Teoreme cosinus sferice

Prima și a doua teoreme de cosinus sferic stabilesc relații între laturile și unghiurile opuse ale unui triunghi sferic .

Formulare

Teoremele cosinusului pentru un triunghi sferic cu laturile a , b , c și unghiurile A , B , C sunt următoarele:

\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C,

\cos A=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cos a.

Aceste două teoreme sunt duale între ele, deoarece unghiurile și laturile oricărui triunghi sferic sunt completate cu un unghi drept de laturile și unghiurile triunghiului polar corespunzător . Prin urmare, este suficient să dovedim una dintre ele.

Dovada

Dovada se va realiza cu ajutorul proiecțiilor [1] . Figura prezintă un triunghi sferic ABC pe o sferă cu raza R centrată pe O. BP este perpendicular pe planul cercului mare care trece prin latura b , BM este perpendicular pe OC , BN este perpendicular pe OA . Prin inversul teoremei celor trei perpendiculare , PM este perpendiculara pe OC , PN este perpendiculara pe OA . Rețineți că unghiul PMB este egal cu π - C, în plus, ON = R cos c și OM = R cos a. Apoi, proiectăm polilinia OMPN pe linia care conține ON .

{\mbox{pr }}ON={\mbox{pr }}OM+{\mbox{pr }}MP+{\mbox{pr }}PN

PN\perp OA\Rightarrow {\mbox{pr }}PN=0

{\mbox{pr }}OM=OM\cos b=R\cos a\cos b

{\mbox{pr }}MP=PM\cos(\pi -({\frac {\pi {2}}-\angle MPN))=PM(-\sin \angle MPN)

=BM\cos \angle PMB(-\sin b)=BM\cos(\pi -C)(-\sin b)=R\sin b\sin a\cos C

Înlocuim ultimele trei expresii și expresia de mai sus ON = R cos c în prima expresie și obținem:

\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C

Teoremele cosinusului pentru celelalte două laturi, adică teorema pentru cos a și teorema pentru cos b, se obțin în mod similar, pot fi obținute și direct din formula pentru latura c folosind o permutare circulară a literelor:

$a\rightarrow b\rightarrow c\rightarrow a, A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A$

Consecințe și aplicații

Dacă unghiul C este drept, prima teoremă a cosinusului intră în teorema sferică a lui Pitagora :

\cos c=\cos a\cos b.

Deși formule mai convenabile sunt de obicei folosite pentru a rezolva triunghiuri sferice oblice , folosind teorema cosinusului, o formulă importantă pentru geodezie este derivată pentru lungimea cercului mare - cea mai scurtă distanță dintre punctele de pe suprafața pământului cu coordonate cunoscute (presupunând că pământul este sferic). Să notăm latitudinile geografice ale celor două puncte date și , diferența de longitudini - , cea mai scurtă distanță dintre ele o vom nota d, lungimea arcului de 1 grad - a. Apoi formula lungimii de ortodromie [2] : $\varphi _{A}$ $\varphi _{B}$ $\Delta \lambda _{AB}$

\cos\left (\frac{d}{a}\right)=\sin\varphi_A\cdot\sin\varphi_B+\cos\varphi_A\cdot\cos\varphi_B\cdot\cos\Delta\lambda_{AB}

Această formulă se obține imediat prin aplicarea teoremei cosinusului laturii AB a triunghiului sferic P n AB. O formulă similară este valabilă pentru orice suprafață sferică și, prin urmare, poate fi folosită și pentru a determina distanța unghiulară dintre stele folosind coordonatele ecuatoriale cunoscute ale acestora [3] .

Exemplul 1: Determinarea distanței unghiulare dintre două corpuri de iluminat de pe sfera cerească

Să determinăm distanța unghiulară (x) dintre steaua δ Cepheus (coordonate ecuatoriale: α 1 =22h 29m, δ 1 =+58° 25′) și galaxia Nebuloasa Andromeda (α 2 =0h 43m, δ 2 =+41 ° 16′) la sfera cerească. Exprimăm α 1 în grade și fracții de grad:

\alpha_1 = \left (22+\frac{29}{60}\right )\cdot\frac{360}{24}=337^\circ,25

În mod similar, obținem că α 2 =10°.75. Exprimăm δ 1 în grade și fracții de grad:

\delta_1 = 58+\frac{25}{60}=58^\circ,42

În mod similar, 52 = 41°,27. Aplicam teorema cosinusului [4] :

$\begin{align} \cos x & = \cos(90^\circ-\delta_1)\cdot\cos(90^\circ-\delta_2)+\sin(90^\circ-\delta_1)\cdot\sin (90^\circ-\delta_2)\cdot\cos(\alpha_1-\alpha_2)\\ & =\sin 58^\circ,42\cdot\sin 41^\circ,27+\cos 58^\circ, 42\cdot\cos 41^\circ,27\cdot\cos (337^\circ,25-10^\circ,75)\\ &=0,89 \end{align}$

Prin urmare, x=27°,11.

