Triunghiul Sharygin

Triunghiul lui Sharygin este un triunghi care nu este isoscel , ale cărui baze bisectoarelor formează un triunghi isoscel [1] .

A fost considerat pentru prima dată de Igor Fedorovich Sharygin în 1982 în cartea Probleme în geometrie. Planimetrie” [2] [3] .

Triunghiurile lui Sharygin prezintă interes, deoarece ele există, spre deosebire de triunghiuri similare, în definiția cărora, de exemplu, se folosesc medianele sau înălțimile în locul bisectoarelor [4] .

Existența triunghiurilor lui Sharygin

Pentru orice unghi astfel încât , există, până la asemănare , exact un triunghi Sharygin cu unul dintre unghiurile egal cu , iar pentru orice triunghi Sharygin, cosinusul unuia dintre unghiurile sale se află în intervalul indicat . $\alfa$ $-{\frac {1}{4}}<\cos(\alpha )<{\frac {{\sqrt {17}}-5}{4}}$ $\alfa$

Unghiul în sine în grade satisface inegalitatea dublă aproximativă [1] [3] . $\alfa$ $102{,}663^{\circ }\lesssim \alpha \lesssim 104{,}478^{\circ }$

Dovada

Fie triunghiul lui Sharygin, , și fie laturile sale (vezi figura), , și bisectoarele sale, și . $\vartriangle ABC$ $A$ $b$ $c$ $AA_{1}$ $BB_{1}$ $CC_{1}$ ${\displaystyle A_{1}B_{1}=A_{1}C_{1))$

Să presupunem că este bisectoarea perpendiculară pe segment . Atunci unghiurile și sunt egale, iar unghiurile și sunt de asemenea egale, deoarece linia este bisectoarea unghiului , prin urmare, conform teoremei privind suma unghiurilor unui triunghi pentru triunghiuri , unghiurile și sunt egale, care înseamnă că unghiurile și sunt, de asemenea, egale , din care rezultă că triunghiul este isoscel, atunci nu este un triunghi Sharygin prin definiție. $AA_{1}$ $B_{1}C_{1}$ $\angle AIB$ $\angle AIC$ $\angle IAC$ $\angle IAB$ $AI$ $\angle CAB$ $\vartriangle ACI$ $\vartriangle ABI$ $\angle ACI$ $\angle ABI$ $\angle ACB=2\angle ACI$ $\angle ABC=2\angle ABI$ $\vartriangle ABC$

Deci, nu este o bisectoare perpendiculară pe segment . Atunci punctul este intersecția bisectoarei unghiului și a bisectoarei perpendiculare pe segment , care se află pe cercul circumscris triunghiului printr-o consecință a teoremei unghiului înscris . Apoi patrulaterul este înscris , prin urmare, , ceea ce înseamnă că suma unghiurilor și , ca adiacent unghiurilor și , respectiv, este de asemenea egală cu . $AA_{1}$ $B_{1}C_{1}$ $A_{1}$ $\angle B_{1}AC_{1}$ $B_{1}C_{1}$ $\vartriangle AB_{1}C_{1}$ ${\displaystyle AB_{1}A_{1}C_{1))$ $\angle AB_{1}A_{1}+\angle AC_{1}A_{1}=180^{\circ }$ $\angle CB_{1}A_{1)$ $\angle BC_{1}A_{1)$ $\angle AB_{1}A_{1)$ $\angle AC_{1}A_{1)$ $180^{\circ }$

Să atașăm triunghiuri între ele și pe laturi egale și respectiv. Obținem un triunghi asemănător unui triunghi conform primului semn al asemănării triunghiurilor . Este ușor de văzut că laturile sale vor fi egale și . Apoi din similaritate obținem ceea ce poate fi rescris sub formă $\vartriangle CA_{1}B_{1)$ $\vartriangle BA_{1}C_{1}$ $A_{1}B_{1}$ $A_{1}C_{1}$ $\vartriangle ABC$ ${\frac {ac}{b+c}}$ ${\frac {ab}{b+c}}$ ${\frac {ac}{a+b}}+{\frac {ab}{a+c}}$ ${\frac {c}{a+b}}+{\frac {b}{a+c}}={\frac {{\frac {ac}{a+b}}+{\frac { ab}{a+c}}}{a}}={\frac {CB_{1}+C_{1}B}{CB}}={\frac {CA_{1}+A_{1}B}{ CA+AB}}={\frac {a}{b+c}},$ $b^{3}+c^{3}-a^{3}+b^{2}c+b^{2}a+c^{2}b+c^{2}aa^{ 2}ba^{2}c+abc=0.$

