Rezolvantul unei ecuații algebrice

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 22 mai 2022; verificările necesită 4 modificări .

Rezolvarea unei ecuații de grad algebric este o ecuație algebrică cu coeficienți dependenți rațional de coeficienți , astfel încât cunoașterea rădăcinilor acestei ecuații ne permite să rezolvăm ecuația originală prin rezolvarea unor ecuații mai simple (adică, astfel încât gradul lor să nu fie mai mare). decât ). $f(x)=0$ $n$ $g(y)=0$ $f(x)$ $n$

Rezolvantul se mai numește și expresia rațională în sine , adică dependența rădăcinilor soluției ca ecuație de rădăcinile ecuației originale. $y=y(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})$ $g(y)=0$

Rezoluții de ecuații de grade inferioare într-o variabilă

În mod informal, ideea de a obține rezoluțiile ecuațiilor algebrice , conform lui Lagrange , este următoarea. Să compunem câteva, de preferință cât mai simple posibil, expresii algebrice din rădăcinile ecuației originale cu următoarele proprietăți:

numărul de valori diferite ale expresiei pentru toate permutările posibile ale rădăcinilor ar fi mai mic decât gradul ecuației inițiale;

polinoamele simetrice elementare din valorile expresiei ar fi funcții ale polinoamelor simetrice elementare din rădăcinile ecuației originale. Apoi coeficienții ecuației, ale căror rădăcini sunt valorile găsite ale expresiei, sunt exprimați rațional , conform relațiilor Vieta , prin coeficienții ecuației inițiale;

sistemul de ecuații cu necunoscute rezultat - rădăcinile ecuației inițiale - ar fi redus la unul liniar și ar fi consistent.

Astfel, succesiunea de acțiuni:

găsiți expresia corespunzătoare din rădăcini;
calculați coeficienții ecuației rezolutive, ale căror rădăcini sunt valorile expresiei găsite, prin coeficienții originalului;
găsiți rădăcinile soluției;
în cele din urmă, restaurați rădăcinile ecuației originale din rădăcinile găsite ale solventului.

Conform teoriei extensiilor ciclice, o soluție în radicali a unei ecuații algebrice generale este posibilă până la gradul său nu mai mare de patru. Mai jos sunt exemple de rezolvari ale ecuațiilor algebrice de gradul II, III și IV într-o variabilă și se arată (fără a implica teoria generală și doar prin calcule elementare) cum se obțin rezoluțiile în sine și, pe baza acestora, generalul rezolvarea ecuațiilor corespunzătoare.

Rezolvantul unei ecuații pătratice

Inferență prin expresie pentru rădăcini

Având în vedere o ecuație pătratică :

ax^{2}+bx+c=0

Să găsim o soluție liniară. Să scriem cea mai simplă egalitate non-trivială care nu se schimbă sub permutare și locuri $x_{1}$ $x_{2}$

{\displaystyle (x_{1}-x_{2})^{2}=y_{1))

(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=y_{1}

Având în vedere , , $x_{1}+x_{2}=-b/a$ $x_{1}x_{2}=c/a$

(b/a)^{2}-4c/a=y_{1)

și va fi rădăcina soluției - ecuația liniară $y_{1}$

a^{2}yb^{2}+4ca=0\qquad \qquad \qquad \qquad (1.1)

Să rezolvăm sistemul

{\begin{cases}(x_{1}-x_{2})^{2}=y_{1}\\x_{1}+x_{2}=-b/a\\\end{ cazuri}}

Alegem semnul la extragerea rădăcinii pătrate , apoi soluția acestuia $+$

{\begin{aligned}x_{1}&=({\sqrt {y_{1}}}-b/a)/2\\x_{2}&=(-{\sqrt {y_{1} }}}-b/a)/2\\\end{aliniat}}\qquad \qquad \qquad \qquad (1.2)

