Algebră elementară

Algebra elementară este cea mai veche ramură a algebrei , care studiază expresiile și ecuațiile algebrice asupra numerelor reale și complexe .

Concepte de bază

În algebră, se obișnuiește să se scrie expresii matematice ( formule ) în forma cea mai generală, înlocuind numerele specifice cu caractere alfabetice, datorită cărora, la rezolvarea problemelor de același tip, se obține generalitatea maximă a rezultatului. Conținutul principal al algebrei îl reprezintă regulile transformărilor identice ale formulelor necesare pentru rezolvarea ecuațiilor, analiza dependențelor, optimizarea sistemului studiat și alte probleme practice [1] .

Pe lângă litere și numere, formulele de algebră elementară folosesc operații aritmetice ( adunare , scădere , înmulțire , împărțire , exponențiere , extracție rădăcină ) și funcții elementare ( logaritm , funcții trigonometrice ). Două formule legate printr-un semn egal se numesc ecuație .

Dacă nu este specificat niciun simbol operator între două expresii, se presupune înmulțirea:

ab=a\cdot b;\;1{,}2\ x=1{,}2\cdot x;\;\pi (a^{2}+b^{2})=\pi \cdot (a ^{2}+b^{2})

Un exemplu de formulă: aria unui triunghi este exprimată după cum urmează în termeni de lungime a uneia dintre laturi și lungimea înălțimii coborâte pe latură : $S$ $A$ $h$ $A$

S={1\peste 2}ah

Cea mai simplă expresie algebrică este un monom format dintr-un factor numeric înmulțit cu unul sau mai multe caractere alfabetice [2] . Exemple:

1{,}2\ x;\;{\sqrt {2}}abc^{2};\;x^{2}w

Sumele algebrice (adică sumele și/sau diferențele) ale monomiilor se numesc polinoame . Expresiile care arată ca un coeficient din împărțirea unui polinom la altul se numesc fracție algebrică . Operațiile cu fracții algebrice sunt similare cu operațiile cu fracții obișnuite - factorizarea numărătorului și numitorului în factori, aducerea mai multor fracții la un numitor comun, reducerea numărătorului și numitorului cu un factor comun etc.

Legile algebrei elementare

Calcularea valorii unei expresii

Ordinea în care sunt efectuate operațiile este indicată prin paranteze . Dacă nu există paranteze, atunci prioritatea, în ordine descrescătoare, este următoarea.

Exponentiatie.
Calculul funcției.
Înmulțirea și împărțirea.
Adunare si scadere.

Exemple:

$a^{b^{c}}=a^{(b^{c})}$
$\sin x^{2}=\sin(x^{2})$
$\sin a+b=(\sin a)+b$

La calcularea valorii unei expresii, în loc de caractere alfabetice, se înlocuiesc valorile lor numerice corespunzătoare unei sarcini specifice. Setul de valori numerice pentru care expresia are sens se numește interval de valori valide ale acestei expresii [3] . Exemplu: pentru o expresie , intervalul de valori valide este toate perechile în care . ${\frac {a+b}{ab}}$ $a,b$ $a\neq b$

Proprietăți operație

Comutativitatea (proprietatea de permutare) a adunării :

a+b=b+a.\

Scăderea este inversul adunării .
Scăderea numărului b este echivalentă cu adăugarea la opusul lui b :

ab=a+(-b).\

Comutativitatea (proprietatea de permutare) a înmulțirii :

a\cdot b=b\cdot a\

Împărțirea este inversul înmulțirii .
Împărțirea la zero nu este posibilă.
Împărțirea cu b este aceeași cu înmulțirea cu reciproca lui b :

{a \over b}=a\left({1 \over b}\right).

Exponentiația nu este comutativă. Prin urmare, are două operații inverse: extragerea rădăcinii și luarea logaritmului .
- Exemplu: dacă , atunci Dacă , atunci $3^{x}=10$ $x=\log _{3}10.$ $x^{2}=10$ $x=\pm {\sqrt {10}}.$
Nu există rădăcină pară a unui număr negativ (printre numerele reale). Vezi numere complexe .
Proprietate asociativă (asociativă) a adunării: $(a+b)+c=a+(b+c).$
Proprietate asociativă (asociativă) a înmulțirii: $(ab)c=a(bc).$
Proprietate distributivă (distributivă) pentru înmulțire: $c(a+b)=ca+cb.$
Proprietate distributivă (distributivă) pentru exponențiere: $(ab)^{c}=a^{c}b^{c}.$
Adăugarea exponenților: $a^{b}a^{c}=a^{b+c}.$
Înmulțirea exponenților: $(a^{b})^{c}=a^{bc}.$

