Media aritmetică-geometrică

Media aritmetic-geometrică ( media aritmetic-geometrică , AGS ) este o valoare determinată pentru două mărimi și ca limită a șirului , , unde: $A$ $b$ $\{un}\}$ $\{b_{N}\}$

a_{0}=a\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad b_{0}=b

a_{1}={\frac {a_{0}+b_{0}}{2}}\quad \quad \quad \quad b_{1}={\sqrt {a_{0}b_{0}}}

a_{2}={\frac {a_{1}+b_{1}}{2}}\quad \quad \quad \quad b_{2}={\sqrt {a_{1}b_{1}}}

…

a_{N}={\frac {a_{{N-1}}+b_{{N-1}}}{2}}\quad \quad b_{N}={\sqrt {a_{{N-1 }}b_{{N-1}}}}

au pentru aceeași limită: [1] [2] $N\la +\infty$

\lim _{{N\to \infty }}a_{N}=\lim _{{N\to \infty }}b_{N}=M(a,b)

AGS poate fi aplicat pentru a calcula rapid perioada exactă a unui pendul matematic . [3]

Media aritmetică-geometrică modificată ( MAGS ) a două mărimiși este limita (comună) a secvenței (descrescătoare)și a secvenței (crescătoare), unde,și. $X$ $y$ $\{x_{n}\}_{{n=1}}^{\infty }$ ${\displaystyle \{y_{n}\}_{n=1}^{\infty ))$ $x_{0}=x$ $y_{0}=y$ $z_{0}=0$

x_{n+1}={\frac {x_{n}+y_{n}}{2}}

y_{n+1}=z_{n}+{\sqrt {(x_{n}-z_{n})(y_{n}-z_{n)))))

z_{n+1}=z_{n}-{\sqrt {(x_{n}-z_{n})(y_{n}-z_{n)))))

MAGS poate fi folosit pentru a calcula rapid lungimea unui fir într-un câmp paralel liniar de forțe de respingere.

MAGS este exprimabil în termeni de AGS, un astfel de calcul indirect al MAGS este de preferat atunci când se calculează lungimea perimetrului unei elipse cu semiaxe și : $L$ $A$ $b$

L={\frac {2\pi N(a^{2};b^{2})}{M(a;b))),

unde sunt AGS-urile numerelor și , și sunt MAGS-urile numerelor și . Astfel, o astfel de formulă exprimă metoda Gauss, cu convergență pătratică, pentru calcularea integralei eliptice complete de al doilea fel. [3] $M(x;y)$ $X$ $y$ $N(x;y)$ $X$ $y$

Aplicații

Folosind AGS și MAGS, este posibil să se calculeze valorile unor funcții și numere transcendentale . De exemplu, conform formulei Gauss-Salamina [4] : $\pi$

\pi ={\frac {2M\left(1;{\sqrt {2}}\right)^{2}}{1-\sum _{j=1}^{\infty }2^{ j}c_{j}^{2}}},

unde , , . $c_{j}={\frac {1}{2}}\left(a_{j-1}-b_{j-1}\right)$ $a_{0}=1$ $b_{0}={\sqrt {2}}$

În același timp, dacă luăm:

a_{0}=1,\quad \quad \quad b_{0}=\cos \alpha

apoi

\lim _{N\to \infty}a_{N}={\frac {\pi }{2K(\sin \alpha )))

unde este integrala eliptică completă $K(\alpha )$

K(\alpha )=\int _{0}^{\frac {\pi }{2))(1-\alpha ^{2}\sin ^{2}\theta )^{-{\ frac {1}{2}}}d\theta

Adică se exprimă prin formula: $\pi$

\pi ={\frac {M({\sqrt {2)})^{2}}{N(2)-1}}

unde este AGS 1 și , și este MAGS 1 și [3] . $M(x)$ $X$ $N(x)$ $X$

Folosind această proprietate, precum și transformările lui Landen [5] , Brent a propus [6] primii algoritmi AGS pentru calcularea rapidă a celor mai simple funcții transcendentale ( ). În viitor, studiul și utilizarea algoritmilor AGS a fost continuată de mulți autori [7] $e^{x},\cos x,\sin x$

Note

↑ B.C. Carlson. Algoritmi care implică mijloace aritmetice și geometrice (engleză) // Amer. Matematică. Lunar : jurnal. - 1971. - Vol. 78 . - P. 496-505 . - doi : 10.2307/2317754 .
↑ B.C. Carlson. Un algoritm pentru calcularea logaritmilor și arctangentelor // Math.Comp . : jurnal. - 1972. - Vol. 26 , nr. 118 . - P. 543-549 . - doi : 10.2307/2005182 .
↑ 1 2 3 Adlaj, Semjon (septembrie 2012), An eloquent formula for the perimeter of an elipse , Notices of the AMS vol . 76 (8): 1094–1099, ISSN 1088-9477 , doi : 10.10790/ , < http ://www.ams.org/notices/201208/rtx120801094p.pdf > Arhivat 6 mai 2016 la Wayback Machine
↑ E. Salamin Calculul utilizării mediei aritmetice-geometrice // Math . Comp. : jurnal. - 1976. - Vol. 30 , nr. 135 . - P. 565-570 . - doi : 10.2307/2005327 . $\pi$
↑ Landen, J. XXVI. O investigație a unei teoreme generale pentru găsirea lungimii oricărui arc a oricărei hiperbole conice, prin intermediul a două arce eliptice, cu alte teoreme noi și utile deduse din acestea // Tranzacții filosofice ale Societății Regale din Londra. - 1775. - Vol. 65 . - P. 283-289 . — ISSN 0261-0523 . - doi : 10.1098/rstl.1775.0028 .
↑ R.P. Brent . Evaluarea rapidă cu precizie multiplă a funcțiilor elementare // J. Assoc. Calculator. Mach. : jurnal. - 1976. - Vol. 23 , nr. 2 . - P. 242-251 . - doi : 10.1145/321941.321944 .
↑ JM Borwein și PB Borwein Pi și AGA . - New York: Wiley, 1987. - ISBN 0-471-83138-7 .

Rău
Matematica	Puterea medie ( ponderată ) medie armonică ponderat medie geometrică ponderat In medie ponderat rădăcină medie pătrată Cubic mediu medie mobilă Media aritmetică-geometrică Funcție medie Kolmogorov înseamnă
Geometrie	centru geometric Barycenter
Teoria probabilității și statistica matematică	Winsorized înseamnă eșantion mediu Valorea estimata Median Modă deviație standard Medie trunchiată Așteptarea condiționată
Tehnologia de informație	Medoid metoda k-mediană
Teoreme	Prima teoremă medie A doua teoremă medie Inegalitatea cu privire la media aritmetică, geometrică și armonică
Alte	Valorile centrului de distribuție