Suprafata Veronesa

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 10 septembrie 2018; verificarea necesită 1 editare .

O suprafață Veronese este o suprafață algebrică într-un spațiu proiectiv cu cinci dimensiuni , care este realizată ca o imagine a înglobării Veronese . Există, de asemenea, o generalizare a înglobării veronese la dimensiuni arbitrare ale spațiilor proiective. Numit după matematicianul italian Giuseppe Veronese .

Definiție

Suprafața Veronese este imaginea înglobării Veronese, adică a cartografierii

\nu :\mathbb {P} ^{2}\la \mathbb {P} ^{5}

date prin formule

\nu :[x:y:z]\mapsto [x^{2}:y^{2}:z^{2}:yz:xz:xy]

unde denotă coordonatele omogene ale unui punct din planul proiectiv. $[x:\ldots ]$

Motivația pentru definiție

Suprafața Veronese apare în mod natural în studiul conicilor , mai ales atunci când se demonstrează afirmația „cinci puncte definesc în mod unic o conică”. O conică este o curbă plană dată de ecuație

Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dxz+Eyz+Fz^{2}=0,

care este pătratică în raport cu variabilele.Totuși , compoziția cu înglobarea veroneză ne permite să facem această ecuație liniară (mai precis, pentru a obține o conică arbitrară, este suficient să intersectăm suprafața veroneză cu un hiperplan și să luăm imaginea inversă a intersecția). În schimb, condiția ca conica să conțină un punct este liniară în raport cu coeficienții și, prin urmare, reduce dimensiunea spațiului cu unul. O afirmație mai precisă este că cinci puncte în poziție generală definesc cinci ecuații liniare independente, acest lucru rezultă din faptul că, în încorporarea Veronesei, punctele în poziție generală merg la punctele în poziție generală. $x,y,z.$ $[x:y:z]$ $(A,B,C,D,E,F)$

Suprafață și conice veroneze

Suprafața Veronesă poate fi legată de geometria conicilor într-un alt mod, într-un sens dual cu cel descris mai sus. Am văzut că conica este definită ca , adică i se asociază un vector diferit de zero (pentru simplitate, vom presupune că câmpul de bază este câmpul numerelor complexe). Vectorii proporționali definesc aceeași conică, deci de fapt coniculele sunt parametrizate prin proiectivizarea ei, . Cu alte cuvinte, coniculele din plan pot fi reprezentate ca puncte într-un spațiu proiectiv cu cinci dimensiuni; în acest caz, creionul conicilor va fi reprezentat prin puncte situate pe o singură linie dreaptă și așa mai departe. După cum se știe, conicile plate pot fi degenerate și nedegenerate, în plus, cele degenerate pot fi fie o pereche de linii, fie o linie dublă. Ce obiecte geometrice parametriză conici degenerate? $\mathbb {P} ^{2}$ $Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dxz+Eyz+Fz^{2}=0$ $(A,B,C,D,E,F)\in \mathbb {C} ^{6}$ $\mathbb {P} ^{5}$ $\mathbb {P} ^{5}$

Linia dublă este o conică cu ecuația . Liniile simple, simple sunt parametrizate de planul proiectiv dual ; „dublarea” liniei drepte va defini o mapare de la spațiul care parametriază conici. Lărgând parantezele, vedem cum să-l scriem în mod explicit: , de unde avem , ceea ce este echivalent cu maparea Veronese până la o transformare liniară. $(Lx+My+Nz)^{2}=0$ $\mathbb {P} ^{2}$ $\left(\mathbb {P} ^{2}\right)^{*}$ $\mathbb {P} ^{5}$ $(Lx+My+Nz)^{2}=L^{2}x^{2}+2LMxy+M^{2}y^{2}+2LNxz+2MNyz+N^{2}z^ {2}$ $(A,B,C,D,E,F)=(L^{2},2LM,M^{2},2LN,2MN,N^{2})$

Dacă suprafața Veronesă parametriză linii duble, atunci ce parametriază restul conicilor degenerate? Este ușor să scrieți o ecuație pentru o astfel de varietate: de fapt, conica poate fi considerată ca o formă pătratică dată de matrice . Dispariția determinantului său înseamnă că conica corespunzătoare nu este netedă; ecuație de gradul trei în coeficienți de matrice și definește o suprafață cubică în . $Q={\begin{pmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{pmatrix)).$ $\det Q=0$ $\mathbb {P} ^{5}$

