O serie de numere prime reciproce

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 29 iunie 2020; verificarea necesită 1 editare .

Un număr de numere prime reciproce diverge . Acesta este:

\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{p}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{ \frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{ 17}}+\cdots=\infty

Acest fapt a fost dovedit de Leonhard Euler în 1737 [1] , care a întărit rezultatul lui Euclid (secolul III î.Hr.) că există infinit de numere prime .

Există o serie de dovezi ale rezultatului lui Euler, inclusiv o estimare pentru limita inferioară a sumelor parțiale, care afirmă că

\sum _{\scriptstyle p{\text{prime}} \atop \scriptstyle p\leq n}{\frac {1}{p)}\geqslant \ln \ln(n+1)-\ln {\frac {\pi ^{2}}{6}}

pentru toate numerele naturale n . Logaritmul natural dublu (ln ln) indică faptul că divergența seriei este foarte lentă. Vezi articolul „Constanta Meissel-Mertens” .

Seria armonică

Divergența acestei serii a fost dovedită de Euler. Pentru a face acest lucru, a luat în considerare seria armonică :

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}} +{\frac {1}{4}}+\cdots =\infty$

Și, de asemenea, următoarea „identitate” , cu care a mai arătat că mulțimea primelor este infinită:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p}}+{ \frac {1}{p^{2}}}+\cdots \right)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-1}}}$

Aici produsul este preluat peste toate numerele prime. Astfel de produse infinite se numesc astăzi produse Euler . Produsul de mai sus este o reflectare a teoremei fundamentale a aritmeticii . Euler a observat că dacă numărul primelor ar fi finit, atunci produsul din dreapta ar trebui să convergă, ceea ce contrazice divergența seriei armonice.

Dovezi

Dovada lui Euler

Continuând raționamentul descris mai sus, Euler a luat logaritmul natural al fiecărei părți. Apoi a folosit expansiunea seriei Taylor , precum și convergența seriei de putere inversă: ${\textstyle -\ln(1-x)=x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{ 4}}{4}}+\puncte }$

{\begin{aliniat}\ln \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\right)&{}=\ln \left(\ prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-1))}\right)=-\sum _{p}\ln \left(1-{\frac {1}{p)) \right)\\&{}=\sum _{p}\left({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2p^{2}}}+{\frac {1} {3p^{3}}}+\cdots \right)\\&{}=\sum _{p}{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2}}\sum _ {p}{\frac {1}{p^{2}}}+{\frac {1}{3}}\sum _{p}{\frac {1}{p^{3}}}+{ \frac {1}{4}}\sum _{p}{\frac {1}{p^{4}}}+\cdots \\&{}=A+{\frac {1}{2}}B+ {\frac {1}{3}}C+{\frac {1}{4}}D+\cdots \\&{}=A+K\end{aliniat}}

cu constantă fixă K < 1 . Apoi a folosit proprietatea

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n)}=\ln \infty ,

a cărui derivare a explicat-o, de exemplu, într-o lucrare ulterioară din 1748 [2] , prin atribuirea x = 1 în expansiunea Taylor

\ln \left({\frac {1}{1-x}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n} }.

Acest lucru i-a permis să tragă concluzia că

A={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{ \frac {1}{11}}+\cdots =\ln \ln \infty .

Probabil, Euler a vrut să spună că suma reciprocelor numerelor prime mai mici decât n crește asimptotic pe măsură ce ln ln n pe măsură ce n tinde spre infinit. S-a dovedit că acesta este de fapt cazul, iar o versiune mai exactă a acestui fapt a fost dovedită riguros de Franz Mertens în 1874 [3] . Euler, pe de altă parte, a obținut rezultatul corect folosind metode nerigoare.

Dovada lui Erdős prin limite superioare și inferioare

Următoarea dovadă prin contradicție se datorează lui Pal Erdős .

Fie p i să desemneze i -al-lea număr prim. Imaginați-vă că suma reciprocelor numerelor prime converge . Acestea.

\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{p_{i)}}<\infty

Atunci există cel mai mic număr întreg pozitiv k astfel încât

\sum _{i=k+1}^{\infty }{\frac {1}{p_{i}}}<{\frac {1}{2}}\qquad (1)

Pentru un întreg pozitiv x , fie M x mulțimea lui n din mulțimea {1, 2, …, x } care nu sunt divizibile cu niciun prim mai mare decât p k (sau, în mod echivalent, toate care sunt produsul puterilor lui numere prime ). Acum putem scoate o limită superioară și inferioară pentru numărul de elemente din . Pentru x mare , aceste limite conduc la o contradicție. $n\leqslant x$ $p_{i}\leqslant p_{k)$ $|M_{x}|$ $M_{x}$

