Numere poligonale centrate

Numerele poligonale centrate sunt o clasă de numere figurative plat- gonale ( ) obținute prin următoarea construcție geometrică. În primul rând, un anumit punct central este fixat pe plan. Apoi un -gon regulat este construit în jurul lui cu puncte de vârfuri, fiecare latură conținând două puncte (vezi figura). În plus, noi straturi -gonuri sunt construite în exterior, iar fiecare dintre laturile lor de pe noul strat conține un punct mai mult decât în stratul anterior, adică, începând cu al doilea strat, fiecare strat următor conține mai multe puncte decât cel anterior. Numărul total de puncte din fiecare strat și este luat ca număr poligonal centrat (punctul din centru este considerat stratul inițial) [1] . $k$ $k \geqslant 3$ $k$ $k$ $k$ $k$

Exemple de constructii de numere poligonale centrate:

triunghiular	Pătrat	Pentagonal	Hexagonal

Din construcție se poate observa că numerele poligonale centrate se obțin ca sume parțiale ale următoarelor serii: (de exemplu, numere pătrate centrate, pentru care formează o succesiune: ) Această serie poate fi scrisă ca , din care se poate vedea care între paranteze este o serie generatoare pentru numere triunghiulare clasice . Prin urmare, fiecare succesiune de numere centrate -gonale, începând de la al 2-lea element, poate fi reprezentată ca unde este o succesiune de numere triunghiulare. De exemplu, numerele pătrate centrate sunt numere triunghiulare cvadruple plus 1, seria generatoare pentru ele este: [2] $1+k+2k+3k+4k+\dots$ $k=4,$ $1,5,13,25,41\dots$ $1+k(1+2+3+4+\dots ).$ $k$ $kT_{n}+1,$ $T_{n}(n=1,2,3\dots )$ $1+4+8+12\dots$

Formula generală [2] pentru al -lea număr de cărbune centrat este: $n$ $k$ $C_{n}^{(k))$

C_{n}^{(k)}=1+k{\frac {n(n-1)}{2))={\frac {kn^{2}-kn+2}{2} };\ n=1,2,3\dots

(OCF)

Tabel pivot

Numărul de colțuri k	tip de număr	Începutul secvenței	Link către OEIS
3	Numere triunghiulare centrate	1, 4, 10, 19, 31, …	A005448
patru	Numere pătrate centrate	1, 5, 13, 25, 41, …	A001844
5	Numere pentagonale centrate	1, 6, 16, 31, 51, …	A005891
6	Numere hexagonale centrate	1, 7, 19, 37, 61, …	A003215
7	Numere heptagonale centrate	1, 8, 22, 43, 71, …	A069099
opt	Numere octogonale centrate	1, 9, 25, 49, 81, …	A016754
9	Numere nouagonale centrate	1, 10, 28, 55, 91, …	A060544
zece	Numere decagonale centrate	1, 11, 31, 61, 101, …	A062786

si asa mai departe.

Note

↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 39-40.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , p. 40-41.

Literatură

Vilenkin N. Ya., Shibasov L. P. Shibasova 3. F. În spatele paginilor unui manual de matematică: Aritmetică. Algebră. Geometrie . - M . : Educaţie, 1996. - S. 30 . — 320 s. — ISBN 5-09-006575-6 .
Glazer G.I. Istoria matematicii la scoala . - M . : Educaţie, 1964. - 376 p.
Deza E., Deza M. Numere curly. - M. : MTSNMO, 2016. - 349 p. — ISBN 978-5-4439-2400-7 .

Link -uri

Weisstein, Eric W. Număr poligonal centrat la Wolfram MathWorld .
numere ondulate

numere ondulate

apartament

Poligonală clasică	triunghiular Pătrat Pentagonal Hexagonal Heptagonal Octogonal Dodecagonal
Centrat	triunghiular Pătrat Pentagonal Hexagonal Heptagonal Octogonal În nouă unghiuri Decagonală

Piramidal	tetraedric Pătrat piramidal
cu mai multe fațete	cub octaedral Dodecaedral icosaedric Octaedral stelat

cu mai multe fațete	Pentatopic Bisquare