Axioma paralelismului a lui Euclid

Axioma paralelismului a lui Euclid , sau al cincilea postulat , este una dintre axiomele care stau la baza planimetriei clasice . Prima dată în „ Principii ” de Euclid [1] :

Și dacă o linie care se încadrează pe două linii formează unghiuri interioare și pe o parte mai mici de două linii , atunci aceste linii extinse la infinit se vor întâlni pe partea în care unghiurile sunt mai mici de două linii.

Text original  (greacă veche)[ arataascunde] Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς δύο εὐθείας ἐπ' ἄπειρον συμπίπτειν, ἐφ' ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες. — ΣTOIXEIA EΥKΛEI∆OΥ

Euclid folosește conceptele de postulat și axiomă fără a explica diferențele lor; în diferite manuscrise ale „Începuturilor” lui Euclid, împărțirea enunțurilor în axiome și postulate este diferită, așa cum ordinea lor nu coincide. În ediția clasică a lui Geiberg a Principia , afirmația declarată este al cincilea postulat.

În limbajul modern, textul lui Euclid poate fi reformulat astfel [2] :

Dacă [pe plan] la intersecția a două drepte ale celei de-a treia, suma unghiurilor interne unilaterale este mai mică de 180 °, atunci aceste drepte se intersectează cu o continuare suficientă și, în plus, pe partea din care această sumă este mai mică de 180 °.

Clarificarea pe ce parte se intersectează liniile, a adăugat Euclid, probabil pentru claritate - este ușor de demonstrat că rezultă din însuși faptul existenței intersecției [2] .

Al cincilea postulat este extrem de diferit de celelalte postulate ale lui Euclid, care sunt mai simple și mai evidente (vezi Elementele lui Euclid ). Prin urmare, timp de două milenii, încercările nu s-au oprit de a o exclude din lista de axiome și de a o deduce ca o teoremă . Toate aceste încercări s-au încheiat cu eșec. „Este probabil imposibil să găsești o poveste mai incitantă și mai dramatică în știință decât povestea celui de-al cincilea postulat al lui Euclid” [3] . În ciuda rezultatului negativ, aceste căutări nu au fost în zadar, deoarece au dus în cele din urmă la o revizuire a ideilor științifice despre geometria Universului [4] .

Formulări echivalente ale postulatului paralel

În sursele moderne, este dată de obicei o altă formulare a postulatului paralelelor, echivalentă cu postulatul V și aparținând lui Proclus [5] (uneori este numită axioma lui Playfair ):

Într -un plan , printr-un punct care nu este pe o dreaptă dată , se poate trasa una și o singură dreaptă paralelă cu dreapta dată.

În această formulare, cuvintele „unul și numai unul” sunt adesea înlocuite cu „doar unul” sau „nu mai mult de unul”, deoarece existența a cel puțin unei astfel de paralele decurge imediat din teoremele 27 și 28 ale Elementelor lui Euclid.

În general, al cincilea postulat are un număr mare de formulări echivalente, multe dintre care în sine par destul de evidente. Iată câteva dintre ele [6] [7] [8] .

Echivalența lor înseamnă că toate pot fi dovedite dacă acceptăm postulatul V și invers, înlocuind postulatul V cu oricare dintre aceste afirmații, putem demonstra postulatul V original ca teoremă.

Dacă, în loc de postulatul V, presupunem că pentru o pereche de puncte - o linie dreaptă, postulatul V este incorect, atunci sistemul de axiome rezultat va descrie geometria lui Lobachevsky . Este clar că în geometria lui Lobachevsky toate afirmațiile echivalente de mai sus sunt false.

Al cincilea postulat iese puternic în evidență de alții, destul de evident, arată mai mult ca o teoremă complexă, neevidentă. Euclid era probabil conștient de acest lucru și, prin urmare, primele 28 de propoziții din Elemente sunt dovedite fără ajutorul lui.