Alegerea unui semn diferit înainte ca rădăcina să inverseze soluțiile. Remarcăm aici că schimbarea semnelor înainte de rădăcina pătrată este echivalentă cu calcularea funcției cu valori complexe rădăcină pătrată , care are întotdeauna două (cu excepția argumentului egal cu zero) valori diferite, de exemplu . $\ {\sqrt {i}}_{1,2}=\left(e^{\frac {\pi i}{4)),e^{\frac {5\pi i}{4} }\right)=\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i),-{\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right )$

Rezolvantul unei ecuații cubice

Având în vedere ecuația cubică redusă , este de obicei scrisă sub forma

x^{3}+3px+2q=0\quad \quad \quad \quad \quad \quad (2.1)

Ieșire directă

Să scriem identitatea

(a+b)^{3}-3ab(a+b)-a^{3}-b^{3}=0\quad \quad \quad \quad \quad \quad (2.2)

Apoi, prin construcție

x_{1}=a+b\quad \quad \quad \quad \quad \quad (2.3)

va fi rădăcina ecuației

x^{3}-3abx-a^{3}-b^{3}=0\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (2.4)

Să găsim rădăcinile rămase (2.4). După un corolar al teoremei lui Bezout (2.2) este divizibil cu un binom fără rest. Să împărțim: $x-(a+b)$

x^{3}-3abx-a^{3}-b^{3}=(x-(a+b))(x^{2}+(a+b)x+a^{2 }-ab+b^{2})

și găsiți rădăcinile celui de-al doilea factor

x^{2}+(a+b)x+a^{2}-ab+b^{2}=0

folosind soluția (1.1):

{\displaystyle y_{1}=(a+b)^{2}-4(a^{2}-ab+b^{2})=-3(ab)^{2))

și conform (1.2)

{\begin{aligned}x_{2}=\rho a+\rho ^{2}b\\x_{3}=\rho ^{2}a+\rho b\\\end {aliniat))\ quad \quad \quad \quad \quad \quad (2.5)

unde este rădăcina cubă primitivă a unității , proprietățile sale sunt: $\rho ={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}$

\rho ^{2}={\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}

, , , , .

\rho ^{2}+\rho =-1

\rho ^{3}=1

(\rho ^{2})^{3}=1

\rho ^{4}=\rho \quad \quad \quad \quad \quad \quad (2.6)

Deci, știm cum să rezolvăm (2.4), rămâne să reducem (2.1) la forma (2.4). Pentru ca rădăcinile ecuațiilor (2.1) și (2.4) să coincidă, ele trebuie să aibă aceiași coeficienți la puteri și termeni liberi. Dacă și se găsesc ca expresii ale lui și , atunci vor fi cunoscute și soluțiile (2.1). Echivalând coeficienții, obținem sistemul: $X$ $A$ $b$ $p$ $q$

{\begin{cases}p=-ab\\2q=-a^{3}-b^{3}\\\end{cases}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad ( 2.7)

După ce am cubit prima ecuație (2.7), obținem apoi o ecuație pătratică pentru și $a^{3}$ $b^{3)$

y^{2}+2qy-p^{3}=0\quad \quad \quad \quad \quad \qquad (2.8)

care va fi soluția pentru ecuația (2.1). Rădăcinile ei

y_{1,2}=-q\pm {\sqrt {q^{2}+p^{3)))

Revenind la variabila originală ( ; ), din (2.3), (2.5) găsim toate rădăcinile (2.1): ${\displaystyle a={\sqrt[{3}]{y_{1))))$ ${\displaystyle b={\sqrt[{3}]{y_{2))))$

x_{1}={\sqrt[{3}]{-q+{\sqrt {q^{2}+p^{3))))}+{\sqrt[{3}]{-q -{\sqrt {q^{2}+p^{3))))}

{\displaystyle x_{2}=\rho {\sqrt[{3}]{-q+{\sqrt {q^{2}+p^{3)}})}+\rho ^{2}{\sqrt [{3}]{-q-{\sqrt {q^{2}+p^{3))))))))

{\displaystyle x_{3}=\rho ^{2}{\sqrt[{3}]{-q+{\sqrt {q^{2}+p^{3)}})}+\rho {\sqrt [{3}]{-q-{\sqrt {q^{2}+p^{3))))))))

Când se calculează două rădăcini cubice, una dintre cele trei valori ale rădăcinii cubice a funcției cu valori complexe trebuie să fie aleasă astfel încât prima dintre relațiile (2.7) să fie satisfăcută. În toate cele trei soluții, această valoare aleasă pentru fiecare rădăcină trebuie să fie aceeași.