Această suprafață are, de asemenea, o variantă geometrică. După cum știm, liniile în reprezintă snopi de conice plate. Este ușor de arătat că liniile tangente la suprafața Veronese definesc un creion de conice de următoarea formă: fixăm o dreaptă și un punct și rotim a doua linie în jurul acestui punct. Prin urmare, varietatea cvadricilor degenerate este unirea tuturor planurilor tangente la suprafața Veronesă. $\mathbb {P} ^{5}$ $\ell$ $p\in \ell$

Există două fapte geometrice interesante legate de aceasta. După cum se știe, în spațiul cu cinci dimensiuni două plane luate aleatoriu nu au puncte comune (la fel cum în spațiul tridimensional se intersectează două drepte luate aleatoriu). Totuși, două plane care sunt tangente la suprafața Veronese au un punct de intersecție: și anume, dacă luăm punctele suprafeței Veronese corespunzătoare dreptelor duble cu ecuațiile și , atunci planurile tangente din ele au un punct comun - reprezentând o cvadrică cu ecuația . Acest lucru este cu atât mai remarcabil cu cât suprafața Veronesă nu se află în niciun hiperplan (și în spațiul proiectiv cu patru dimensiuni se intersectează orice două planuri). Pentru comparație, dacă o curbă în are proprietatea că două dintre tangentele sale se intersectează, atunci această curbă se află într-un anumit plan. $L_{1}(x,y,z)^{2}=0$ $L_{2}(x,y,z)^{2}=0$ $L_{1}L_{2}=0$ $\mathbb {P} ^{4}\subset \mathbb {P} ^{5)$ $\mathbb {P} ^{3}$

Un alt fapt, într-o oarecare măsură, este o reformulare a primului. În principiu, am putea considera nu unirea tuturor dreptelor sale tangente, ci unirea tuturor secantelor sale. Ar conține o varietate de tangente, deoarece o tangentă este poziția limită a unei secante, dar ar putea fi mai mare. De fapt, dacă două puncte ale suprafeței Veronese sunt drepte duble cu ecuații și , atunci coniculele din creionul generate de acestea vor avea ecuații de forma , și deci au o singularitate în punctul de intersecție a dreptelor și . Astfel, varietatea secantelor unei suprafețe veronese este epuizată de varietatea tangentelor. Acesta este un eveniment rar. Un calcul naiv al dimensiunilor ar arăta că varietatea secantă este cinci-dimensională: sunt necesari patru parametri pentru a determina două puncte de pe suprafață și încă unul pentru a determina poziția unui punct pe coarda care le subtinde. În cazul unei suprafețe generale, acest calcul naiv al dimensiunilor funcționează și, prin urmare, varietatea sa secantă va fi tot . De exemplu, un cub răsucit (numit și curba Veronese) se comportă într-un mod similar : prin orice punct din spațiu, puteți trage o linie dreaptă care îl intersectează de două ori (sau îl atinge într-un punct, dar cu o multiplicitate de două) . În cazul suprafeței Veronese, calculul dimensiunilor eșuează, deoarece prin fiecare punct prin care trece secantele trece, de fapt, nu una, ci o întreagă familie de secante cu un singur parametru. Acest fenomen se numește insuficiență secantă . $L_{1}(x,y,z)^{2}=0$ $L_{2}(x,y,z)^{2}=0$ $aL_{1}^{2}+bL_{2}^{2}=0$ $L_{1}=0$ $L_{2}=0$ $\mathbb {P} ^{5}$ $\mathbb {P} ^{5}$ $\mathbb {P} ^{3}$