Topul scorului:

Orice n din M x poate fi scris ca m și r cu numere întregi pozitive , unde r este un număr fără pătrat . Deoarece pot exista numai k prime (cu exponentul 1) în factorizarea prime a lui r , există cel mult 2k posibilități diferite pentru r . În plus, există cel mult valori posibile pentru m . Aceasta dă limita superioară

n=m^{2}r

p_{1},\ldots,p_{k)

\sqrt{x}

|M_{x}|\leq 2^{k}{\sqrt {x}}\qquad (2)

Scorul de jos:

Numerele rămase în diferența mulțimilor {1, 2, …, x } \ M x sunt toate divizibile cu numere prime mai mari decât . Să notăm mulțimea unor astfel de n din {1, 2, …, x } care sunt divizibile cu i --lea prim . Apoi

x-|M_{x}|

p_{k}

N_{i,x)

p_{i}

\{1,2,\ldots,x\}\smallsetminus M_{x}=\bigcup _{i=k+1}^{\infty }N_{i,x)

Deoarece numărul de numere întregi nu depășește (de fapt, este egal cu zero pentru ), obținem

N_{i,x)

{\tfrac {x}{p_{i)}}

p_{i}>x

{\displaystyle x-|M_{x}|\leqslant \sum _{i=k+1}^{\infty }|N_{i,x}|<\sum _{i=k+1}^{\ infty }{\frac {x}{p_{i))))

Folosind (1), de aici obținem

{\frac {x}{2}}<|M_{x}|\qquad (3)

Obținem o contradicție — dacă , estimările (2) și (3) nu pot fi efectuate simultan, deoarece . $x\geqslant 2^{2k+2}$ ${\tfrac {x}{2}}\geqslant 2^{k}{\sqrt {x}}$

Dovada că o serie crește cu o rată de log-log

Există o altă dovadă care oferă o estimare mai mică pentru sumele parțiale. În special, aceasta arată că aceste sume cresc cel puțin la fel de mult ca ln ln n . Dovada este o variantă a ideii de extindere a produsului lui Euler . Mai jos, sumele sau produsele peste p sunt întotdeauna sume sau produse peste anumite seturi de numere prime.

Dovada se bazează pe următoarele patru inegalități:

Orice număr întreg pozitiv i poate fi reprezentat în mod unic ca un produs al numerelor fără pătrat și al unui pătrat. Aceasta dă inegalitatea

{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\leqslant \prod _{p\leq n}{\left(1+{\frac {1}{p }}\right)}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2))))

, unde, pentru orice i între 1 și n , produsul (descompus) corespunde părții fără pătrat a lui i , iar suma corespunde părții pătrate a lui i (vezi articolul „ Teorema fundamentală a aritmeticii ”).

Limita superioară pentru logaritmul natural

{\begin{aliniat}\ln(n+1)&=\int _{1}^{n+1}{\frac {dx}{x}}\\&=\sum _{i= 1}^{n}\underbrace {\int _{i}^{i+1}{\frac {dx}{x}}} _{{}\,<\,{\frac {1}{i} }}\\&<\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\end{aligned}}

Limita inferioară 1 + x < exp( x ) pentru funcția exponențială este valabilă pentru toate x > 0 .
Lasă . Limită superioară (folosind seria telescopică ) pentru sume parțiale $n \geqslant 2$

{\begin{aliniat}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}&<1+\sum _{k=2}^{n }\underbrace {\left({\frac {1}{k-{\frac {1}{2))))-{\frac {1}{k+{\frac {1}{2))))\ dreapta)} _{=\,{\frac {1}{k^{2}-{\frac {1}{4))))\,>\,{\frac {1}{k^{2} ))}\\&=1+{\frac {2}{3}}-{\frac {1}{n+{\frac {1}{2}}}}<{\frac {5}{3} }\end{aliniat}}

Combinând toate aceste inegalități, obținem

{\begin{aliniat}\ln(n+1)&<\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\\&\leq \prod _{p \leq n}{\left(1+{\frac {1}{p}}\right)}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}} \\&<{\frac {5}{3}}\prod _{p\leq n}{\exp \left({\frac {1}{p}}\right)}\\&={\frac {5}{3}}\exp \left(\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}\right)\end{aliniat}}

După împărțirea și luarea logaritmului natural al ambelor părți, obținem ${\tfrac {5}{3}}$

\ln \ln(n+1)-\ln {\frac {5}{3}}<\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}

Q.E.D. ∎

Folosind

\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}

(vezi „Problema Basel” ), constanta de mai sus poate fi îmbunătățită la . De fapt, se dovedește că $\ln {\tfrac {5}{3}}=0{,}51082\ldots$ $\ln {\tfrac {\pi ^{2}}{6}}=0{,}4977\ldots$