Inferență prin expresie pentru rădăcini

Să presupunem că nu știm despre existența solventului (2.8). O vom găsi prin expresia pentru rădăcini. Să găsim o expresie care ia două valori atunci când rădăcinile ecuației inițiale (2.1) sunt rearanjate . Considera: $3!=6$

\left(x_{1}+\rho x_{2}+\rho ^{2}x_{3}\right)^{3}\quad \quad \quad \quad \quad \quad (2.9)

Din (2.6) urmează proprietățile expresiei (2.9) sub gradul:

x_{1}+\rho x_{2}+\rho ^{2}x_{3}=\rho \left(x_{2}+\rho x_{3}+\rho ^{2}x_ {1}\right)=\rho ^{2}\left(x_{3}+\rho x_{1}+\rho ^{2}x_{2}\right)\quad (2.10)

iar atunci când sunt cuburi, toate trei dau același lucru, adică valoarea (2.9) nu se modifică în timpul ciclului . Transpunerea dă o expresie diferită, așa că din șase permutări posibile, doar două sunt unice, să spunem: $(123)$ $(1)(23)$

{\begin{aligned}y_{1}=\left({\frac {x_{1}+\rho x_{2}+\rho ^{2}x_{3}}{3}}\right )^{3}\\y_{2}=\left({\frac {x_{1}+\rho x_{3}+\rho ^{2}x_{2}}{3}}\right)^ {3}\end{aliniat}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad (2.11)

unde este un factor de normalizare. Calculând sumele și produsele în termeni de coeficienți ai ecuației inițiale ne oferă coeficienții rezoluției (2.8): ${\frac {1}{3}}$

{\begin{aligned}y_{1}+y_{2}&=-2q\quad \quad \quad \quad \quad (2.12)\\y_{1}y_{2}&=-p^ {3}\quad \quad \quad \quad \quad (2.13)\end{aligned}}

calcul

Denota

{\begin{aligned}R&=x_{1}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{3}+x_{2}x_{3}^{2}\ \S&=x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{3}^{2}+x_{2}^{2}x_{3}\end{aligned}}\quad \ quad \quad \quad \quad (2.14)

Calculăm cuburi (2.11) folosind egalități (2.10) pentru prima expresie și altele similare pentru a doua (în loc să calculăm cubul, înmulțim trei expresii (2.10)). Primim:

27y_{1}=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+3\rho ^{2}R+3\rho S+6x_ {1}x_{2}x_{3}

27y_{2}=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+3\rho ^{2}S+3\rho R+6x_ {1}x_{2}x_{3}

Conform identităților lui Newton :

{\begin{aligned}x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+6x_{1}x_{2}x_{3}&= \ e_{1}^{3}-3e_{2}e_{1}+3e_{3}+6e_{3}&=\\9e_{3}&=-18q\end{aligned}}\quad \quad \quad \quad \quad (2.15)

unde ; ; , apoi $e_{1}=x_{1}+x_{2}+x_{3}=0$ $e_{2}=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=3p$ $e_{3}=x_{1}x_{2}x_{3}=-2q$

{\begin{aligned}9y_{1}&=\rho ^{2}R+\rho S-6q\\9y_{2}&=\rho ^{2}S+\rho R-6q\end{ aliniat}}\quad \quad \quad \quad \quad (2.16)

Să demonstrăm egalitatea (2.12). Adăugăm (2.16):

