Transformarea Hilbert

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 27 noiembrie 2019; verificările necesită 9 modificări .

Transformarea Hilbert în matematică și procesare a semnalului este un operator liniar care mapează fiecare funcție a unei variabile reale la o funcție din același domeniu prin convoluția funcției inițiale cu funcția . În fizică , aceste relații sunt cunoscute sub denumirea de relații Kramers-Kronig , care relaționează părțile imaginare și reale ale funcției complexe de răspuns a sistemului. $u(t)$ $H(u)(t)$ $1/(\pi t)$

Definiție

Transformarea Hilbert este definită după cum urmează (aici vp înseamnă valoarea principală a integralei improprie Cauchy ):

H(u)(t)={\frac {1}{\pi }}\operatorname {vp} \int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {u(\tau )}{t-\tau }}\,d\tau ,

sau, mai explicit:

H(u)(t)={\frac {1}{\pi }}\lim _{\varepsilon \to 0}\int \limits _{\varepsilon }^{\infty }{\frac { u(t+\tau )-u(t-\tau )}{\tau }}\,d\tau ={\frac {2}{\pi }}\lim _{\varepsilon \to 0}\int \ limite _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {u(t+\tau )-u(t-\tau )}{2\tau }}\,d\tau =H(\delta )(t) *u(t):=\delta(jt)*u(t).

Proprietăți

Rezultatul aplicării transformării Hilbert de două ori este funcția originală cu semnul opus:

H{\big (}H(u){\big )}(t)=-u(t),

cu condiţia ca ambele transformări să existe.

Transformarea Hilbert dă o funcție ortogonală funcției [1] . $H{\big (}u(t){\big ))$ $u(t)$

Relația cu transformata Fourier

Transformarea Hilbert este un multiplicator în domeniul spectral.

{\mathcal {F}}{\big (}H(u){\big )}(\omega )=-i\operatorname {sgn} (\omega )\cdot {\mathcal {F}}( u)(\omega ),

unde este o variantă a transformării directe Fourier fără un factor de normalizare. ${\mathcal {F}}(u)(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }u(t)e^{-i\omega t}\,dt$

Transformare inversă

H^{-1}=-H.

Unele transformări Hilbert

În tabelul următor, parametrul de frecvență este un număr real. $\omega$

Semnal $u(t)\,$	Transformarea Hilbert $H(u)(t)$
constant	0
$\sin \omega t$	$\operatorname {sgn}(\omega)\sin \left(\omega t-{\tfrac {\pi }{2)}\right)=-\operatorname {sgn}(\omega)\cos \omega t$
$\cos \omega t$	$\operatorname {sgn}(\omega)\cos \left(\omega t-{\tfrac {\pi {2)}\right)=\operatorname {sgn}(\omega)\sin \omega t$
$e^{i\omega t)$	$\operatorname {sgn}(\omega)e^{i\left(\omega t-{\tfrac {\pi }{2)}\right)}=-i\cdot \operatorname {sgn}(\ omega )e^{i\omega t}$
$1 \over t^{2}+1$	$t\over t^{2}+1$
$e^{-t^{2))$	$2\pi ^{-1/2}F(t)$ ( F ( t ) este integrala Dawson )
Sinc ${\frac {\sin t}{t})$	${\frac {1-\cos t}{t)}$
Funcție caracteristică asupra segmentului [ a , b ] $\chi _{[a,b]}(t)$	${{\frac {1}{\pi }}\ln \left\vert {\frac {ta}{tb}}\right\vert }$
Funcție dreptunghiulară (un caz special al celui precedent) $\sqcap(t)$	${1 \over \pi }\ln \left\vert {t+{1 \over 2} \over t-{1 \over 2}}\right\vert$
funcția delta $\delta (t)$	${1 \over \pi t}$

