Algebră multiliniară

Algebra multiliniară este o ramură a algebrei care generalizează conceptele de algebră liniară la funcții ale mai multor variabile care sunt liniare în fiecare dintre argumente.

Definiții de bază

Obiectul principal al algebrei multiliniare este maparea multiliniară ( -liniară) : $n$

f : V_1 \times \dots \times V_n \rightarrow W

unde și sunt spații vectoriale peste un anumit câmp . Condiția -liniaritate înseamnă, strict vorbind, că pentru fiecare familie de mapări $V_1, \dots, V_n$ $W$ $K$ $n$ $i = 1, \dots, n$

(\pi_if)_{\{x_k | k \ne i\}} : V_k \rightarrow W; \quad (\pi_if)_{\{x_k | k \ne i\}}(x_i) = f(x_1, \dots, x_n)

în funcție de variabile și de parametri , constă din mapări liniare . De asemenea, se poate defini o mapare -liniară recursiv (prin inducție) ca o mapare liniară de la un spațiu vectorial de mapări -liniare. $n-1$ $\{x_k | k \ne i\}$ $n$ $V_{n}$ $(n-1)$

O mapare 2-liniară se numește biliniară , o mapare 3 -liniară se numește triliniară . Dacă se potrivește cu câmpul, atunci maparea se numește formă multiliniară . $W$ $K,$

Se spune că o formă poliliniară este simetrică dacă valoarea ei nu se schimbă atunci când oricare două argumente sunt interschimbate și, prin urmare, atunci când toate argumentele sunt interschimbate.
Se spune că o formă poliliniară este asimetrică (antisimetrică) dacă valoarea sa este inversată atunci când oricare două argumente sunt interschimbate. Prin urmare, atunci când toate argumentele sunt permutate, valoarea sa nu se va schimba dacă permutarea este pară și se va schimba la opus dacă permutarea este impară.
Teorema: [1] pentru fiecare există o formă unică (până la înmulțirea cu o constantă — un element al câmpului ) swing-simetric- linear . Acesta este determinantul unei matrice compuse din vectori . $n>1$ $K$ $n$ $f : V_1 \times \dots \times V_n \rightarrow K$ $V_1, \dots, V_n$

Este posibilă generalizarea mapărilor de la spații vectoriale (peste câmpuri) la module peste inele .

Forme cuadratice și biliniare

Formele algebrice ( polinoame omogene pe spații vectoriale date de polinoame omogene în coordonate vectoriale) sunt obiecte importante de studiu în algebra liniară. Dintre acestea, de cel mai mare interes sunt formele pătratice și biliniare , dar sunt studiate și formele de grade superioare, formele multiliniare, formele poliquadratice și unele tipuri speciale de forme (liniar unu și jumătate , hermitian ). Principalele întrebări în studiul formelor algebrice sunt legile schimbării coeficienților în cadrul transformărilor liniare (modificările coordonatelor), metodele de reducere la forma canonică prin intermediul transformărilor liniare și reprezentarea reciprocă a formelor. [2]

O formă pătratică este un obiect al algebrei liniare care apare în multe ramuri ale matematicii, în special, în teoria numerelor , teoria grupurilor ( grup ortogonal ), geometrie diferențială, algebrele Lie ( Killing form ), definită ca un polinom omogen de gradul II în câmpul de teren al variabilelor ( este dimensiunea spațiului luat în considerare). O formă pătratică poate fi reprezentată ca o matrice , care (cu câmpul principal de caracteristică diferit de 2) este simetrică , iar fiecărei matrice simetrice îi corespunde o formă pătratică, respectiv, se introduc aceleași operații pe formele pătratice ca și pe matrice (înmulțire). printr-un scalar, adunare ), formele pătratice pot fi reduse la o formă canonică - o formă diagonală: $n$ $n$ $n\ ori n$

\sum_{i=1}^n a_i x_i^2 = a_1 x_1^2 + a_2 x_2^2 +\cdots + a_n x_n^2

(una dintre metodele practice de reducere este metoda Lagrange ) și este considerată ca o clasă de echivalență a tuturor formelor pătratice reductibilă la o formă diagonală cu coeficienți corespunzători, rangul și semnătura sunt păstrate în interiorul unor astfel de clase de echivalență . [3] $[a_1, \dots, a_n]$

Considerând o pereche de forme liniare (polinoame omogene de gradul I) ca o singură funcție a două sisteme de variabile (în termeni de spații liniare, peste produsul cartezian a două spații vectoriale, în cel mai general caz, peste produsul lui stânga). și module unitare drepte peste un inel cu identitate) conduce la conceptul de formă biliniară (din punctul de vedere al algebrei tensorice, o formă biliniară este considerată ca un tensor de rang ). La fel ca forma patratică, forma biliniară poate fi exprimată printr-o matrice, în plus, orice formă biliniară poate fi reprezentată printr-o formă pătratică: $(2,0)$ $B$

Q_b(x)= B(x,y) + B(y,x)

mai mult, în cazul în care spațiul vectorial este definit peste un câmp de caracteristică diferit de 2 într-un mod unic reciproc [4] .

Având în vedere importanța sa deosebită (atât pentru algebra liniară în sine, cât și pentru aplicații), proprietățile formelor biliniare simetrice și bilineare au fost studiate în detaliu. $(B(x,y)=B(y,x))$ $(B(x,y)= - B(y,x))$

Alte exemple

Formalism

Obiecte

Operațiuni

Produs tensor - creează un spațiu liniar, dar mapările care sunt liniare pe produs corespund mapărilor multiliniare pe spațiile originale

Note

↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Linear algebra and geometry. - cap. II, p. 52 - M .: Fizmatlit, 2009.
↑ Maltsev, 1970 , p. 254.
↑ Maltsev, 1970 , p. 262-270.
↑ Forma cuadratică - Encyclopedia of Mathematics articol . Malyshev A.V.

Literatură

Algebră multiliniară - Encyclopedia of Mathematics articol . A. L. Onishchik

Maltsev AI Fundamentele algebrei liniare. - al 3-lea. — M .: Nauka , 1970. — 400 p.