„Euclid trebuie să fi cunoscut diferitele forme ale postulatului paralel” [5] . De ce a ales redus, complex și greoi? Istoricii au speculat cu privire la motivele acestei alegeri. V.P.Smilga credea că Euclid printr-o astfel de formulare a indicat că această parte a teoriei era incompletă [10] . M. Kline atrage atenția asupra faptului că al cincilea postulat al lui Euclid are un caracter local , adică descrie un eveniment pe o zonă limitată a planului, în timp ce, de exemplu, formularea lui Proclus afirmă faptul paralelismului, care necesită luare în considerare. a întregii linii infinite [11] . Trebuie să fie clar că matematicienii antici au evitat să folosească infinitul actual ; de exemplu, al doilea postulat al lui Euclid nu afirmă infinitul dreptei, ci doar că „linia poate fi extinsă continuu”. Din punctul de vedere al matematicienilor antici, echivalentele de mai sus ale postulatului paralel ar putea părea inacceptabile: fie se referă la infinitul real, fie la conceptul (neintrodus încă) de măsurare, fie nici nu sunt foarte evidente. O altă versiune a fost prezentată de istoricul Imre Toth [12] : formularea euclidiană poate fi o teoremă (demonstrată eronat) de la unul dintre predecesorii lui Euclid, iar când au fost convinși că nu poate fi dovedită, statutul de teorema a fost ridicată la un postulat, fără a schimba formularea.

Geometrie absolută

Dacă postulatul V este exclus din lista de axiome, atunci sistemul de axiome rezultat va descrie așa-numita geometrie absolută . În special, primele 28 de teoreme ale „Principiilor” lui Euclid sunt dovedite fără a folosi postulatul V și, prin urmare, se referă la geometria absolută. Pentru cele ce urmează, notăm două teoreme ale geometriei absolute:

Încercări de a demonstra

Matematicienii au încercat de mult să „îmbunătăţească Euclid” - fie să excludă postulatul al cincilea din numărul de enunţuri iniţiale, adică să-l demonstreze, bazându-se pe restul postulatelor şi axiomelor, fie să-l înlocuiască cu altul, aşa cum este evident. ca şi alte postulate. Speranța pentru atingerea acestui rezultat a fost susținută de faptul că postulatul IV al lui Euclid ( toate unghiurile drepte sunt egale ) sa dovedit a fi într-adevăr de prisos - a fost demonstrat riguros ca teoremă și exclus din lista de axiome [6] .

Pe parcursul a două milenii, au fost propuse multe dovezi ale celui de-al cincilea postulat, dar mai devreme sau mai târziu a fost descoperită o eroare logică în fiecare dintre ele („un cerc vicios în dovadă ”): s-a dovedit că printre premisele explicite sau implicite există a fost o afirmație care nu putea fi dovedită fără a folosi același postulat al cincilea.

Proclus ( secolul al V-lea d.Hr.) în „Comentariul său la cartea I a elementelor lui Euclid” relatează că Claudius Ptolemeu a oferit o astfel de dovadă , își critică dovada și o oferă pe a sa [13] . Într-o formă oarecum simplificată, poate fi descrisă astfel: să treacă dreapta printr-un punct dat paralel cu dreapta ; vom demonstra că orice altă dreaptă prin același punct intersectează dreapta . După cum am menționat mai sus, distanța dintre drepte de la punctul lor de intersecție crește la nesfârșit (subliniem încă o dată că demonstrarea acestei teoreme nu se bazează pe postulatul V). Dar apoi, până la urmă, distanța dintre și va depăși distanța dintre liniile paralele, adică liniile și se vor intersecta.

Dovada de mai sus se bazează pe presupunerea că distanța dintre două linii paralele este constantă (sau cel puțin limitată). Ulterior, s-a dovedit că această presupunere este echivalentă cu postulatul al cincilea.

Posidonius (sec. I î.Hr.) a propus să definească paralelele drept linii drepte, echidistante unele de altele pe toată lungimea lor. Din această definiție, al cincilea postulat este ușor de dedus. Totuși, definiția lui Posidonius este incorectă: nu rezultă de nicăieri că o linie echidistantă de o linie dată este o linie [14] .

După declinul culturii antice, postulatul V a fost preluat de matematicienii țărilor islamice. Dovada lui al-Jawhari , un student al lui al-Khwarizmi ( sec. IX ) [15] , a implicat implicit: dacă la intersecția a două drepte ale oricărei treimi, unghiurile încrucișate sunt egale, atunci același lucru are loc atunci când aceleași două linii se intersectează pe oricare alta. Și această presupunere este echivalentă cu postulatul al cincilea.