Proprietăți de egalitate

Dacă și , atunci ( tranzitivitatea egalității). $a=b$ $b=c$ $a=c$
$a=a$ ( reflexivitate ).
Dacă , atunci ( simetric ). $a=b$ $b=a$

Alte legi

Dacă și , atunci ( aditivitatea egalității) $a=b$ $c=d$ $a+c=b+d.$
- Dacă , atunci pentru orice
c $a=b$ $a+c=b+c$

Dacă și , atunci = ( multiplicativitatea egalității)

a=b

c=d

ac

bd.

Dacă , atunci pentru orice

a=b

ac=bc

Dacă valorile a două caractere sunt aceleași, atunci în loc de unul, îl puteți înlocui pe celălalt (principiul substituției).

Dacă și , atunci ( tranzitivitatea comenzii).

a>b

b>c

a>c

Dacă , atunci pentru orice c .

a>b

a+c>b+c

Dacă și atunci

a>b

c>0

ac>bc.

Dacă și atunci

a>b

c<0

ac<bc.

Unele identități algebrice

(a+b)(ab)=a^{2}-b^{2}

(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2};\;(ab)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}

(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3};\;(ab)^{3}=a^{3} -3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}

a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2});\;a^{3}-b^{3}=(ab) (a^{2}+ab+b^{2})

Rezolvarea ecuațiilor

O ecuație este o egalitate de forma:

f(x_{1},x_{2}\dots )=g(x_{1},x_{2}\dots )

Rezolvarea ecuației este sarcina de a găsi astfel de valori ale variabilelor necunoscute pentru care se realizează această egalitate. Condiții suplimentare (întregi, reale etc.) pot fi impuse valorilor posibile ale variabilelor. Rezolvarea ecuațiilor este una dintre principalele probleme ale algebrei și ale matematicii în general; în cursul dezvoltării istorice a științei, au fost dezvoltate numeroase metode ( algoritmi ) pentru diferite varietăți ale acestei probleme.

Contur istoric

Pentru originea numelui științei, vezi algebră .

Ideea de a scrie proprietățile generale ale numerelor și ale algoritmilor de calcul într-un metalimbaj simbolic special a apărut cu mult timp în urmă, cu toate acestea, inițial, simbolurile alfabetice din ecuații au indicat doar necunoscute, ale căror valori ar trebui găsite, și pentru alți termeni ai ecuației, au fost notate valori numerice specifice. Ideea că este util și pentru generalitate să desemneze cantități cunoscute ( coeficienți ) prin simboluri și-a făcut drum încet.

Pentru prima dată, din câte se poate judeca din scrierile antice care au ajuns până la noi, în Aritmetica lui Diophantus ( secolul al IV-lea ) apare un sistem algebric dezvoltat. Cu greu se poate îndoi că a avut predecesori, așa cum i -au avut Euclid , Arhimede și alții, dar nu știm nimic despre oamenii sau lucrările pe care s-ar putea baza acest remarcabil algebrizist. Și nu a avut adepți până în secolul al XV-lea . Cu toate acestea, în Europa, traducerea „Aritmeticii” a devenit cunoscută abia în secolul al XVI-lea , iar metodele lui Diophantus au avut un impact imens asupra Vieta și Fermat .

Problema principală a Aritmeticii este găsirea de soluții raționale la ecuații nedefinite (polinoame de grad arbitrar) cu coeficienți raționali. Diophantus folosește simboluri alfabetice, totuși, încă doar pentru oameni necunoscuți. În introducerea în Aritmetică, Diophantus adoptă următoarele denumiri: el numește „număr” necunoscut și îl denotă cu litera ξ, pătratul necunoscutului prin simbolul etc. Simbolurile speciale denota grade negative, semnul egal și chiar , se pare, numere negative (există chiar și o regulă semne: minus ori minus este egal cu plus). Orice altceva este verbal. Au fost formulate multe reguli de algebră cunoscute nouă: schimbarea semnului atunci când este transferată într-o altă parte a ecuației, reducerea termenilor comuni etc. $\delta ^{\nu }$

Matematicienii indieni din Evul Mediu erau, de asemenea, mult avansați în algebră; simbolistica lor este mai bogată decât cea a lui Diophantus, deși oarecum greoaie (aglomerată de cuvinte).