Sensul geometric

Pentru funcțiile -periodice, adică definite pe cercul unitar, transformata Hilbert are o interpretare în termeni de geometrie a spațiilor omogene infinit-dimensionale . Și anume, grupul de difeomorfisme care păstrează orientarea ale cercului are un spațiu de coeficient față de subgrupul format din rotații (adică izometriile cercului care păstrează orientarea ). Se numește spațiu Kirillov - Yuriev și are o structură complexă omogenă. Tensorul asociat este transformata Hilbert. Într-adevăr, spațiul tangent la spațiul Kirillov-Yur'ev este coeficientul algebrei câmpurilor vectoriale de pe cerc în raport cu câmpurile vectoriale constante. Mănunchiul tangent la cerc este banal, astfel încât câmpurile vectoriale pot fi identificate cu funcții -periodice, caz în care câmpurile vectoriale constante devin constante. Pe coeficientul de funcții de pe cerc în constante, transformata Hilbert acționează într-adevăr ca un operator de structură complexă (adică un operator la pătrat ); propriul său subspațiu pentru o valoare proprie (ceea ce se numește subspațiu în teoria Hodge ) este spațiul Hardy — valorile limită ale funcțiilor continue pe discul unității, holomorfe în interiorul său (cu alte cuvinte, -funcții periodice, ale căror toate armonicele Fourier nenule au numere pozitive) . $2\pi$ $\mathrm {Dif.} ^{+}(S^{1})$ $\mathrm {Dif.} ^{+}(S^{1})/\mathrm {U} (1)$ $2\pi$ $-\mathrm {Id}$ ${\sqrt {-1}}$ $(1,0)$ $2\pi$

Spațiul Kirillov-Yur'ev admite un mănunchi peste un alt spațiu omogen de dimensiuni infinite , un factor al grupului de difeomorfism în raport cu valorile limită ale transformării Möbius a transformărilor discului (liniar-fracțional). Este ușor de observat că fibrele acestui mănunchi sunt spații omogene biholomorfe cu discuri unitare. Acest pachet a fost popularizat de A. G. Sergeev . $\mathrm {Dif} ^{+}(S^{1})/\mathrm {M{\ddot {o}}b} (S^{1})$ $\mathrm {M{\ddot {o}}b} (S^{1})/\mathrm {U} (1)$

Puteți lucra și în sens invers. Un alt exemplu binecunoscut de mănunchi de cerc a cărui bază are o structură complexă naturală este fasciculul Hopf . Conul de deasupra sferei poate fi identificat cu spațiul vectorial complex , din care a fost aruncat zero. În mod similar, un grup poate fi extins cu un grup (o astfel de extensie este analogul algebric al restaurării unui con) în așa fel încât grupul rezultat să aibă structura unui grup complex de Lie infinit-dimensional. La nivelul algebrelor Lie, această extensie este dată de cociclul Gelfand - Fuchs , care este scris în termeni de funcții pe cerc ca . Grupul corespunzător se numește grupul Virasora (uneori Botta - Virasora) și are o importanță fundamentală în teoria corzilor și în alte ramuri ale teoriei câmpului conform . $S^{2n+1}\la \mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$ $\mathbb {C} ^{n+1}$ $\mathrm {Dif.} ^{+}(S^{1})$ $\mathbb {R} _{>0}$ $\omega (f,g)=\int _{S^{1}}\left|{\begin{matrix}f'&g'\\f''&g''\end{matrix}}\right |dx$

Vezi și

Note

↑ Grigoriev A. A. Prelegeri de teoria semnalelor S. 13. Data accesării: 21 iunie 2017. Arhivat la 3 iulie 2014. (nedefinit)

Transformări integrale
Abel transforma Bessel se transformă Transformarea Bushman Transformarea Gegenbauer Transformarea Hilbert Transformarea Kontorovich-Lebedev Transformarea Laplace Transformarea Meyer Transformarea Mehler-Fock Transformarea Mellin Transformarea Nerain Transformarea radonului Stieltjes transforma transformata Fourier Transformarea Hankel Transformarea Hartley

Contribuția lui David Hilbert la știință
spatii	Spațiul Hilbert Spațiul pre-Hilbert Cărămidă Gilbert
axiomatica	axiomatica lui Hilbert
Teoreme	Teorema lui Hilbert 90 Teorema de bază a lui Hilbert Teorema nulă a lui Hilbert Teorema Hilbert-Schmidt
Operatori	Transformarea Hilbert operator Hilbert-Schmidt
Relativitatea generală	Ecuații Einstein-Hilbert „ Hilbert și ecuațiile câmpului gravitațional ”
Alte	Probleme Hilbert curba Hilbert matricea Hilbert Problema Hilbert-Arnold Seria Hilbert și polinomul Hilbert Paradoxul „Grand Hotel”