În teoria probabilității, două evenimente aleatoare sunt numite independente dacă apariția unuia dintre ele nu modifică probabilitatea de apariție a celuilalt. În mod similar, două variabile aleatoare sunt numite independente dacă valoarea cunoscută a uneia dintre ele nu oferă informații despre cealaltă.
Vom presupune că ni se dă un spațiu de probabilitate fix .
Definiție 1. Două evenimente sunt independente dacă
apariţia unui eveniment nu modifică probabilitatea de apariţie a evenimentului .Observație 1. În cazul în care probabilitatea unui eveniment, de exemplu , este diferită de zero, adică , definiția independenței este echivalentă cu:
adică probabilitatea condiționată a evenimentului în condițiile este egală cu probabilitatea necondiționată a evenimentului .
Definiția 2. Fie o familie (finită sau infinită) de evenimente aleatoare , unde este un set de indici arbitrar . Atunci aceste evenimente sunt independente perechi dacă oricare două evenimente din această familie sunt independente, adică
Definiție 3. Să existe o familie (finită sau infinită) de evenimente aleatoare . Atunci aceste evenimente sunt împreună independente dacă, pentru orice set finit al acestor evenimente, este adevărat:
Observația 2. Independența comună implică în mod evident independența în perechi. În general, invers nu este adevărat.
Exemplul 1. Aruncă trei monede echilibrate. Să definim evenimentele după cum urmează:
Este ușor să verificați dacă oricare două evenimente din acest set sunt independente. Cu toate acestea, cei trei sunt dependenți colectiv, pentru că știind, de exemplu, că evenimentele s-au întâmplat , știm exact ce s- a întâmplat. Mai formal: . Pe de altă parte, .
Definiție 4. Fie două sigma-algebre pe același spațiu de probabilitate. Ei sunt numiți independenți dacă oricare dintre reprezentanții lor sunt independenți unul de celălalt, adică:
.Dacă în loc de două există o întreagă familie (posibil infinită) de sigma-algebre, atunci independența perechilor și comună este definită pentru aceasta într-un mod evident.
Definiție 5. Fie dată o familie de variabile aleatoare , astfel încât . Atunci aceste variabile aleatoare sunt independente pe perechi dacă algebrele sigma generate de ele sunt independente pe perechi . Variabilele aleatoare sunt independente reciproc dacă algebrele sigma generate de acestea sunt.
Trebuie menționat că, în practică, cu excepția cazului în care se deduce din context, independența este considerată ca fiind independența în ansamblu .
Definiția dată mai sus este echivalentă cu oricare dintre următoarele. Două variabile aleatoare sunt independente dacă și numai dacă :
unde denotă produsul (direct) al măsurilor .
unde sunt densitățile variabilelor aleatoare și, respectiv.
În cazul general, pentru oricine se poate vorbi de independenţă -ariană. Ideea este similară: o familie de variabile aleatoare este -arno independentă dacă orice submulțime a cardinalității sale este independentă colectiv. Independența -ary a fost folosită în informatica teoretică pentru a demonstra teorema problemei MAXEkSAT .
Dicționare și enciclopedii |
---|