov , Enciclopedia de matematică.