Funcția matriceală

În matematică , o funcție de matrice este o funcție care mapează o matrice la o altă matrice.

Extinderea unei funcții scalare la o funcție matriceală

Există mai multe metode de conversie a unei funcții a unei variabile reale într-o funcție a unei matrice pătrate care păstrează proprietățile interesante ale acestei funcții. Toate metodele de mai jos oferă aceeași funcție de matrice, dar domeniile lor pot diferi.

Seria de putere

Dacă o funcție reală poate fi reprezentată ca o serie Taylor $f$

f(x)=f(0)+f'(0)\cdot x+f''(0)\cdot {\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots

atunci funcția matricei poate fi definită prin înlocuirea cu o matrice: puterile devin matrice , adunarea devine suma matricelor, iar înmulțirea devine înmulțirea unei matrice cu un număr. Dacă o serie reală converge la , atunci seria matriceală corespunzătoare converge pentru matricele A care satisfac condiția dintr-o normă matriceală care satisface inegalitatea . $X$ $|x|<r$ $\|A\|<r$ $\|\cdot \|$ $\|AB\|\leq \|A\|\cdot \|B\|$

Descompunerea Jordan

Fie redusă matricea A la o formă diagonală, adică putem găsi o matrice P și o matrice diagonală D astfel încât . Aplicând definiția în termeni de serie de puteri acestei expansiuni, obținem ceea ce este determinat de expresie $A=P\cdot D\cdot P^{-1)$ $fa)$

f(A)=P{\begin{bmatrix}f(d_{1})&\dots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\dots &f(d_{n})\end {bmatrix}}P^{-1},

unde denotă elementele diagonale ale matricei D . $d_{1},\dots,d_{n)$

Orice matrice poate fi redusă la forma normală Jordan , unde matricea J constă din celule Jordan . Luați în considerare aceste blocuri separat și aplicați metoda seriei de putere pentru fiecare celulă Jordan: $A=P\cdot J\cdot P^{-1)$

Această definiție poate fi utilizată pentru a extinde domeniul unei funcții de matrice dincolo de setul de matrici a căror rază spectrală este mai mică decât raza de convergență a seriei de puteri originale. De asemenea, notăm legătura cu diferențele divizate .

Un concept înrudit este descompunerea Jordan-Chevalley , care reprezintă o matrice ca suma unei părți diagonalizabile și a unei părți nilpotente .

Matrici hermitiene

Conform teoremei spectrale , o matrice Hermitiană are doar valori proprii reale și poate fi întotdeauna redusă la formă diagonală printr-o matrice unitară P. În acest caz, definiția iordaniană este firească. Mai mult, această definiție continuă inegalitățile standard pentru funcțiile reale:

Dacă pentru toate valorile proprii ale matricei , atunci . (Prin convenție, este o matrice semidefinită pozitivă ). Dovada rezultă direct din definiție. $f(a)\leq g(a)$ $A$ $f(A)\preceq g(A)$ $X\preceq Y\Leftrightarrow YX$

Cauchy integrală

Formula integrală Cauchy din analiza complexă poate fi, de asemenea, utilizată pentru a generaliza funcțiile scalare la funcțiile matriceale. Formula integrală a lui Cauchy spune că pentru orice funcție analitică f definită pe o mulțime D ⊂ℂ, avem

f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z)}{zx}}\,\mathrm {d} z

unde C este o curbă închisă în interiorul domeniului D care cuprinde punctul x . Să înlocuim acum x cu matricea A și să luăm în considerare conturul C aflat în interiorul lui D și care cuprinde toate valorile proprii ale matricei. Unul dintre contururile posibile C este un cerc cu originea , cu raza , depăşind pentru o normă arbitrară . Apoi este determinat de expresie $\scriptstyle \|A\|$ $\scriptstyle \|\cdot \|$ $fa)$

f(A)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{f(z)(zI-A)^{-1}}\,\mathrm {d} z~.

Această integrală poate fi calculată numeric folosind metoda trapezoidală , care în acest caz converge exponențial. Aceasta înseamnă că acuratețea rezultatului se dublează atunci când numărul de noduri este dublat.

Această idee, aplicată operatorilor liniari mărginiți pe spații Banach , care pot fi considerate fără matrici cu dimensiuni infinite, conduce la un calcul funcțional holomorf .

