Copulă

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 15 iulie 2020; verificările necesită 2 modificări .

Copula ( lat. copula „conexiune, snopi”) este o funcție de distribuție multidimensională definită pe un cub de unitate -dimensională , astfel încât fiecare dintre distribuțiile sale marginale să fie uniformă pe interval . $n$ $[0,\;1]^{n}$ $[0,\;1]$

Teorema lui Sklar

Teorema lui Sklar este următoarea: pentru o funcție de distribuție bidimensională arbitrară cu funcții de distribuție marginală unidimensională și există o copula astfel încât $H(x,\;y)$ $F(x)=H(x,\;\infty )$ $G(y)=H(\infty ,\;y)$

H(x,\;y)=C(F(x),\;G(y)),

unde identificăm o distribuție cu funcția ei de distribuție. Copula conține toate informațiile despre natura relației dintre două variabile aleatoare care nu se găsesc în distribuțiile marginale, dar nu conține informații despre distribuțiile marginale. Ca urmare, informațiile despre marginali și informațiile despre dependența dintre ei sunt separate printr-o copula unul de celălalt. $C$

Unele proprietăți ale copulei sunt:

C(u,\;0)=C(0,\;v)=0,

C(u,\;1)=u;\quad C(1,\;v)=v.

Fréchet-Hoefding limite pentru copulă

Copula minimă este limita inferioară pentru toate copulele, doar că în cazul bidimensional corespunde unei corelații strict negative între variabile aleatoare:

W(x,\;y)=\max(0,\;x+y-1).

Copula maximă este limita superioară pentru toate copulele, corespunde unei corelații strict pozitive între variabile aleatoare:

M(x,\;y)=\min(x,\;y).

Copule arhimediene

O formă simplă specială de copula:

C(x,\;y)=\Psi ^{{-1}}(\Psi (x)+\Psi (y)),

unde se numește funcție generatoare . Astfel de copule se numesc arhimedei . Orice funcție generatoare care îndeplinește următoarele proprietăți servește drept bază pentru o copula adecvată: $\psi$

\Psi (1)=0;\quad \lim _{{x\to 0}}\Psi (x)=\infty ;\quad \Psi '(x)<0;\quad \Psi ''(x) >0.

O copula de produs , numită și copula independentă , este o copula care nu are dependențe între variabile, funcția sa de densitate este întotdeauna egală cu unu.

\Psi (x)=-\ln(x);\quad C(x,\;y)=xy.

copula lui Clayton:

\Psi (x)=x^{\theta }-1;\quad \theta \leqslant 0;\quad C(x,\;y)=(x^{\theta }+y^{\theta }-1 )^{{1/\theta }}.

Pentru că în copula lui Clayton, variabilele aleatoare sunt independente statistic . $\theta=0$

Abordarea funcției generatoare poate fi extinsă pentru a crea copule multidimensionale prin simpla adăugare de variabile.

Copula empirică

Când se analizează date cu o distribuție necunoscută, este posibil să se construiască o „copula empirică” prin convoluție în așa fel încât distribuțiile marginale să fie uniforme. Din punct de vedere matematic, aceasta poate fi scrisă astfel:

C_{n}\left({\frac {i}{n)),{\frac {j}{n}}\right)={\frac {1}{n}}\cdot

Numărul de perechi astfel încât

(X y)

x\leq x_{{(i)}}{\text{ and }}y\leq y_{{(j)}}\,,1\leq i\leq n,1\leq j\leq n

unde x ( i ) reprezintă statistica de ordinul i a lui x .

copulă gaussiană

Copulele gaussiene sunt utilizate pe scară largă în sectorul financiar. Pentru cazul n-dimensional, copula poate fi reprezentată ca [1] [2] :

C\left[G_{1}(u_{1}),...,G_{n}(u_{n})\right]=\Phi _{n}\left[\Phi ^{- 1}(G_{1}(u_{1})),...,\Phi ^{-1}(G_{n}(u_{n})),\rho _{\Phi }\right]

Unde:

$G_{i}(u_{i})$ — distribuții private;
$\Phi _{n)$ — distribuție normală a articulației n-dimensionale cu o matrice de corelație semidefinită pozitivă a dimensiunii ; $\rho _{\Phi )$ $n\ ori n$
$\Phi ^{-1}$ este funcția inversă a distribuției gaussiene.

Aplicații

Modelarea dependenței de copulă este utilizată pe scară largă în evaluarea riscului financiar și analiza asigurărilor, de exemplu, în stabilirea prețului obligațiilor de creanță garantate (CDO) [3] . În plus, copulele au fost aplicate și altor sarcini de asigurare ca instrument flexibil.

Vezi și

Independență (teoria probabilității)

Note

↑ Meissner, Gunter. 4.3.1 Copula Gaussiană // Modelarea și managementul riscului de corelație : un ghid aplicat care include cadrul de corelare Basel III . - Wiley, 2014. - P. 76. - ISBN 111879690X .
↑ Blagoveshchensky Yu. N. Principalele elemente ale teoriei copulelor // Applied Econometrics. - 2012. - Nr 2 (26) . - S. 113-130 .
↑ Meneguzzo, David (2003), Copula sensitivity in collateralized debt obligations and basket default swaps , Journal of Futures Markets vol. 24 (1): 37–70 , DOI 10.1002/fut.10110

Literatură

Blagoveshchensky Yu. N. Elementele principale ale teoriei copulelor // Applied Econometrics, No. 2 (26), 2012. P. 113-130.
Clayton David G. Un model de asociere în tabelele de viață bivariate și aplicarea acestuia în studiile epidemiologice ale tendinței familiale în incidența bolilor cronice. - Biometrica . - 1978. - 65. - pp. 141-151. JSTOR (abonament)
Frees, EW, Valdez, EA Înțelegerea relațiilor folosind copulele. — Jurnalul Actuarial din America de Nord. - 1998. - 2. - pp. 1-25.
Nelsen Roger B. O introducere în copule. - Springer , 1999. - 236 p. — ISBN 0-387-98623-5 .
Rachev S., Menn C., Fabozzi F. Fat-Tailed and Skewed Asset Return Distributions. - Wiley, 2005. - 369 p. — ISBN 0-471-71886-6 .
Sklar A. Fonctions de répartition à n dimensions et leures marges. - Publications de l'Institut de Statistics de L'Université de Paris. - 1959. - 8. - pp. 229-231.

Link -uri

Weisstein, Teorema lui Eric W. Sklar (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
Exemple de generare de copule în Matlab

Distribuții de probabilitate
Discret	Bernoulli Binom Geometric hipergeometrică Logaritmic Binom negativ Poisson Uniformă discretă Multinom
Absolut continuu	Beta Weibulla Gamma- hiperexponenţială Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormal Normal (Gauss) Logistică Nakagami Pareto Pearson semicircular uniformă continuă Orez Rayleigh Student Tracey - Vidoma Pescar Chi-pătrat Exponenţial Varianta-gama Normal multivariat copulă