Această suprafață uimitoare bântuie geometrii până în ziua de azi, în plus, în cele mai neașteptate forme. Deci, putem lua în considerare o acoperire dublă ramificată într-o curbă de genul șase - aceasta va fi o suprafață K3 , notă cu litera . Imaginea inversă a unei linii drepte va fi o curbă pe această suprafață, și anume o acoperire dublă ramificată în șase puncte, adică o curbă de genul 2 . În consecință, o conică în poziție generală se va ridica la o acoperire cu două foi ramificate în puncte. Din calculul caracteristicii lui Euler, avem . Sistemul liniar al unei curbe de gen pe o suprafață K3 este întotdeauna -dimensional, adică indiferent de modul în care am deforma curba ridicată pe , va rămâne totuși o ridicare a unor conici (deoarece coniculele din plan sunt date și de cinci parametri). Cu acest sistem liniar se poate asocia varietatea de module de snopi cu suporturi în astfel de curbe; va fi o varietate holomorfică simplectică cu o fibrație lagrangiană (maparea unei proiecții este alocarea unui snop a suportului său sau, mai precis, a cvadricii de pe care se ridică acel suport). Este interesant prin faptul că vectorul său Mukai nu este primitiv și, prin urmare, nu este neted. Straturile sale speciale corespund curbelor speciale. Uneori, curbe speciale se ridică din cvadrici netede - în cel mai simplu caz, cele care au o singură tangență cu sextica ramificată. Dar toate cvadricele speciale, desigur, se ridică la curbe speciale. În acest caz, fibrele singulare peste punctele corespunzătoare perechilor de linii vor fi de asemenea reductibile — o componentă va parametriza snopii pe preimaginea unei linii, iar cealaltă pe preimaginea celeilalte. Astfel, în locusul discriminant al unei astfel de fibrații lagrangiane va exista o componentă dispusă ca o varietate de secante ale suprafeței Veronese; straturile de deasupra acestuia vor fi reductibile și împărțite în două componente. Mai mult, monodromia din jurul suprafeței Veronese va permuta o pereche de linii și, prin urmare, două componente ireductibile ale fibrei; dacă un astfel de mănunchi ar avea cel puțin o secțiune omologică, atunci ar intersecta în mod necesar ambele componente ireductibile și, prin urmare, ar intersecta un strat neted cu multiplicitatea 2, și nu 1. Astfel, un astfel de mănunchi lagrangian nu admite o secțiune topologică, care dă un contraexemplu unei ipoteze a lui Bogomolov . Pe de altă parte, prin modificarea straturilor speciale, se poate realiza ca monodromia să dispară și să apară o secțiune; dar acest lucru schimbă tipul topologic al varietății - din schema Hilbert devine o varietate O'Grady excepțională cu 10 dimensiuni . $\mathbb {P} ^{2}$ $S$ $\mathbb {P} ^{1}$ $2\cdot 6=12$ $2-2g=2(2-12)+12$ $g=5$ $g$ $g$ $S$ $S$

Cartografierea lui Veronese

O mapare Veronese de gradul d dintr -un spațiu proiectiv n - dimensional este o mapare

\nu _{d}\colon \mathbb {P} ^{n}\la \mathbb {P} ^{m)

unde m este dat de coeficientul binom :

m={n+d \alegeți d}-1.

Harta trimite punctul către toate monomiile posibile de la puterea completă a lui d . Setul de astfel de monomii se numește soiul Veronese . $[x_{0}:\ldots :x_{n}]$ $x_{0},\ldots,x_{n)$

Pentru d scăzut , maparea este banală: pentru d = 0, obținem o mapare la un singur punct , pentru d = 1, maparea identității; prin urmare, cazul lui d cel puțin doi este de obicei luat în considerare. $\mathbb {P} _{0}$

Se poate defini maparea Veronesă într-un mod independent de coordonate, și anume

\nu _{d}:\mathbb {P} V\la \mathbb {P} ({\rm {{Sym}^{d}V))}

unde V este un spațiu vectorial cu dimensiuni finite și este gradul său simetric . ${\rm {{Sym}^{d}V))$

Curbe normale raționale

La , imaginea înglobării Veronese este cunoscută sub numele de curba normală rațională . Să dăm exemple de curbe normale raționale de dimensiuni mici: $n=1$

Când încorporarea Veronesă este maparea identităţii a liniei proiective pe ea însăşi. $n=1,d=1$
Când o varietate Veronese este o parabolă în coordonate afine $n=1,d=2$ $[x^{2}:xy:y^{2}],$ $(x,x^{2}).$
Când o varietate Veronese este un cubic răsucit , în coordonate afine $n=1,d=3$ $[x^{3}:x^{2}y:xy^{2}:y^{3}],$ $(x,x^{2},x^{3}).$

Biregularitatea înglobării Veronese

Imaginea unei varietăți sub încorporarea Veronese este din nou o varietate și izomorfă cu prima (aceasta înseamnă că există o mapare inversă, care este, de asemenea, regulată ). Astfel, încorporarea Veronesei este birregulată .

Din biregularitate rezultă, în special, că punctele din poziția generală trec la punctele din poziția generală. Într-adevăr, dacă imaginile punctelor ar satisface o ecuație netrivială, această ecuație ar defini o subvarietă a cărei imagine inversă ar fi subvarietatea care conține punctele originale. Poate fi folosit și pentru a arăta că orice varietate proiectivă este intersecția unei varietăți Veronese și a unui spațiu liniar, adică o intersecție a cvadricilor .

Literatură

Harris J. Geometrie algebrică. Curs inițial. — M.: MTsNMO, 2005. ISBN 5-94057-084-4