Teorema cosinusului în a doua formă (relația dintre trei unghiuri și o latură) poate fi aplicată pentru a calcula înclinația reciprocă a două orbite, având în vedere înclinarea fiecărei orbite față de alt plan. De exemplu, această formulă poate fi utilizată pentru a calcula înclinarea orbitei lui Pluto față de cea a lui Neptun , folosind înclinațiile orbitelor lor față de ecliptică și longitudinele nodurilor lor ascendente.

Exemplul 2: Determinarea înclinării reciproce a orbitelor corpurilor cerești

Să determinăm înclinația reciprocă (x) a orbitelor lui Pluto (înclinarea orbitei față de ecliptică este de 17°.14, longitudinea nodului ascendent este de 110°.30) și Neptun (înclinarea orbitei către ecliptica este de 1°.77, longitudinea nodului ascendent este de 131°.79) . În triunghiul sferic corespunzător, se cunosc două unghiuri: unul este egal cu înclinarea orbitei lui Pluto față de ecliptică, celălalt este adăugarea înclinării orbitei lui Neptun la ecliptică până la 180 de grade. Este cunoscută și latura adiacentă acestor colțuri, egală cu diferența de longitudini a nodurilor ascendente ale lui Pluto și Neptun. Rămâne să se aplice cea de-a doua versiune a teoremei cosinusului - pentru unghiuri:

$\begin{align} \cos x & = -\cos(17^\circ,14)\cdot\cos(180^\circ-1^\circ,77)+\sin(17^\circ,14)\ cdot\sin(180^\circ-1^\circ,77)\cdot\cos(131^\circ,79-110^\circ,30)\\ & \approx0,9636\\ \end{align}$

Prin urmare, x≈15°,51.

Istorie

Matematicienii din Orientul medieval au folosit o afirmație echivalentă cu teorema cosinusului sferic în rezolvarea unor probleme astronomice specifice. Aceste rapoarte utilizate pentru determinarea înălțimii Soarelui se găsesc în scrierile lui Thabit ibn Korra , al-Mahani , al-Battani , Ibn Yunis , al-Biruni .

Prima formulare explicită a teoremei a fost dată în secolul al XV-lea de către Regiomontanus , care a numit-o „teorema Albategnius” (după numele latinizat al-Battani ).

Vezi și

Note

↑ Citat conform publicației: Stepanov N. N. Formule pentru cosinusul unei laturi // Trigonometrie sferică . - M. - L .: OGIZ , 1948. - S. 24 -28. — 154 p.
↑ Mihailov V.S., Kudryavtsev V.G., Davydov V.S. 26.2. Formule de bază ale ortodormiei. Modalități de setare // Navigare și Pilot . - Kiev, 2009. Copie de arhivă din 25 iulie 2012 la Wayback Machine
↑ Meyos J. 9. Distanța unghiulară dintre obiecte // Formule astronomice pentru calculatoare. - Mir , 1988. - S. 44-46. — 168 p. — ISBN 5030009361 .
↑ Lee Kai Ming. PHYS 2021 - Universul fizic . - 2010. - S. 6 . Arhivat din original pe 3 decembrie 2008.

Literatură

Wentzel M. K. Trigonometrie sferică. Ed. a II-a, IGKL, 1948, 115s.
Matvievskaya G.P. Eseuri despre istoria trigonometriei: Grecia antică. Orientul medieval. Evul Mediu târziu. - Ed. al 2-lea. - M. : Librokom, 2012. - 160 p. - (Moștenirea fizico-matematică: matematică (istoria matematicii)). — ISBN 978-5-397-02777-9 .
Stepanov N. N. Trigonometrie sferică. - L.-M., 1948.

Trigonometrie sferică
Noțiuni de bază	triunghi sferic triunghi polar Exces Bigon
Formule și rapoarte	Teoreme ale cosinusului Teorema sinusului Formula cu cinci elemente Formula pe jumătate regula mnemonică a lui Napier Teorema sferică a lui Pitagora formule Delambre formulele de analogie ale lui Napier teorema lui Legendre Rezolvarea triunghiurilor
subiecte asemănătoare	Sistem de coordonate sferice geometrie sferică unghi triedric