{\begin{aligned}9(y_{1}+y_{2})&=(\rho ^{2}+\rho )R+(\rho ^{2}+\rho )S-12q\ \&=-(R+S+12q)\end{aliniat}}

unde se folosește (2.6). Să calculăm : $R+S$

{\begin{aligned}R+S&=x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2})+x_{1}x_{3}(x_{1}+x_{3} })+x_{2}x_{3}(x_{2}+x_{3})\\&=(x_{1}+x_{2}+x_{3})(x_{1}x_{2 }+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})-3x_{1}x_{2}x_{3}\\&=e_{1}e_{2}-3e_{3} =6q\end{aliniat}}

y_{1}+y_{2}={\frac {-(6q+12q)}{9}}=-2q

Derivarea (2.13) este ceva mai dificilă. Înmulțim (2.16):

{\begin{aligned}3^{4}y_{1}y_{2}&=(\rho ^{2}R+\rho S-6q)(\rho ^{2}S+\rho R- 6q)\\&=(\rho ^{2}R+\rho S)(\rho ^{2}S+\rho R)-6q(\rho ^{2}+\rho )(R+S)+36q ^{2}\\&=(\rho ^{2}+\rho )RS+R^{2}+S^{2}+6q(R+S)+36q^{2}\\&=- RS+(R+S)^{2}-2RS+6q(R+S)+36q^{2}\\&=36q^{2}+36q^{2}+36q^{2}-3RS\\ &=108q^{2}-3RS\end{aligned}}

Rămâne de găsit . Din (2.14) după înmulțire: $RS$

RS=x_{1}x_{2}x_{3}(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3})+3x_{1} ^{2}x_{2}^{2}x_{3}^{2}+T\quad \quad \quad \quad \quad (2.17)

unde cunoaștem deja primii termeni, dar îi calculăm separat: $T=x_{1}^{3}x_{2}^{3}+x_{1}^{3}x_{3}^{3}+x_{2}^{3}x_{3 }^{3}$

T=x_{1}^{3}x_{2}^{3}x_{3}^{3}\left({\frac {1}{x_{1}^{3))}+ {\frac {1}{x_{2}^{3}}}+{\frac {1}{x_{3}^{3}}}\right)

Expresia dintre paranteze este suma cuburilor rădăcinilor ecuației (2.1), unde înlocuirea se face pentru : $X$ ${\frac {1}{x')}$

2qx'^{3}+3px'^{2}+1=0

Polinoame simetrice elementare pentru acesta: , , . Din identitățile lui Newton $e_{1}'=-{\frac {3p}{2q)}$ $e_{2}'=0$ $e_{3}'=-{\frac {1}{2q)}$

x_{1}'^{3}+x_{2}'^{3}+x_{2}'^{3}=e_{1}'^{3}+3e_{3}'

primim

{\begin{aligned}T&=e_{3}^{3}(e_{1}'^{3}+3e_{3}')\\&=-8q^{3}\left(\ stânga(-{\frac {3p}{2q}}\right)^{3}-{\frac {3}{2q}}\right)\\&=27p^{3}+12q^{2}\ end{aliniat}}\quad \quad \quad \quad \quad (2.18)

Acum (2.17) se calculează:

{\begin{aligned}RS&=e_{3}\cdot 3e_{3}+3e_{3}^{2}+T\\&=12q^{2}+12q^{2}+27p^ {3}+12q^{2}\\&=36q^{2}+27p^{3}\end{aliniat}}

In cele din urma

3^{4}y_{1}y_{2}=108q^{2}-3(36q^{2}+27p^{3})=-3^{4}p^{3}

iar (2.13) se dovedește.

Apoi puteți rezolva sistemul rezultat:

{\begin{aligned}{\begin{cases}\left({\frac {x_{1}+\rho x_{2}+\rho ^{2}x_{3}}{3}}\ dreapta)^{3}&=y_{1}\\\left({\frac {x_{1}+\rho x_{3}+\rho ^{2}x_{2}}{3}}\right )^{3}&=y_{2}\\x_{1}+x_{2}+x_{3}&=0\end{cases}}\end{aligned}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad (2.19)

Extragând rădăcinile cubice din părțile corecte ale (2.19), avem un sistem de ecuații liniare :

{\begin{aligned}{\begin{cases}x_{1}+\rho x_{2}+\rho ^{2}x_{3}&=3{\sqrt[{3}]{y_ {1}}}\\x_{1}+\rho ^{2}x_{2}+\rho x_{3}&=3{\sqrt[{3}]{y_{2}}}\\x_ {1}+x_{2}+x_{3}&=0\end{cases}}\end{aligned}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad (2.20)

