Categoria spațiilor metrice

Categoria spațiilor metrice sau Met este o categorie ale cărei obiecte sunt spații metrice și ale cărei morfisme sunt mapări scurte . (Deoarece compoziția a două mapări scurte este scurtă, aceste obiecte și morfisme formează o categorie.)

Începutul studiului acestei categorii a fost dat de John Isbell .

Săgeți

Monomorfismele din Met sunt mapări injective scurte. Epimorfismele sunt mapări scurte cu o imagine densă peste tot. Izomorfisme - izometrii .

De exemplu, includerea numerelor raționale în numerele reale este un monomorfism și un epimorfism, dar nu un izomorfism.

Spațiul metric gol este obiectul Met inițial ; orice spațiu metric cu un punct este un obiect terminal . Deoarece obiectul de început și obiectele de final sunt diferite, nu există obiecte nule în Met .

Obiectele injective din Met sunt numite spații metrice injective . Spațiile metrice injective au fost introduse și studiate mai întâi de Aronszajn & Panitchpakdi (1956 ), înainte de studiul Met ca categorie; ele pot fi, de asemenea, definite intern în ceea ce privește proprietatea Helly a bilelor lor metrice, iar din cauza acestei definiții alternative au fost numite spații hiperconvexe. Orice spațiu metric are cel mai mic spațiu metric injectiv în care poate fi încorporat izometric, numit carcasă injectivă .

Lucrări

Produsul unui set finit de spații metrice în Met este produsul direct al spațiilor de distanță în spațiul produs definit ca suma distanțelor din spațiile de coordonate.

Produsul unui set infinit de spații metrice poate să nu existe, deoarece distanțele din spațiile de bază pot să nu aibă un supremum. Adică, Met nu este o categorie completă , dar este închisă finit. Nu există niciun coprodus în Met .

Variații și generalizări

Met nu este singura categorie ale cărei obiecte sunt spații metrice; altele includ categoria funcțiilor uniform continue , categoria funcțiilor Lipschitz și categoria mapărilor cvasi-Lipschitz. Mapările scurte sunt atât uniform continue, cât și Lipschitz, cu o constantă Lipschitz cel mult una.

De asemenea, se dovedește a fi convenabil extinderea categoriei de spații metrice, permițând, de exemplu, distanțelor să ia o valoare sau trecerea la spații premetrice, adică abandonând inegalitatea și simetria triunghiului pentru metrică.

Link -uri