Inel local obișnuit

Un inel local obișnuit este un inel local Noetherian astfel încât numărul de generatori ai idealului său maxim coincide cu dimensiunea Krull . Numele obișnuit este explicat din motive geometrice. Un punct al unei varietăți algebrice este non- singular ( regulat ) dacă și numai dacă inelul local de germeni ai funcțiilor raționale din punct este regulat. $X$ $X$ $\mathcal{O}_{X, x}$ $X$

Definiții echivalente

Există mai multe definiții utile ale unui inel local obișnuit. În special, dacă este un inel local Noetherian cu ideal maxim , următoarele definiții sunt echivalente: $A$ $\mathfrak m$

Fie ales unde să fie cât mai mic posibil (în orice caz, n nu poate fi mai mic decât dimensiunea Krull). în mod regulat dacă $\mathfrak{m} = (a_1, \ldots, a_n)$ $n$ $A$

\mbox{dim} A = n.

Fie câmpul rezidual al inelului . Apoi în mod regulat dacă $k = A / \mathfrak{m}$ $A$ $A$

\dim _{k}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}=\dim A

, Aici prima dimensiune este dimensiunea spațiului vectorial, iar a doua este dimensiunea Krull.

Fie dimensiunea globală (adică supremația dimensiunilor proiective ale tuturor modulelor .) Atunci în mod regulat dacă $\mbox{gl dim } A$ $A$ $A$ $A$

{\mbox{gl dim }}A<\infty

, în acest caz coincide întotdeauna cu dimensiunea Krull.

\mbox{gl dim } A

Exemple

Orice câmp este un inel local obișnuit. De fapt, câmpurile sunt exact inele locale regulate de dimensiunea 0.
Inelele locale regulate de dimensiunea 1 sunt tocmai inelele de evaluare discrete . În special, inelul seriei de puteri formale ( k este un câmp arbitrar) este un inel local obișnuit. Un alt exemplu este inelul numerelor p -adice . $k[[x]]$
Mai general, un inel formal de serie de puteri este un inel local obișnuit de dimensiunea d . $k[[x_{1},x_{2},\cdots ,x_{d}]]$
Dacă A este un inel obișnuit (vezi definiția de mai jos ), atunci inelul polinoamelor și inelul seriei de puteri formale sunt regulate. $Topor]$ $A[[x]]$
Orice localizare a unui inel obișnuit este obișnuită. De exemplu, este un inel regulat bidimensional care nu conține niciun câmp. $\mathbb Z[x]_{(2,x)}$
Completarea a unui inel obișnuit este obișnuită.

Proprietăți

Teorema Auslander-Buchsbaum afirmă că fiecare inel local obișnuit este factorial.

Dacă este un inel local obișnuit complet care conține un câmp, atunci $(A,\mathfrak{m})$

A \cong k[[x_1, \ldots, x_d]]

unde , și este dimensiunea Krull. $k = A / \mathfrak{m}$ $d$

Originea definițiilor de bază

Definiția unui inel local obișnuit a fost dată de Wolfgang Krull în 1937, [1] dar au devenit celebre datorită lucrării lui Oskar Zariski , [2] [3] care a demonstrat că inelele locale regulate corespund punctelor netede ale varietăților algebrice. Fie Y o varietate algebrică cuprinsă într-un spațiu afin n - dimensional peste un câmp perfect definit ca o mulțime de zerouri comune de polinoame (în n variabile) f 1 ,…, f m . Y este singular într-un punct P dacă rangul matricei Jacobi (matrice (∂ f i /∂ x j )) în acest punct este mai mic decât în alt punct din varietate. Dimensiunea varietății este egală cu diferența dintre n și rangul matricei iacobiene într-un punct non-singular. Zariski a demonstrat că matricea Jacobi P este nesingulară dacă și numai dacă inelul local al lui Y în P este regulat. (Zariski a remarcat, de asemenea, că acest lucru nu este neapărat adevărat pentru câmpurile imperfecte.) Rezultă că netezimea este o proprietate intrinsecă a varietății, adică nu depinde de încorporarea particulară a varietății într-un spațiu afin. În anii 1950, Auslander și Buchsbaum au demonstrat că un inel local obișnuit este factorial.

Multe proprietăți ale inelelor locale au rămas nedovedite până în momentul în care au apărut tehnicile corespunzătoare de algebră omologică . Jean-Pierre Serre a găsit o descriere a inelelor locale regulate în termeni omologici: un inel local A este regulat dacă și numai dacă are dimensiune globală finită . Este ușor de demonstrat că proprietatea de finitate a dimensiunii globale rămâne neschimbată sub localizare. Acest lucru permite definirea regularității pentru toate inelele, nu neapărat pentru cele locale: un inel A se numește regulat dacă localizarea sa în raport cu un ideal prim arbitrar este un inel local regulat. Acest lucru este echivalent cu a spune că A are o dimensiune globală finită. În special, toate inelele Dedekind sunt obișnuite.

Note

↑ Krull, Wolfgang (1937), Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche III, Math. Z .: 745–766
↑ Zariski, Oscar (1940), Varietăți algebrice peste câmpuri de pământ de caracteristică 0, Amer. J Math. T. 62: 187–221
↑ Zariski, Oscar (1947), Conceptul de punct simplu al unei varietăți algebrice abstracte, Trad. amer. Matematică. soc. T. 62: 1–52

Literatură

Jean-Pierre Serre , Algebră locală, Springer-Verlag , 2000 - ISBN 3-540-66641-9 . Capitolul IV.D.