Adunând toate cele 3 ecuații, din (2.6) obținem imediat rădăcina , apoi înmulțind prima ecuație cu și a doua cu , și adunând toate trei - obținem . După aceea, invers - primul pe , iar al doilea pe și adăugăm toate trei - obținem . În total, toate rădăcinile ecuației (2.1): $x_{1}$ $\rho ^{2}$ $\rho$ $x_{2}$ $\rho$ $\rho ^{2}$ $x_{3)$

{\begin{aligned}x_{1}&={\sqrt[{3}]{y_{1}}}+{\sqrt[{3}]{y_{2}}}\\x_{ 2}&=\rho {\sqrt[{3}]{y_{1}}}+\rho ^{2}{\sqrt[{3}]{y_{2}}}\\x_{3}& =\rho ^{2}{\sqrt[{3}]{y_{1}}}+\rho {\sqrt[{3}]{y_{2}}}\\\end{aligned}}

Aici este, de asemenea, necesar să alegeți corect valorile rădăcinilor cubice. După formulele lui Vieta, este ușor să verifici asta

3p=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=-3{\sqrt[{3}]{y_{1))}{ \sqrt[{3}]{y_{2}}}

Prin urmare, trebuie să alegem valori astfel încât

{\sqrt[{3}]{y_{1}}}{\sqrt[{3}]{y_{2}}}=-p

Acum obținem aceeași (2.11), presupunând că rezoluția (2.8) ne este cunoscută. Din moment ce , , atunci rezolvăm sistemul $a^{3}=y_{1}$ $b^{3}=y_{2}$

{\begin{aligned}{\begin{cases}x_{1}&=a+b\\x_{2}&=\rho a+\rho ^{2}b\\x_{3}&= \rho ^{2}a+\rho b\\\end{cases}}\end{aligned}}

cu privire la și . Adăugați din nou cele trei ecuații, înmulțind a doua cu și a treia cu , apoi adăugați-le înmulțind a doua cu și a treia cu . Vom primi imediat $A$ $b$ $\rho$ $\rho ^{2}$ $\rho ^{2}$ $\rho$

{\begin{aligned}b={\frac {x_{1}+\rho x_{2}+\rho ^{2}x_{3}}{3}}\\a={\frac { x_{1}+\rho ^{2}x_{2}+\rho x_{3}}{3}}\\\end{aligned}}

adică de fapt primele două soluţii ale lui (2.20); iar expresia dorită (2.9) este imediat scrisă.

Rezolvantul unei ecuații de gradul al patrulea

Să existe o ecuație redusă de gradul al patrulea :

x^{4}+ax^{2}+bx+c=0\quad \quad \quad \quad \quad \quad (3.1)

Ieșire directă

Reprezentăm ecuația (3.1) ca produs a două trinoame pătrate:

(x^{2}+p_{1}x+q_{1})(x^{2}+p_{2}x+q_{2})=0

Înmulțim trinoamele și echivalăm coeficienții la aceleași puteri . Obținem un sistem de ecuații: $X$

{\begin{cases}p_{1}+p_{2}=0\\q_{1}+q_{2}+p_{1}p_{2}=a\\p_{1}q_{ 2}+p_{2}q_{1}=b\\q_{1}q_{2}=c\\\end{cases}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad (3.2)

Din prima ecuație (3.2) notăm

p=p_{1}=-p_{2}

Ecuația se va scrie astfel:

(x^{2}+px+q_{1})(x^{2}-px+q_{2})=0

Folosind ultima notație, din a doua și a patra ecuație (3.2) obținem pentru ecuația pătratică: $q_1, q_2$

Q^{2}-(a+p^{2})Q+c=0

Rădăcinile sale:

q_{1,2}={\frac {1}{2}}\left(a+p^{2}\pm {\sqrt {(p^{2}+a)^{2}- 4c}}\dreapta)\quad \quad (3.3)