Se notează cosinusul unghiului cu . Atunci, conform teoremei cosinusului și, prin urmare, egalitatea va fi adevărată , ceea ce, ținând cont de inegalitatea triunghiului, dă restricții $\angle BAC$ $X$ $b^{2}+c^{2}-a^{2}=2bcx$ $bc(2x(a+b+c)+a)=2bcx(a+b+c)+abc=$ $(b^{2}+c^{2}-a^{2})(a+b+c)+abc=$ $b^{3}+c^{3}-a^{3}+b^{2}c+b^{2}a+c^{2}b+c^{2}aa^{ 2}ba^{2}c+abc=0,$ $2x(a+b+c)+a=0$ $0<a<b+c$ $-{\frac {1}{4}}<x<0.$

$2x(a+b+c)+a=0\Rightarrow a=-{\frac {2x(b+c)}{2x+1)).$ Înlocuind această valoare în egalitate și împărțind-o la , obținem o ecuație pătratică pentru primul și al treilea termen mai mici decât zero, ceea ce înseamnă că termenul de mijloc trebuie să fie mai mare decât zero. , prin urmare, . Ecuația rezultată are soluții dacă și numai dacă discriminantul său este egal cu cel puțin zero și doar una dintre aceste soluții va fi pozitivă. Cazul în care discriminantul este egal cu zero nu îndeplinește condiția , prin urmare, este necesară stricta sa pozitivitate. $b^{2}+c^{2}-a^{2}=2bcx$ $c^{2}$ ${\frac {b}{c}}:$
$(4x+1){\Big (}{\frac {b}{c}}{\Big )}^{2}-(8x^{3}+16x^{2}+2x){\ Mare (}{\frac {b}{c}}{\Big )}+(4x+1).$ ${\frac {b}{c}}>0$ $8x^{3}+16x^{2}+2x>0$ ${\frac {1}{4}}((8x^{3}+16x^{2}+2x)^{2}-(4x+1)^{2})=$ ${\frac {1}{4}}(2x+1)^{2}(x+1)(2x-1)(2x^{2}+5x+1),$ $b\neq c$

Prin urmare, triunghiul lui Sharygin c există dacă și numai dacă sunt îndeplinite următoarele condiții: în plus, pentru unul dat, este întotdeauna unic. Aceste trei condiții sunt echivalente cu restricțiile $\cos(\angle BAC)=x$ $-{\frac {1}{4}}<x<0,$ $8x^{3}+16x^{2}+2x>0,$ ${\frac {1}{4}}(2x+1)^{2}(x+1)(2x-1)(2x^{2}+5x+1)>0,$ $X$ $-{\frac {1}{4}}<x<{\frac {{\sqrt {17}}-5}{4}}.$

Cubul lui Sharygin

Cubul lui Sharygin se numește cubul obținut în demonstrația de mai sus (având o notație mai simplă, dar care nu satisface definiția formală a unui cub: ), care pune o condiție necesară și suficientă pentru ca un triunghi cu laturi să fie un triunghi Sharygin cu laturi egale (vezi figura). $b^{3}+c^{3}-a^{3}+b^{2}c+b^{2}a+c^{2}b+c^{2}aa^{ 2}ba^{2}c+abc=0$ ${\frac {c}{a+b}}+{\frac {b}{a+c}}={\frac {a}{b+c}}$ $a,b,c$ ${\displaystyle A_{1}B_{1}=A_{1}C_{1))$

Exemple specifice

În poligoane regulate

La momentul anului 2017, este cunoscut un singur exemplu de triunghi Sharygin, ale cărui vârfuri pot fi unele vârfuri ale unui poligon regulat [4] . În acest exemplu, vârfurile triunghiului sunt primul, al doilea și al patrulea vârf ale unui heptagon regulat [1] .

Dovada

Fie vârfurile unui -gon regulat și triunghiul nostru, ale cărui vârfuri sunt și vârfurile unui -gon regulat . Să notăm vârfurile triunghiului format din bazele bisectoarelor prin (vezi figura). Să demonstrăm că . $U_{0},U_{1},\dots ,U_{13)$ $paisprezece$ $\vartriangle U_{0}U_{2}U_{6)$ $7$ $U_{0},U_{2},\dots ,U_{12)$ $\vartriangle U_{0}U_{2}U_{6)$ $A,B,C$ $BC=BA$