Perturbații de matrice

Seria Taylor de mai sus permite înlocuirea unui scalar cu o matrice. Dar acest lucru este inadmisibil în cazul general, când descompunerea se realizează în termeni într-o vecinătate a punctului , cu excepția cazurilor în care . Un contraexemplu este o funcție a cărei serie Taylor conține un număr finit de termeni. Să o calculăm în două moduri. $X$ $A(\eta )=A+\eta B$ $\eta =0$ $[A,B]=0$ $f(x)=x^{3)$

Direct:

f(A+\eta B)=(A+\eta B)^{3}=A^{3}+\eta (A^{2}B+ABA+BA^{2})+\eta ^ {2}(AB^{2}+BAB+B^{2}A)+\eta ^{3}B^{3}

Folosind expansiunea Taylor pentru o funcție scalară și înlocuind scalari cu matrici la sfârșit: $f(a+\eta b)$

f(a+\eta b)=f(a)+f'(a){\frac {\eta b}{1!))+f''(a){\frac {(\eta b) ^{2}}{2!}}+f'''(a){\frac {(\eta b)^{3}}{3!}}=a^{3}+3a^{2}( \eta b)+3a(\eta b)^{2}+(\eta b)^{3}\to A^{3}+3A^{2}(\eta B)+3A(\eta B) ^{2}+(\eta B)^{3}

Expresia scalară implică comutativitate , dar expresia matriceală nu, deci nu pot fi echivalate decât dacă condiția este îndeplinită . Pentru unele f(x) se poate face același lucru ca și pentru seria scalară Taylor. De exemplu, pentru : dacă există , atunci . Apoi $[A,B]=0$ $f(x)={\frac {1}{x}}$ $A^{{-1}}$ $f(A+\eta B)=f(E+\eta A^{-1}B)f(A)$

f(E+\eta A^{-1}B)=E-\eta A^{-1}B+(-\eta A^{-1}B)^{2}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }(-\eta A^{-1}B)^{n}

Pentru ca această serie de puteri să converge, este necesar ca norma matricei corespunzătoare să fie suficient de mică. În cazul general, când o funcție nu poate fi rescrisă în așa fel încât două matrici să comute, ordinea înmulțirii matricelor trebuie luată în considerare la aplicarea regulii Leibniz . $\Vert \eta A^{-1}B\Vert$

Exemple

Ecuația algebrică Riccati
Polinom matriceal
Rădăcina matricei
Logaritmul matricei
Exponent de matrice

Clase de funcții matrice

Folosind ordonările matriceale semidefinite ( este o matrice semidefinită pozitivă și este o matrice definită pozitivă), unele clase de funcții scalare pot fi extinse la funcții ale matricelor hermitiene [1] . $X\preceq Y\Leftrightarrow YX$ $X\prec Y\Leftrightarrow YX$

Monotonitatea operatorului

O funcție se numește operator monoton dacă $f$

$0\prec A\preceq H\Rightarrow f(A)\preceq f(H)$ pentru toate matricele autoadjuvante al căror spectru aparține domeniului funcției f . Acesta este analogul funcției monotone pentru funcțiile scalare. $A,H$

Operator convexitate/concavitate

Se spune că o funcție este operator-concavă dacă și numai dacă $f$

\tau f(A)+(1-\tau)f(H)\preceq f\left(\tau A+(1-\tau)H\right)

pentru toate matricele autoadjuvante cu spectru în domeniul funcției f și pentru . Această definiție este similară cu funcțiile scalare concave . O funcție convexă a operatorului poate fi înlocuită cu în definiția anterioară. $A,H$ $\tau \in [0,1]$ $\preceq$ $\succeq$

Exemple

Logaritmul matricei este atât operator-monoton, cât și operator-concav. Pătratul matricei este operator convex. Exponentul matricei nu aparține niciunei dintre clasele specificate. Teorema lui Löwner afirmă că o funcție pe un interval deschis este operator monoton dacă și numai dacă are o continuare analitică la semiplanurile complexe superioare și inferioare astfel încât semiplanul superior este mapat pe el însuși. [unu]

Vezi și

Formula Sylvester
Calcul matriceal
Urmă inegalități

Note

↑ 1 2 Bhatia, R. Matrix Analysis (nedefinită) . - Springer, 1997. - V. 169. - (Texte de absolvire în matematică).

Literatură

Higham, Nicholas J. (2008). Teoria și calculul funcțiilor matricelor . Philadelphia: Societatea pentru Matematică Industrială și Aplicată. ISBN 9780898717778.