Din a treia ecuație a sistemului (3.2)

p(q_{2}-q_{1})=b\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (3.4)

Punând la pătrat pe acesta din urmă și înlocuind diferența de la (3.3) în ea, obținem $(q_{2}-q_{1})^{2}=(p^{2}+a)^{2}-4c$

{\displaystyle p^{2}((p^{2}+a)^{2}-4c)=b^{2))

Notând , obținem o ecuație cubică pentru , care va fi rezolvată: $y=-p^{2}$ $y$

y^{3}-2ay^{2}+(a^{2}-4c)y+b^{2}=0\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ quad(3,5)

Rețineți că ultima ecuație este și soluția pentru originalul (3.1), unde este înlocuită cu . În plus, ar fi posibil să se înlocuiască , dar cu un minus este mai convenabil pentru o soluție ulterioară. $b$ $-b$ $y=p^{2}$

Inferență prin expresie pentru rădăcini

Obținem rezoluția (3.5) din relațiile date pentru rădăcinile sale. Compune o expresie

(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})

Cu toate permutările posibile ale variabilelor , obținem doar trei expresii diferite pentru : $x_{i}$ $x_{j},i,j=1,2,3,4$ $y$

y_{1}=(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})

y_{2}=(x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{4})\quad \quad \quad \quad \quad \quad (3.6)

y_{3}=(x_{1}+x_{4})(x_{2}+x_{3})

Cele trei valori corespund unei ecuații cubice ale cărei rădăcini sunt. Pentru a-l găsi, este necesar să se calculeze coeficienții la puteri prin coeficienții ecuației inițiale (3.1). Calcularea lor este surprinzător de mai ușoară decât pentru rezolvarea unei ecuații cubice: $y$

y_{1}+y_{2}+y_{3}=2a

y_{1}y_{2}+y_{2}y_{3}+y_{1}y_{3}=a^{2}-4c\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad ( 3.7)

y_{1}y_{2}y_{3}=-b^{2}

calcul

Prima egalitate (3,7):

y_{1}+y_{2}+y_{3}=2(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2 }x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})=2a

Pentru a calcula al doilea, rescriem (3.6) sub forma:

{\displaystyle y_{1}=a-x_{1}x_{2}-x_{3}x_{4))

{\displaystyle y_{2}=a-x_{1}x_{3}-x_{2}x_{4))

{\displaystyle y_{3}=a-x_{1}x_{4}-x_{2}x_{3))

Haideti sa gasim : $y_{1}y_{2)$

y_{1}y_{2}=(a-x_{1}x_{2}-x_{3}x_{4})(a-x_{1}x_{3}-x_{2}x_ {4})=a^{2}-a(a-x_{1}x_{4}-x_{2}x_{3})+x_{1}^{2}x_{2}x_{3} +x_{2}^{2}x_{1}x_{4}+x_{3}^{2}x_{1}x_{4}+x_{4}^{2}x_{2}x_{3 }

În mod similar

y_{1}y_{3}=a^{2}-a(a-x_{1}x_{3}-x_{2}x_{4})+x_{1}^{2}x_ {2}x_{4}+x_{2}^{2}x_{1}x_{3}+x_{3}^{2}x_{2}x_{4}+x_{4}^{2} x_{1}x_{3}

y_{2}y_{3}=a^{2}-a(a-x_{1}x_{2}-x_{3}x_{4})+x_{1}^{2}x_ {3}x_{4}+x_{2}^{2}x_{3}x_{4}+x_{3}^{2}x_{1}x_{2}+x_{4}^{2} x_{1}x_{2}

Adunând ultimele trei egalități, obținem:

y_{1}y_{2}+y_{2}y_{3}+y_{1}y_{3}=3a^{2}-a(y_{1}+y_{2}+y_{ 3})+

x_{1}(x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4})+x_{ 2}(x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{2}x_{3}+x_{2}x_{3}x_{4})+

x_{3}(x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4}+x_{1}x_{2}x_{3})+x_{ 4}(x_{2}x_{3}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{1}x_{2}x_{4})=

