A cincea problemă a lui Hilbert

A cincea problemă a lui Hilbert  este una dintre problemele puse de David Hilbert în raportul său [1] [2] la al II-lea Congres Internațional al Matematicienilor de la Paris în 1900. A cincea problemă a lui Hilbert se referă la teoria grupurilor de transformare topologică și a grupurilor Lie . Soluții pentru cazuri speciale importante au fost obținute în 1933 și 1934, soluționate în cele din urmă în 1952.

Enunțul problemei

Un grup de transformare topologică constă dintr- un grup topologic , un spațiu topologic și o acțiune continuă a grupului asupra , care este o mapare continuă .

având următoarele două proprietăți:

  1. pentru toți , de unde  este elementul de identitate ,
  2. pentru toti si pentru toti .

Un grup topologic este un grup Lie dacă  este o varietate analitică reală și înmulțirea  este o hartă analitică reală. Apoi, prin teorema funcției implicite, maparea este real-analitică. Dacă  este un grup Lie,  este o varietate analitică reală, iar acțiunea grupului asupra  este analitică reală, atunci avem un grup de transformări analitice reale.

Fie  un grup topologic euclidian local. Apoi se pune întrebarea dacă este întotdeauna posibil să se doteze cu o structură analitică reală astfel încât înmulțirea

va fi analitic real? Această întrebare, la care ulterior s-a răspuns afirmativ, este astăzi considerată a cincea problemă a lui Hilbert. [3]

Rezolvarea problemelor

Pentru grupurile compacte , a cincea problemă a fost rezolvată de von Neumann [4] în 1933. Pentru grupurile comutative compacte local și alte cazuri particulare, problema a fost rezolvată de Pontryagin [3] [5] [6] în 1934. Aceste dovezi au fost obținute folosind un rezultat al matematicianului maghiar Alfred Haar [7] , care a construit o măsură invariantă pe un grup topologic local compact [8] .

Punctul central al dovezii generale s-a dovedit a fi problema existenței unor subgrupuri „mici” într-o vecinătate arbitrar de mică a unității (cu excepția unității în sine). Grupurile de minciuni nu au astfel de subgrupuri. O contribuție semnificativă la soluție a fost făcută de Gleason (Gleason) [9] , care a demonstrat că fiecare grup topologic compact local cu dimensiuni finite , care nu are subgrupuri mici, este un grup Lie.

Soluția finală a fost obținută în 1952 de către Montgomery și Zippin , care au demonstrat că un grup topologic local compact de dimensiuni finite conexat local nu are subgrupuri mici. [10] . Deoarece fiecare grup topologic euclidian local este conectat local, compact local și de dimensiuni finite, aceste două rezultate implică următoarea afirmație.

Teorema . Fiecare grup local euclidian este un grup Lie .

După cum a arătat mai târziu Glushkov , această teoremă admite generalizări [11] .

Acest rezultat este adesea considerat ca o soluție la cea de-a cincea problemă a lui Hilbert, dar întrebarea lui Hilbert a fost mai largă și a vizat grupuri de transformare pentru cazul în care varietatea nu coincide cu [3] [12] .

Răspunsul la întrebarea generală a lui Hilbert în cazul acțiunilor topologice continue s-a dovedit a fi negativ chiar și pentru grupul trivial . Există varietăți topologice care nu au nicio structură netedă și, prin urmare, nu au o structură real-analitică [13] .

Note

  1. ↑ David Hilbert . Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900  (germană)  (link inaccesibil) . — Textul raportului citit de Hilbert la 8 august 1900 la al II-lea Congres Internaţional al Matematicienilor de la Paris. Consultat la 27 august 2009. Arhivat din original la 8 aprilie 2012.
  2. ↑ Traducerea raportului lui Hilbert din germană - M. G. Shestopal și A. V. Dorofeev , publicat în cartea Problemele lui Hilbert / ed. P. S. Alexandrova . - M . : Nauka, 1969. - S. 36-37. — 240 s. — 10.700 de exemplare. Copie arhivată (link indisponibil) . Consultat la 26 octombrie 2014. Arhivat din original pe 17 octombrie 2011. 
  3. ↑ 1 2 3 A cincea problemă a lui Hilbert: o revizuire .
  4. ↑ Neumann J. von Die Einfuhrung analytischer Parameter in topologischen Gruppen// Ann. Matematică. - 1933. - 34. - C. 170-190
  5. ↑ Probleme Hilbert și matematica sovietică (link inaccesibil) . Consultat la 26 octombrie 2014. Arhivat din original pe 26 octombrie 2014. 
  6. ↑ Pontryagin LS Grupuri topologice. Princeton: Univ. Presă, 1939
  7. ↑ Der Maasbegriff in der Theorie der Kontinuerlichen Gruppen (Mértékfogalom a folytonos csoportok elméletében), 1933.
  8. ↑ Pontryagin L. S. Biografia lui L. S. Pontryagin, un matematician compilat de el însuși. Nașterea 1908, Moscova . - M. : Prima V, 1998. - 340 p.
  9. ↑ Gleason AM Grupuri fără subgrupuri mici // Ann. Matematică. - 1952. - 56. - S. 193-212.
  10. ↑ Montgomery D., Zippin L. Mici subgrupuri de grupuri finite-dimensionale // Ann. Matematică. - 1952. - 56. - S. 213-241.
  11. ↑ V. M. Glushkov. Structura grupurilor compacte local și a cincea problemă a lui Hilbert , Uspekhi Mat. Nauk, 1957, volumul 12, numărul 2(74), 3-41.
  12. ↑ Montgomery D. Grupuri de transformare topologică // Proc. Int. Congr. Matematică. - 1954. - Vol. III. — Groningen-Amsterdam. - 1956. - S. 185-188 (RZhMat, 1958, 8602).
  13. ↑ Kervaire MA O varietate care nu admite nicio structură diferențiabilă // Comentariu. Matematică. Helv. - 1960. - 34. - S. 257-270.

Literatură

 Probleme Hilbert