Punctul Nagel

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 3 decembrie 2021; verificările necesită 4 modificări .

punctul Nagel
N este punctul Nagel al triunghiului ABC
coordonate baricentrice	$-a+b+c:a-b+c:a+bc$
Coordonate triliniare	${\frac {-a+b+c}{a)):{\frac {a-b+c}{b)):{\frac {a+bc}{c))$
cod ECT	X(8)
Puncte conectate
conjugată izotomic	punctul Gergon
Suplimentare	centrul cercului înscris
Fișiere media la Wikimedia Commons

Punctul Nagel - punctul de intersecție al segmentelor care leagă vârfurile triunghiului cu punctele de contact ale laturilor opuse cu excercurile corespunzătoare .

De obicei notat . $N$

Proprietăți

Punctul Nagel se află pe aceeași linie dreaptă cu incentrul și centroidul , în timp ce centroidul împarte segmentul dintre punctul Nagel și incentru într-un raport de 2: 1. Această linie se numește linia Nagel (vezi figura).
Dacă punctele , , sunt astfel încât fiecare dintre segmente , și împarte perimetrul triunghiului în jumătate, atunci aceste segmente se intersectează într-un punct - punctul Nagel . $T_{A}\în BC$ $T_{B}\în CA$ $T_{C}\în AB$ $AT_{A}$ $BT_{B}$ $CT_{C}$
Punctul Nagel este conjugat izotomic cu punctul Gergonne .
Punctul Nagel este conjugat izogonal cu centrul homoteției pozitive a cercului și circumcercului ( punctul Verrier ) .
Distanța dintre ortocentru și punctul Nagel este egală cu diametrul cercului Furman și este egală cu $H$ $N$

NH=2R{\sqrt {\frac {a^{3}-a^{2}b-ab^{2}+b^{3}-a^{2}c+3abc-b^{ 2}c-ac^{2}+c^{3}}{abc}}}

Jumătate din această distanță este egală cu distanța dintre centrul cercului circumscris și incentrul [1] .
Cevianul punctului Nagel este uneori menționat în literatura engleză ca un despărțitor sau bisectoare de perimetru . Ele se referă, de asemenea, la brațul triunghiular splitter .
Incentrul unui triunghi dat este punctul Nagel al triunghiului format din cele 3 mediane ale sale ( punctul de mijloc al triunghiului ). [2] [3]
Un punct slab dintr-un triunghi este unul care poate găsi un geamăn prin conjugarea sa ortogonală în afara triunghiului. De exemplu, incenterul , punctul Nagel și altele sunt puncte slabe , deoarece permit obținerea de puncte similare atunci când sunt împerecheate în afara triunghiului. [4] .

Triunghiul lui Nagel

* Triunghiul Nagel (vezi figura de mai sus) pentru un triunghi este definit de vârfurile , și , care sunt punctele de contact ale excercurilor triunghiului și punctul opus laturii etc. $ABC$ $T_{A}$ $T_{B}$ $T_{C}$ $ABC$ $T_{A}$ $A$

Proprietăți

Cercul circumscris în jurul triunghiului se numește cercul Mandart (un caz special al elipsei Mandart ). $T_{A}T_{B}T_{C}$
Trei linii și împarte perimetrul în jumătate și se intersectează într-un punct Nagel - X(8) . $AT_{A}$ $BT_{B}$ $CT_{C}$ $N$
Perpendicularele restaurate la trei vârfuri ale triunghiului Nagel pe laturile triunghiului principal (adică în punctele de contact ale excercurilor cu laturile triunghiului principal) se intersectează într-un punct. Acest punct este simetric cu centrul cercului înscris în raport cu centrul cercului circumscris [5] .
Animația construcției punctului Nagel este prezentată în fig.

Notă

Punctul Nagel este un punct slab . Prin urmare, ar trebui să vorbim nu despre unul, ci despre mai multe puncte Nagel. Adică, conectarea altor puncte de contact ale excercurilor cu vârfurile triunghiului dă încă trei puncte Nagel.

Istorie

Numit după Christian Heinrich von Nagel , care l - a descris pentru prima dată într - un articol din 1836 .

Vezi și

Note

^ Weisstein , Eric W. Fuhrmann Circle pe site- ul Wolfram MathWorld .
↑ Honsberger, R. . Episoade din geometria euclidiană din secolul al XIX-lea și al XX-lea. Washington, DC: Matematică. conf. univ. amer. 1995. P. 51, Punctul (b).// https://b-ok.cc/book/447019/c8c303
↑ Johnson, RA Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, p. 247, 1929.
↑ Myakishev A. Mergând în cerc: de la Euler la Taylor // Matematică. Totul pentru profesor! nr. 6 (6). Iunie. 2011. p. 11, coloana din dreapta, al doilea paragraf de sus// https://www.geometry.ru/persons/myakishev/papers/circles.pdf
↑ Myakishev A. G. Elemente de geometrie a unui triunghi. — M. : MTsNMO, 2002. — P. 11, p. 5. — (Biblioteca „Educația matematică”).

Punctul Nagel

Proprietăți

Triunghiul lui Nagel

Proprietăți

Notă

Istorie

Vezi și

Note

Link -uri