3a^{2}-2a^{2}-x_{1}(b+x_{2}x_{3}x_{4})-x_{2}(b+x_{1}x_{3 }x_{4})-x_{3}(b+x_{1}x_{2}x_{4})-x_{4}(b+x_{1}x_{2}x_{3})=

a^{2}-b(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})-4x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}=a ^{2}-4c

Și a treia egalitate (3.7):

y_{1}y_{2}y_{3}=(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})(x_{1}+x_{3})( x_{2}+x_{4})(x_{1}+x_{4})(x_{2}+x_{3})=

-(x_{1}+x_{2})^{2}(x_{2}+x_{4})^{2}(x_{2}+x_{3})^{2}=

-((x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{4})(x_{2}+x_{ 3}))^{2}=

-(x_{2}^{2}x_{1}+x_{2}^{3}+x_{2}^{2}x_{3}+x_{2}^{2}x_{ 4}+x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3} x_{4})^{2}=

{\displaystyle -(x_{2}^{2}(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})-b)^{2}=-b^{2))

Identitatea este folosită în calcule . $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0$

Decizie ulterioară

Apoi puteți proceda în două moduri:

Prima cale

Cele trei rădăcini ale ecuației cubice (3.5) corespund a trei seturi de numere , care se obțin dacă, prin rearanjarea celor 4 rădăcini ale ecuației inițiale (3.1) în trei moduri, o reprezentăm ca produs a două trinoame pătrate. Prin urmare, la rezolvarea rezoluției (3.5), este suficient să alegeți una dintre rădăcini , cu o altă alegere a rădăcinii, cele 4 soluții corespunzătoare ale ecuației (3.1) vor fi permutări ale soluțiilor obținute. $p,q_{1},q_{2)$ $y$

După ce am rezolvat rezolvarea (de exemplu, conform formulei Cardano ), alegem orice rădăcină, fie . $y_{1}$

Acum trebuie să revenim la prin alegerea oricărui semn în fața rădăcinii pătrate și apoi să găsim prin alegerea unor astfel de semne în fața rădăcinilor soluțiilor (3.3), astfel încât egalitatea (3.4) să fie satisfăcută. După aceea, nu este dificil să găsești 4 rădăcini a două trinoame. In cele din urma: $p=\pm {\sqrt {-y_{1)}}$ $q_{1},q_{2)$

x_{1},_{2}=(-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q_{1}}})/2

x_{3},_{4}=(p\pm {\sqrt {p^{2}-4q_{2}}})/2

unde corespunde (primul trinom) și corespunde (al doilea trinom). $p$ $q_{1}$ $-p$ $q_{2}$

A doua cale

La rezolvare, sunt necesare toate cele 3 rădăcini ale solventului (3.5), să fie găsite.

Alegem corespondența rădăcinii rezolutivului cu rădăcinile primului trinom și al celui de-al doilea. Similar cu rădăcinile primului trinom și celui de-al doilea; rădăcinile primului trinom și ale celui de-al doilea. Apoi pentru reținere: $y_1$ $x_{1},x_{2}$ $x_{3},x_{4)$ $y_2$ $x_{1},x_{3)$ $x_{2},x_{4)$ $y_{3)$ $x_{1},x_{4)$ $x_{2},x_{3)$ $y_1$

-p^{2}=y_{1}

Conform formulelor Vieta pentru primul și, respectiv, al doilea trinom:

-p=x_{1}+x_{2)

. .

p=x_{3}+x_{4)

apoi

y_{1}=-p^{2}=(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})

După ce am făcut același lucru pentru rădăcini (fiecare va avea propriul său ), obținem din nou sistemul (3.6). Ecuație (relația Vieta pentru coeficientul ecuației inițiale la ) $y_{2},y_{3}$ $p$ $x^{3}$

x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (3.8)

închide sistemul (3.6). Înlocuirea din (3.8) în trei ecuații (3.6) conduce imediat la sistem

{\begin{cases}{\begin{aligned}&(x_{3}+x_{4})^{2}=-y_{1}\\&(x_{2}+x_{4} )^{2}=-y_{2}\\&(x_{2}+x_{3})^{2}=-y_{3}\\&x_{1}+x_{2}+x_{3 }+x_{4}=0\\\end{aliniat}}\end{cases}}