\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}-\ln \ln n\right)=M

unde este constanta Meissel-Mertens (ceva similar cu mai cunoscuta constantă Euler-Mascheroni ). $M=0{,}261497\ldots$

Dovada inegalității lui Dusar

Din inegalitatea lui Dusar avem

p_{n}<n\ln n+n\ln \ln n\quad

pentru

n\geqslant 6

Apoi

{\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{p_{n)}} și\geqslant \sum _{n=6}^{\infty }{\frac {1}{p_{n))}\\&\geqslant \sum _{n=6}^{\infty }{\frac {1}{n\ln n+n\ln \ln n }}\\&\geqslant \sum _{n=6}^{\infty }{\frac {1}{2n\ln n}}=\infty \end{aligned}}

conform testului de convergenţă integrală Cauchy-Maclaurin . Aceasta arată că seria din stânga diverge.

Sume parțiale

În timp ce sumele parțiale ale reciprocelor pentru numerele prime ajung în cele din urmă la orice valoare întreagă, ele nu pot fi niciodată egale cu un număr întreg.

Una dintre dovezile [4] în acest sens se face prin inducție - prima sumă parțială este egală și are forma (adică impar/par). Dacă a n- a sumă parțială (pentru ) are forma , atunci a- a sumă este egală cu ${\tfrac {1}{2))$ ${\tfrac {impar}{par}}$ $n\geqslant 1$ ${\tfrac {impar}{par}}$ $(n+1)$

{\frac {\text{impar}}{\text{par}}}+{\frac {1}{p_{n+1}}}={\frac {{\text{impar}}\ cdot p_{n+1}+{\text{even}}}{{\text{even}}\cdot p_{n+1}}}={\frac {{\text{odd}}+{\text {even}}}{\text{even}}}={\frac {\text{odd}}{\text{even}}}

deoarece al-lea număr prim este impar. Deoarece suma este din nou de forma , suma parțială nu poate fi un număr întreg (2 împarte numitorul, dar nu împarte numărătorul), ceea ce demonstrează afirmația. $(n+1)$ $p_{n+1}$ ${\tfrac {impar}{par}}$

O altă demonstrație rescrie expresia pentru suma primelor n reciproce pentru numerele prime (sau suma reciprocelor oricărui set de prime) în termenii unui numitor comun , care este produsul tuturor acelor numere prime. Apoi, fiecare dintre aceste numere prime împarte toți termenii numărătorului, cu excepția unuia, și, prin urmare, nu împarte numărătorul ca întreg. Dar fiecare prim împarte un numitor. Astfel, fracția este ireductibilă și nu este un număr întreg.

Vezi și

Teorema lui Euclid , care afirmă că există infinit de numere prime.
Teorema lui Brun privind convergența sumei reciprocelor primelor gemene la constanta lui Brun .

Note

↑ Euler, 1737 , p. 160–188.
↑ Euler, 1748 , p. 228, ex. unu.
↑ Mertens, 1874 , p. 46–62.
↑ Domnul, 2015 , p. 128–130.

Literatură

William Dunham. Euler Stăpânul tuturor. - MAA , 1999. - P. 61-79. — ISBN 0-88385-328-0 .
Leonhard Euler . Various observations concerning infinite series = Variae observationes circa series infinitas // Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae. - 1737. - T. 9 .
Leonhard Euler . Introducere în analiza infinită . Tomus Primus. — Lausanne: Bousquet, 1748.
Mertens F. Ein Beitrag zur analytischer Zahlentheorie // J. Reine Angew. Matematică.. - 1874. - T. 78 .
Nick Lord. Dovezi rapide că anumite sume de fracții nu sunt numere întregi // The Mathematical Gazette. - 2015. - T. 99 . - doi : 10.1017/mag.2014.16 .

Link -uri

Caldwell, Chris K. Există infinit de numere prime, dar cât de mare este un infinit? . (nedefinit)

Secvențe și rânduri
Secvențe	Secvență numerică Secvență fundamentală Secvență liniară recurentă numerele Fibonacci numere ondulate Factorială secvența Barker de bruijn secvenţă
Rânduri, de bază	Suma rândurilor Restul rândului Convergență condiționată Serii alternante Rând multisecțiune
Seria de numere ( operații cu seria de numere )	serie armonică seria Leibniz O serie de pătrate inverse O serie de numere prime reciproce rândul Dirichlet Seria Mercator Row Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
rânduri funcționale	Seria Taylor Seria Laurent Seria Fourier Seria Fourier trigonometrică serie trigonometrică Seria Wiener
Alte tipuri de rânduri	Seria Neumann rândul Puiseux