Latice (algebră)

O zăbrele (anterior era folosit termenul de structură ) este o mulțime parțial ordonată în care fiecare submulțime de două elemente are atât o limită superioară exactă (sup) cât și una inferioară exactă (inf) . Aceasta implică existența acestor fețe pentru orice submulțimi finite nevide.

Exemple

mulţimea tuturor submulţilor dintr-o mulţime dată, ordonate după includere; de exemplu: , ; $\sup\{\{x\},\{x,y\}\}=\{x,y\},\inf\{\{x\},\{x,y\}\} =\{x\}$ $\sup\{\{x\},\{y,z\}\}=\{x,y,z\},\inf\{\{x\},\{y,z\} \}=\emptyset$
orice mulţime ordonată liniar ; iar dacă , atunci ; $a\leqslant b$ $\sup(a,b)=b,\inf(a,b)=a$
mulţimea tuturor subspaţiilor din spaţiul vectorial ordonate după includere, unde este intersecţia şi este suma subspaţiilor corespunzătoare; $\inf$ $\sus$
mulţimea tuturor numerelor întregi nenegative , ordonate după divizibilitate : dacă pentru unele . Aici - cel mai mic multiplu comun și - cel mai mare divizor comun al acestor numere; $a\leqslant b$ $b=ac$ $c$ $\sus$ $\inf$
funcții reale definite pe segmentul [0, 1] ordonate după condiția dacă pentru toate . Aici $f\leqslant g$ $f(t)\leqslant g(t)$ $t\in [0,1]$

\sup(f,g)=u

, unde .

u(t)=\max(f(t),g(t))

Definiție algebrică

O rețea poate fi, de asemenea, definită ca o algebră universală cu două operații binare (sunt notate cu și sau + și ∙) care satisfac următoarele identități $\vee$ $\pană$

$a\vee a=a$
$a\wedge a=a$ ( idempotenta )
$a\vee b=b\vee a$
$a\wedge b=b\wedge a$ ( comutativitate )
$(a\vee b)\vee c=a\vee (b\vee c)$
$(a\wedge b)\wedge c=a\wedge (b\wedge c)$ ( asociativitate )
$a\wedge (a\vee b)=a$
$a\vee (a\wedge b)=a$ ( absorbție ).

Legătura dintre aceste două definiții se stabilește folosind formulele:

a\vee b=\sup(a,b)

a\wedge b=\inf(a,b)

si inapoi. Mai mult, pentru orice elemente și următoarele afirmații sunt echivalente: $A$ $b$

a\leqslant b

;

a\wedge b=a

;

a\vee b=b

Conceptele de izomorfism al rețelelor ca algebre universale și ca mulțimi parțial ordonate coincid. Cu toate acestea, o hartă izotonică arbitrară a unei rețele la o rețea nu trebuie să fie un homomorfism al acestor rețele ca algebre universale. $R$ $R'$

Subrețele

O subrețea este un subset de elemente de rețea care este închisă sub operațiunile și . Exemple de subrețele sunt orice submulțime de un element al rețelei, ideal , filtru , interval . $+$ $\cdot$

O subrețea se numește convexă dacă rezultă din și că . Toate subrețelele de mai sus sunt convexe. $A$ $a,b\in A$ $a<c<b$ $c\în A$

Orice subset de elemente în lanț este subrețeaua sa (nu neapărat convexă). Toate subrețelele unei rețele date, ordonate după relația de incluziune, formează o rețea.

Istorie

Apariția conceptului de „zăbrele” se referă la mijlocul secolului al XIX-lea. A fost formulat clar de R. Dedekind în lucrările din 1894 şi 1897 . Termenul „zăbrele”, tradus ca „structură”, a fost introdus de Birkhoff în 1933 . În prezent, în terminologia rusă (din cauza ambiguității cuvântului „structură”), acesta a fost înlocuit de traducerea „zăbrele”. Din punct de vedere istoric, rolul teoriei rețelelor se explică prin faptul că multe fapte privind setul de idealuri ale inelului și setul de subgrupuri normale ale grupului arată similar și pot fi demonstrate în cadrul teoriei rețelelor Dedekind . Ca ramură independentă a algebrei, această teorie a fost formată în anii 30 ai secolului XX. Cele mai importante clase de rețele, în afară de cele Dedekind, sunt rețelele complete , rețelele distributive și algebrele booleene .

Exemple de mulțimi ordonate care nu sunt zăbrele

Ordinea discretă - oricare două elemente diferite sunt incomparabile - va fi o rețea numai dacă există un singur element.
Divizorii lui 36 fără 6 sunt {1, 2, 3, 12, 18, 36}. 2 și 3 nu au o față superioară exactă, iar 12 și 18 nu au o față inferioară exactă.

Vezi și

Link -uri

Monografii disponibile gratuit pe Internet:

Burris, Stanley N., H. P. Sankappanavar . Un curs de algebră universală. — Springer-Verlag, 1981. ISBN 3-540-90578-2 .
Peter Jeepsen, Henry Rose . Varieties of Lattices - Lecture Notes in Mathematics 1533, Springer Verlag, 1992. ISBN 0-387-56314-8 .

Texte elementare pentru cei cu puțină cultură matematică:

Thomas Donnellan . Teoria rețelei. — Pergamon, 1968.
G. Gratzer . Teoria rețelelor: primele concepte și rețele distributive. - W.H. Freeman, 1971.

Introducerile obișnuite la subiect, ceva mai complexe decât cele de mai sus:

BA Davey, HA Priestley . Introducere în Grile și ordine. — Cambridge University Press , 2002.

Monografii avansate:

Garrett Birkhoff . Teoria rețelei. — Ed. a 3-a. Vol. 25 din Publicațiile Colocviului AMS. Societatea Americană de Matematică, 1967.
Robert P. Dilworth, Peter Crawley . Teoria algebrică a rețelelor. - Prentice-Hall, 1973. ISBN 978-0-13-022269-5 .

Despre zăbrele gratuite:

R. Freese, J. Jezek, J. B. Nation . Grile gratuite. — Studii și monografii matematice vol. 42 Asociația de matematică din America , 1985.
PT Johnstone . spatii de piatra. - Cambridge Studies in Advanced Mathematics 3. Cambridge University Press, 1982.

Literatură

Birkhoff G. Teoria structurilor / Per. din engleza. - M., 1952;
Skornyakov L. A. Elemente de teoria structurilor. - M., 1970;
Zhitomirsky G. I. Seturi și zăbrele ordonate. - Saratov, 1981;
Gretzer G. Teoria generală a rețelelor / Per. din engleza. - M., 1982.