La rezolvarea acesteia, există o dificultate în alegerea unui semn la extragerea unei rădăcini pătrate. S-ar putea verifica semnul egal

p{\sqrt {(p^{2}+a)^{2}-4c}}=b

care s-a obținut în derivarea directă a rezolutivului (la pătrarea ultimei egalități s-au adăugat rădăcini suplimentare cu semne opuse), în mod consecvent pentru , dar să o facem mai simplu. Alegem orice semn atunci când extragem rădăcina pătrată, de exemplu , și scriem sistemul, notând , , : $p=\pm {\sqrt {-y_{1}}},p=\pm {\sqrt {-y_{2}}},p=\pm {\sqrt {-y_{3}}}$ ${\displaystyle-}$ ${\sqrt {-y_{1}}}=u$ ${\sqrt {-y_{2}}}=v$ ${\sqrt {-y_{3}}}=w$

{\begin{cases}{\begin{aligned}&x_{3}+x_{4}=-u\\&x_{2}+x_{4}=-v\\&x_{2}+x_{ 3}=-w\\&x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0\\\end{aliniat}}\end{cases}}

Acesta este un sistem de ecuații liniare ; rezolvat simplu prin substituire. Soluția ei:

{\begin{aligned}x_{1}&=(-uvw)/2\\x_{2}&=(-u+v+w)/2\\x_{3}&=(u- v+w)/2\\x_{4}&=(u+vw)/2\\\end{aligned}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (3.9)

Rețineți că o schimbare unică a semnului oricăruia dintre termeni fie transformă soluția într-o soluție și invers (de exemplu, schimbarea în se traduce în ). Prin urmare, dacă alegerea semnelor se dovedește a fi incorectă, atunci este suficient să schimbați semnul oricărui termen din soluție și va deveni adevărat. Conform raporturilor rădăcinilor cu coeficienții rezoluției, nu se poate spune despre alegerea corectă a semnului, deoarece este rezolvarea a două ecuații. Aceasta înseamnă că trebuie să căutăm o relație între rădăcinile și coeficienții originalului, iar coeficientul trebuie să participe la ea . Scriem relația Vieta pentru aceasta: $u$ $v$ $w$ $\mathbf {x}$ $-\mathbf {x}$ $u$ $-u$ $(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})$ $(-x_{2},-x_{1},-x_{4},-x_{3})$ $x_{i}$ $b$

x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3} x_{4}=-b

Înlocuind aici expresiile (3.9), obținem

uvw=b\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (3.10)

, calcul

De la (3.8) și (3.9)

{\begin{aligned}b&=-(x_{1}x_{2}(x_{3}+x_{4})+(x_{1}+x_{2})x_{3}x_{ 4})\\&=u(x_{3}x_{4}-x_{1}x_{2})\\&={\frac {u}{4}}\left(u^{2}- (vw)^{2}-(u^{2}-(v+w)^{2})\dreapta)\\&={\frac {u}{4}}\left(u^{2} -v^{2}+2vw-w^{2}-u^{2}+v^{2}+w^{2}+2vw\right)\\&=4uvw/4=uvw\end{aliniat }}

ce inseamna verificarea

{\sqrt {-y_{1}}}{\sqrt {-y_{2}}}{\sqrt {-y_{3}}}=b

iar dacă semnul se dovedește a fi incorect, vom înlocui de exemplu cu . Pentru a obține soluția finală, calculăm (3.9) cu semnele alese. ${\sqrt {-y_{1)})$ $-{\sqrt {-y_{1)})$

Literatură

MM. Postnikov. Teoria Galois. - M.: Editura Presa Factorială, 2003. ISBN 5-88688-063-1
Kaluzhnin L.A., Sushchansky V.I. Transformări și permutări: tradus din ucraineană. - M.: Nauka, 1979
Prasolov V.V., Solovyov Yu.P. Funcții eliptice și ecuații algebrice. - M.: Editura Factorial, 1997. ISBN 5-88688-018-6