Prin proprietatea bisectoarei unui unghi înscris , bisectoarele trec prin puncte, respectiv. Punctul se află pe diagonalele tetradecagonului și , care sunt simetrice față de diagonală , prin urmare, punctul se află și pe diagonala . Notați intersecția diagonalelor și prin . Punctul este intersecția diagonalelor și , iar diagonalele și sunt simetrice între ele față de diagonala , iar diagonala este simetrică față de ea însăși față de aceeași diagonală. Prin urmare, punctele și sunt simetrice între ele în raport cu diagonala . După cum știm deja, punctul se află pe această diagonală, prin urmare, segmentele și sunt simetrice față de acesta, adică sunt egale. $U_{0}A,\;U_{2}B,\;U_{6}C$ ${\displaystyle U_{4},U_{10},U_{1))$ $B$ $U_{0}U_{6}$ $U_{2}U_{10}$ $U_{1}U_{8}$ $B$ $U_{1}U_{8}$ $U_{0}U_{2}$ $U_{1}U_{10}$ $C_{1}$ $C$ $U_{0}U_{2}$ $U_{1}U_{6}$ $U_{1}U_{6}$ $U_{1}U_{10}$ $U_{1}U_{8}$ $U_{0}U_{2}$ $C$ $C_{1}$ $U_{1}U_{8}$ $B$ $î.Hr$ $BC_{1}$

Să demonstrăm acum că . Drept și simetric în raport cu . Unghiurile și se bazează pe arce egale, ceea ce înseamnă că sunt egale după corolarul teoremei unghiului înscris . Prin urmare, liniile și sunt, de asemenea, simetrice în raport cu . Prin urmare, punctele și sunt simetrice față de ambele intersecții ale dreptelor c și , respectiv, c. În acest caz, punctul se află pe segmentul . Prin urmare, segmentele și sunt simetrice față de , adică și sunt egale. $BC_{1}=BA$ $U_{2}U_{6}$ $U_{2}U_{0)$ $U_{2}U_{10}$ $\angle U_{10}U_{1}U_{2}$ $\angle U_{10}U_{3}U_{2)$ $U_{10}U_{1}$ $U_{10}U_{3)$ $U_{2}U_{10}$ $A$ $C_{1}$ $U_{2}U_{10}$ $U_{2}U_{6}$ $U_{10}U_{3)$ $U_{2}U_{0)$ $U_{10}U_{1}$ $B$ $U_{2}U_{10}$ $BA$ $BC_{1}$ $U_{2}U_{10}$

Deci, și , ceea ce înseamnă, adică un triunghi isoscel. $BC=BC_{1}$ $BC_{1}=BA$ $BC=BA$ $ABC$

Cu lungimi întregi ale laturii

Există un număr infinit de triunghiuri Sharygin întregi diferite , care a fost dovedit folosind teoria curbelor eliptice [4] (în special, curba eliptică definită de cubul Sharygin a fost luată în considerare). Un exemplu în care una dintre laturi este cea mai mică posibil are următorul set de laturi [1]

1\,481\,089,\qquad 18\,800\,081,\qquad 19\,214\,131.

Minimitatea acestui exemplu a fost verificată prin căutare exhaustivă [4] .

Variante

Se mai au în vedere triunghiuri similare, în care triunghiul isoscel nu este cel format din bazele bisectoarelor unghiurilor interne, ci triunghiul format dintr-o bază a bisectoarei unghiului intern și două baze ale bisectoarelor exterioare față de alte două unghiuri. [5]

Note

↑ 1 2 3 4 Igor Netai, Alexey Savvateev „Triunghiuri Sharygin și curbe eliptice” . Preluat la 7 iulie 2020. Arhivat din original la 9 iulie 2020. (nedefinit)
↑ Articolul I.F. Sharygin „În jurul bisectoarei” în jurnalul Kvant . Preluat la 7 iulie 2020. Arhivat din original la 28 iunie 2020. (nedefinit)
↑ 1 2 I.F. Sharygin „Probleme de geometrie. Planimetrie” p.157 . Preluat la 7 iulie 2020. Arhivat din original la 28 iunie 2020. (nedefinit)
↑ 1 2 3 4 Prelegerea lui Igor Netay pe youtube . Preluat la 7 iulie 2020. Arhivat din original la 31 iulie 2020. (nedefinit)
↑ Articol de pe site-ul lui Oliver Nash . Preluat la 7 iulie 2020. Arhivat din original la 8 iulie 2020. (nedefinit)

Literatură

Igor Netai, Alexey Savvateev „Triunghiuri Sharygin și curbe eliptice”

Link -uri

Prelegerea lui Igor Netay pe youtube