Putere înseamnă

Media de putere d (sau pur și simplu media de putere ) este un fel de medie . Pentru o mulțime de numere reale pozitive este definită ca $x_{1},\ldots ,x_{n}$

A_{d}(x_{1},\ldots,x_{n})={\sqrt[{d}]{\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}x_{ i}^{d}}{n}}}.

În același timp, conform principiului continuității față de indicatorul d , se determină următoarele valori:

A_{0}(x_{1},\ldots,x_{n})=\lim _{d\to 0}A_{d}(x_{1},\ldots,x_{n})= {\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}};

A_{+\infty }(x_{1},\ldots,x_{n})=\lim _{d\to +\infty }A_{d}(x_{1},\ldots,x_{ n})=\max\{x_{1},\ldots ,x_{n}\};

A_{-\infty }(x_{1},\ldots,x_{n})=\lim _{d\to -\infty }A_{d}(x_{1},\ldots,x_{ n})=\min\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}.

Media puterii este un caz special al mediei Kolmogorov .

Alături de conceptul de „medie de putere”, este utilizată și media ponderată a puterii unor cantități.

Alte titluri

Deoarece media gradului d generalizează mediile antice (așa-numitele arhimediene), este adesea numită medie generalizată .

În legătură cu inegalitățile lui Minkowski și Hölder , media puterii are și nume: media lui Hölder și media lui Minkowski .

Cazuri speciale

Grade medii 0, ±1, 2 și au propriile nume: $\pm\infty$

$A_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})=m={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}$ numită medie aritmetică ;

(cu alte cuvinte: media aritmetică a n numere este suma lor împărțită la n )

$A_{0}(x_{1},\ldots ,x_{n})=g={\sqrt[ {n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n))}$ se numeste medie geometrica ;

(cu alte cuvinte: media geometrică a n numere este rădăcina n - a a produsului acestor numere)

$A_{{-1))(x_{1},\ldots ,x_{n})=h={\frac {n}({\frac {1}{x_{1))}+{\frac {1 }{x_{2))}+\cdots +{\frac {1}{x_{n))))}$ numită medie armonică .

(cu alte cuvinte: media armonică a numerelor este reciproca mediei aritmetice a reciprocelor lor)

$A_{{2}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=s={\sqrt {{\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ cdots +x_{n}^{2}}{n}}}}$ numit pătrat mediu (pătrat) , cunoscut și prin abrevierea RMS (rădăcină-medie-pătrat).
În practica statistică, se utilizează, de asemenea, mediile legii puterii de ordinul al treilea și superior. Cele mai comune dintre acestea sunt valorile medii cubice și biquadratice medii.
Numărul maxim și minim dintr-un set de numere pozitive sunt exprimate ca media puterilor acestor numere: $+\infty$ $-\infty$

\operatorname {max}\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}=A_{{+\infty }}(x_{1},\ldots ,x_{n});

\operatorname {min}\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}=A_{{-\infty }}(x_{1},\ldots ,x_{n}).

Inegalitatea cu privire la mijloace

Inegalitatea medie afirmă că pentru orice $d_{1}>d_{2}$

A_{{d_{1}}}(x_{1},\ldots ,x_{n})\geq A_{{d_{2}}}(x_{1},\ldots ,x_{n})

în plus, egalitatea se realizează numai dacă toate argumentele sunt egale . $x_{1}=\ldots=x_{n}$

Pentru a demonstra inegalitatea medie, este suficient să arătăm că derivata parțială cu respect este nenegativă și dispare numai la (de exemplu, folosind inegalitatea Jensen ), și apoi să aplici formula de increment finit . $A_{d}(x_{1},\ldots,x_{n})$ $d$ $x_{1}=\ldots=x_{n}$

Inegalitatea cu privire la media aritmetică, geometrică și armonică

Un caz special al inegalității despre medii este inegalitatea despre media aritmetică, geometrică și armonică

\max\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}\geq {\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}\geq \left(x_{1} \cdot \ldots \cdot x_{n}\right)^{{1/n}}\geq {\frac {n}({\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}}}\geq \min\{x_{1},\ldots ,x_{n}\},

unde fiecare dintre inegalităţi devine o egalitate numai pentru . $x_{1}=\ldots=x_{n}$

Vezi și

inegalitatea lui Schweitzer

Link -uri

I. I. Zhogin. Despre medii // Educație matematică . A doua serie. - 1961. - Emisiune. 6 . - S. 217-226 .

Rău
Matematica	Puterea medie ( ponderată ) medie armonică ponderat medie geometrică ponderat In medie ponderat rădăcină medie pătrată Cubic mediu medie mobilă Media aritmetică-geometrică Funcție medie Kolmogorov înseamnă
Geometrie	centru geometric Barycenter
Teoria probabilității și statistica matematică	Winsorized înseamnă eșantion mediu Valorea estimata Median Modă deviație standard Medie trunchiată Așteptarea condiționată
Tehnologia de informație	Medoid metoda k-mediană
Teoreme	Prima teoremă medie A doua teoremă medie Inegalitatea cu privire la media aritmetică, geometrică și armonică
Alte	Valorile centrului de distribuție