În Europa, în cărțile „Aritmetică” și „Despre numerele date” ale lui Jordan Nemorarius ( sec. XIII ) se văd începuturile algebrei simbolice, deocamdată nedespărțite de geometrie. El, la fel ca și Fibonacci , au deja expresii precum „ un caii mănâncă și măsuri de ovăz în cinci zile”. Cu toate acestea, ei nu au inclus încă simbolismul în conceptul general de prezentare.

Cel mai mare algebriist al secolului al XV-lea, Luca Pacioli , și-a publicat versiunea simbolismului algebric, care nu era încă prea generală și nici prea convenabilă.

O reformă conceptuală și îmbunătățiri fundamentale în limbajul algebric au fost introduse la sfârșitul secolului al XVI-lea de către Francois Viet , avocat de profesie, matematician prin înclinație sufletească. Și-a imaginat clar scopul final - dezvoltarea unui „nou calcul”, un fel de aritmetică generalizată. Viet a notat cu litere toți coeficienții (apropo, Viet a fost cel care a inventat acest termen). Toate problemele sunt rezolvate într-un mod general și numai atunci sunt date exemple numerice. Transformări algebrice aplicate liber, schimbarea variabilelor și alte tehnici algebrice.

Sistemul lui Vieta a fost larg admirat. A făcut posibilă descrierea legilor aritmeticii și a algoritmilor cu o generalitate și o compactitate de neconceput anterior, a facilitat și a aprofundat studiul legilor numerice generale. Cu toate acestea, simbolismul lui Vieta era diferit de cel modern, uneori greoi, iar oamenii de știință din diferite țări au început să o îmbunătățească.

Englezul Thomas Harriot , în lucrarea sa publicată postum (1631), este deja foarte aproape de simbolismul modern: el denotă variabile cu litere mici, și nu cu litere mari, ca în Vieta, folosește semnul egal, precum și simbolurile de comparație. inventat de el „>” și „<” . Un aspect aproape modern a fost dat simbolismului algebric de către Rene Descartes (mijlocul secolului al XVII-lea, tratat „ Geometrie ”).

Rezultatul și finalizarea acestui proces a fost Aritmetica Universală a lui Newton . Unele subtilități rămase au fost rafinate de Euler . Cu toate acestea, literele din algebră pentru o lungă perioadă de timp au fost înțelese doar ca numere reale nenegative ; înțelegerea faptului că legile și metodele algebrice de rezolvare a ecuațiilor sunt aplicabile unei mari varietăți de obiecte matematice (ținând cont de specificul acestora) a venit abia în secolul al XIX-lea.

Vezi și

Literatură

Vygodsky M. Ya. Manual de matematică elementară. - M .: AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6 .
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Matematică elementară. Repetă cursul. - Ediția a treia, stereotipă. — M .: Nauka, 1976. — 591 p.
Glazer G.I. Istoria matematicii la scoala . - M . : Educaţie, 1964. - 376 p.

Ramuri ale matematicii

Portalul „Știință”

Bazele matematicii teoria multimilor logica matematica algebra logicii

Teoria numerelor ( aritmetică )

Algebră
Algebră elementară	Soluția ecuației
Algebră liniară	Calcul vectorial matrici Calcul tensor Algebră multiliniară
Algebră generală	Algebră comutativă Teoria reprezentării Algebră diferențială Algebră omologică Algebră universală Teoria categoriilor

Analiză
Analiza clasică	Calcul diferenţial Calcul integral
Teoria funcției	Analiza armonică Analiza cuaterniilor Analiză complexă teoria măsurării Teoria funcțiilor unei variabile reale analiza functionala Calculul variațiilor
Ecuații diferențiale și integrale	Sisteme dinamice și teoria ergodică Ecuatii diferentiale comun în derivate parţiale Ecuații integrale
Analiza Vectorială Analiza globală Teoria catastrofei Analiză personalizată Analiză infinitezimală netedă

Geometrie și topologie
Geometrie	Geometrie algebrică Geometrie analitică Geometrie euclidiană Geometrie non-euclidiană Planimetrie Stereometrie
Topologie	Topologie generală Topologie algebrică Geometrie și topologie diferențială

Matematică discretă
Combinatorică teoria grafurilor

Matematică aplicată
Fizică matematică Chimie matematică biologie matematică Statistici matematice Modelare matematică Teoria algoritmilor Metode numerice economie matematică matematica financiara Teoria probabilității Cercetare operațională Teoria jocului

Portalul „Matematică”
Categoria „Matematică”