Curba normală rațională
O curbă normală rațională este o curbă rațională netedă de grad n într-un spațiu proiectiv n - dimensional.Este una dintre varietățile proiective relativ simple , mai formal, este imaginea înglobării Veronese aplicată liniei proiective.
Definiție
Curba normală rațională poate fi dată parametric ca imagine a mapării
care duce la un punct un punct cu coordonate omogene
![[Sf]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cc6e62f2a809771917a3b4a9a2af1a6510fff1a)
![[s^{n}:s^{{n-1}}t:s^{{n-2}}t^{2}:\ldots :t^{n}].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e1a44a9e5a709bba34ea8c52ef8d059d2cbdb61)
Într-o hartă afină , această mapare este scrisă într-un mod mai simplu:
Este ușor de observat că o curbă normală rațională se obține prin închiderea unei curbe afine cu un singur punct la infinit .
În mod echivalent, o curbă normală rațională poate fi definită ca mulțimea de zerouri comune de polinoame omogene
unde sunt coordonate omogene pe . Nu este necesar să luăm în considerare toate aceste polinoame; pentru a defini o curbă, este suficient să alegeți, de exemplu, și
![[x_{0}:\ldots :x_{n}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a907a6ac3c27e2ede75684e319f497d659c32b69)
Parametrizare alternativă
Fie diferite puncte pe Apoi polinomul
![[a_{i}:b_{i}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0a96c034412a69863b126fd175271648df041ed)
este un polinom de grad omogen cu rădăcini diferite. Polinomiale
formează o bază pentru spațiul polinoamelor omogene de grad n . Afişa
![[s:t]\mapsto [H_{0}(s,t):H_{1}(s,t):\ldots :H_{n}(s,t)]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/755e88dcc88cbc745183317573b28a34f667502a)
definește de asemenea o curbă normală rațională. Într-adevăr, monomiile sunt doar una dintre bazele posibile în spațiul polinoamelor omogene și poate fi tradus printr-o transformare liniară în orice altă bază.
Această mapare trimite zerourile polinomului la „puncte de coordonate”, adică puncte ale căror coordonate omogene sunt zero, cu excepția unuia. În schimb, o curbă normală rațională care trece prin aceste puncte poate fi dată parametric folosind un polinom
Proprietăți
- Orice puncte de pe o curbă normală rațională sunt liniar independente . În schimb, orice curbă cu această proprietate este normală rațională.
- Pentru orice puncte în care oricare dintre ele este liniar independent, există o curbă normală rațională unică care trece prin aceste puncte. Pentru a construi o astfel de curbă, este suficient să translați din puncte în „coordonată”, iar apoi, dacă punctele rămase au trecut la , ca polinom , alegeți un polinom care dispare în puncte
- O curbă normală rațională în acest caz nu este o intersecție completă, adică nu poate fi specificată prin numărul de ecuații egal cu codimensiunea sa . [unu]
![[c_{0}:c_{1}:\ldots :c_{n}],[d_{0}:d_{1}:\ldots :d_{n}],](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06fbe69cd6652c441d86067364841541f63d0408)
![[a_{i}:b_{1}]=[c_{i}^{{-1}}:d_{i}^{{-1}}].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e1c9fc90f6a3dcb6c2195a971da3eebffecd99b)
Note
- ↑ Ravi Vakil . MATH 216: FUNDAȚII ALE GEOMETRIEI ALGEBRICE Arhivat 5 octombrie 2013 la Wayback Machine , pagina 482.
Literatură
- Harris, J. Geometrie algebrică. Curs inițial. - M. : MTSNMO, 2005. - 400 p. - ISBN 5-94057-084-4 .
| Curbe | |||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Definiții | |||||||||||||||||||
| Transformat | |||||||||||||||||||
| Neplanare | |||||||||||||||||||
| algebric plat |
| ||||||||||||||||||
| Plat transcendental |
| ||||||||||||||||||
| fractal |
| ||||||||||||||||||