Teorema Weierstrass-Stone

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 8 aprilie 2020; verificarea necesită 1 editare .

Teorema Weierstrass-Stone este o afirmație despre posibilitatea reprezentării oricărei funcții continue pe un compact Hausdorff stabilit de limita unei secvențe uniform convergente de funcții continue ale unei clase speciale - algebra Stone .

Formulat și dovedit inițial de Karl Weierstrass în 1885 pentru funcții continue pe un segment al dreptei reale, stabilindu-se posibilitatea aproximării lor uniform printr-o succesiune de polinoame . În 1937, Marshall Stone a generalizat în mod substanțial rezultatul extinzând rezultatul la funcții care sunt continue pe un spațiu compact T2-separabil arbitrar, formând un inel și ca șiruri uniform convergente de funcții, în loc de polinoame, la funcții din o subclasă specifică de funcții continue care formează un subring.

Ulterior, s-au găsit și alte generalizări ale rezultatului .

Teorema lui Weierstrass

Fie o funcție continuă definită pe intervalul . Atunci pentru oricare există un polinom cu coeficienți reali astfel încât condiția [1] este satisfăcută simultan pentru toți . $f$ $[a,b]$ $\varepsilon >0$ $p$ $X$ $[a,\;b]$ $|f(x)-p(x)|<\varepsilon$

Dacă este continuă pe cerc (periodic), atunci afirmația este adevărată și pentru polinoamele trigonometrice . $f(x)$

Teorema este valabilă și pentru funcții cu valori complexe, dar atunci coeficienții polinomului ar trebui considerați numere complexe, iar conjugările lor complexe trebuie adăugate la polinoame. $p$

Schița dovezii Weierstrass

Teorema a fost stabilită de Karl Weierstrass în 1885 [2] ca o consecință a unei afirmații mai generale: pentru funcții continue reale definite peste tot și , a căror valoare absolută nu depășește o anumită limită, nu își schimbă semnul nicăieri și satisface egalitatea , iar integrala converge pentru aceasta: $f(x)$ $\psi(x)$ $\psi(x)$ $\psi(-x)=\psi(x)$

\int \limits _{0}^{\infty }\psi (x)dx=\omega

efectuat:

f(x)=\lim \limits _{k\to 0}{\frac {1}{2k\omega }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\psi \left ({\frac {xy}{k}}\right)f(y)dy

Din demonstrația directă rezultă imediat că limita nu numai că există și este egală cu , ci și că convergența este uniformă în , schimbându-se pe orice interval finit. $f(x)$ $X$

Luând ca , fiecare funcție din familie: $\psi(x)=e^{-x^2}$

F_k(x) = \frac{1}{2k\omega}\int\limits_{-\infty}^\infty \psi\left( \frac{xy}{k}\right)f(y)dy

este complet definit pentru toate complexele și este întreg . Prin urmare, ele pot fi aproximate uniform într-un cerc de orice rază prin polinoame ( teorema lui Abel ). Acest lucru implică imediat că orice funcție continuă poate fi aproximată uniform prin polinoame pe orice interval finit. $X$ $f(x)$

Dacă, în plus, este o funcție periodică cu perioadă , atunci funcțiile sunt funcții periodice întregi. Dar apoi: $f(x)$ $T$ $F_k(x)$

F_k\left(\frac{T}{2\pi i}\ln z\dreapta)

este o funcție cu o singură valoare și holomorfă în domeniul și, prin urmare, se extinde într- o serie Laurent : $z\nu=0$

F_k=\sum \limits_{n=-\infty}^\infty c_n z^n = \sum \limits_{n=-\infty}^\infty c_n \exp{\left (\frac{2\pi}{ T}inx\dreapta)}

prin urmare , și, prin urmare, poate fi aproximat prin polinoame trigonometrice. $F_k(x)$ $f(x)$

Semnificația rezultatului Weierstrass

La mijlocul secolului al XIX-lea, ideea unei funcții ca expresie analitică părea să fi supraviețuit complet, iar analiza formată pe baza calculului integral și diferențial a fost angajată în funcții arbitrare, de exemplu, Hermann Hankel în special notat: un interval corespunde unei anumite valori ; în același timp, nu contează dacă depinde în întregul interval după o singură lege și dacă această dependență poate fi exprimată prin operații matematice ” [3] , subliniind că nu orice funcție poate fi reprezentată folosind o expresie analitică. Ca răspuns la aceasta, Weierstrass a scris lucrarea „Despre reprezentarea analitică a așa-numitelor funcții arbitrare”, în care s-a arătat că o funcție continuă arbitrară este limita polinoamelor. Mai târziu s-a dovedit că și cele mai „patologice” funcții, de exemplu, funcția Dirichlet , permit astfel de reprezentări, dar numai cu un număr mare de treceri până la limită. $y$ $X$ $X$ $y$ $y$ $X$

Consecințe topologice

Conform teoremei Weierstrass, spațiul funcțiilor continue reale sau cu valori complexe pe un segment cu normă uniformă este separabil : spațiul polinoamelor cu coeficienți raționali sau complex-raționali este numărul necesar peste tot subspațiul dens .

Generalizarea lui Stone

În 1935, Stone a demonstrat că orice funcție din inelul de funcții cu valori reale continue pe un compact Hausdorff poate fi aproximată uniform prin funcții ale unei clase speciale care alcătuiesc algebra Stone, adică orice algebră Stone este densă peste tot în spațiu . de funcţii continue pe compact: . Ca normă de convergență uniformă, luăm , iar algebra de piatră este definită ca o subalgebră ale cărei elemente separă punctele . $C(K)$ $K$ $C_{0}$ ${\overline {C_{0}}}=C(K)$ $C(K)$ $\|f\|=\max \limits _{x\in K}|f(x)|$ $C_0 \subseteq C(K)$ $K$

Mai precis, algebra de piatră este setul de funcții din inel care îndeplinește următoarele condiții: $C_{0}$ $C(K)$

împreună cu oricare dintre elementele sale , algebra de piatră include următoarele elemente: ( ), , ; $f, g \in C_0$ $cf$ $c\in \mathbb {R}$ $f+g$ $fg$
algebra de piatră conține o funcție constantă ; $unu$
pentru fiecare pereche de puncte distincte , există cel puţin o funcţie astfel încât . $x_{1}, x_{2} \în K$ $f\in C_{0},$ $f(x_{1}) \neq f(x_{2})$

Alte generalizări

Există o serie de generalizări ale teoremei Weierstrass-Stone în diferite direcții. De exemplu, prin teorema lui Mergelyan, orice funcție care este continuă pe orice mulțime compactă cu complement conex pe plan complex și holomorfă în punctele sale interioare poate fi aproximată uniform prin polinoame complexe. De asemenea, au fost găsite generalizări care permit, în locul unui compact Hausdorff, să se ia în considerare funcții care sunt continue pe un spațiu Tihonov arbitrar .

Vezi și

polinomul Bernstein

Note

↑ Fikhtengolts G. M. Curs de calcul diferențial și integral. Vol. 3, p. 734
↑ Weierstrass K. // Matematică. Werke. bd. 3. P. 1.
↑ Citat. de Koenig F. Kommentierender Anhang // Klein F. Funktionentheorie . Teubner, 1987. S. 261

Literatură

Teorema Weierstrass-Stone - Enciclopedia de matematică articol . V. I. Ponomarev
Dzyadyk VK Introducere în teoria aproximării uniforme a funcțiilor prin polinoame. — M .: Nauka, 1977. — 512 p.