Thabit ibn Qurra ( secolul al IX-lea ) a dat două dovezi; în primul se bazează pe presupunerea că, dacă două linii se îndepărtează una de cealaltă pe o parte, ele se apropie în mod necesar de cealaltă parte. În al doilea, ca și Posidonius, pornește de la existența unor drepte echidistante, iar Ibn Kurra încearcă să derive acest fapt din conceptul de „mișcare simplă”, adică mișcare uniformă la o distanță fixă ​​de linie dreaptă (pare evident lui că traiectoria unei astfel de mişcări este tot o linie dreaptă) [16] . Fiecare dintre cele două afirmații menționate ale lui Ibn Qurra este echivalentă cu postulatul al cincilea.

Ibn al-Haytham a făcut o greșeală similară , dar a luat în considerare mai întâi figura, care mai târziu a devenit cunoscută sub numele de „ patrulaterul Lambert ” - un patrulater cu trei unghiuri interne drepte. El a formulat trei opțiuni posibile pentru al patrulea unghi: acut, drept, obtuz. Discuția acestor trei ipoteze, în versiuni diferite, a apărut în mod repetat în studiile ulterioare.

Poetul și matematicianul Omar Khayyam a criticat încercările de a introduce mișcarea mecanică în geometrie. El a propus înlocuirea postulatului V cu altul, mai simplu: două drepte convergente se intersectează și este imposibil ca două drepte convergente să diverge în direcția de convergență. Fiecare dintre cele două părți ale acestei afirmații este echivalentă cu postulatul lui Euclid [17] .

Al-Abhari a oferit o dovadă similară cu cea a lui al-Jawhari . Al-Samarkandi citează această dovadă în cartea sa , iar un număr de cercetători au considerat că este autorul lui al-Samarkandi însuși. Dovada pornește de la afirmația, adevărată în geometria absolută, că pentru orice dreaptă care intersectează laturile unui unghi dat, mai poate fi construită o dreaptă care intersectează laturile aceluiași unghi și este mai departe de vârful său decât primul. Dar din această afirmație autorul trage concluzia logic neîntemeiată că prin orice punct din interiorul unui unghi dat este posibil să se tragă o dreaptă care să intersecteze ambele părți ale acestui unghi - și se bazează pe această ultimă afirmație, care este echivalentă cu postulatul V, toate în continuare. dovada.

Nasir ad-Din at-Tusi a propus o construcție similară cu cea a lui Omar Khayyam [18] . Rețineți că lucrările lui at-Tusi au devenit cunoscute lui John Vallis și, astfel, au jucat un rol în dezvoltarea cercetării privind geometria non-euclidiană în Europa.

Prima încercare în Europa cunoscută de noi de a demonstra axioma paralelismului lui Euclid a fost propusă de Gersonides (alias Levi ben Gershom, secolul XIV ), care locuia în Provence (Franța ). Dovada lui s-a bazat pe afirmarea existenței unui dreptunghi [19] .

Dovezile omului de știință iezuit Christopher Clavius ​​datează din secolul al XVI-lea . Dovada lui, ca și cea a lui ibn Qurra, s-a bazat pe afirmația că o linie echidistantă de o linie dreaptă este, de asemenea, o linie dreaptă [20] .

Wallis în 1693 într-una dintre lucrările sale reproduce traducerea operei lui al-Tusi și oferă o formulare echivalentă, dar mai simplă: există cifre similare, dar nu egale [21] . Claude Clairaut , în „ Principiile geometriei ” ( 1741 ), ca și Gersonides, în loc de postulatul V și-a luat echivalentul „există un dreptunghi”.

În general, se poate spune că toate încercările de mai sus au adus beneficii considerabile: s-a stabilit o legătură între postulatul V și alte afirmații, s-au formulat clar două alternative la postulatul V - ipoteza unghiului acut și obtuz.

Primele schițe de geometrie non-euclidiană

Un studiu profund al celui de-al cincilea postulat, bazat pe un principiu complet original, a fost efectuat în 1733 de un călugăr iezuit italian, profesorul de matematică Girolamo Saccheri . A publicat o lucrare intitulată „ Euclid, curățat de toate petele, sau o încercare geometrică de a stabili primele principii ale întregii geometrii ”. Ideea lui Saccheri a fost de a înlocui postulatul V cu afirmația opusă, de a deriva cât mai multe consecințe din noul sistem de axiome, construind astfel o „geometrie falsă”, și de a găsi contradicții sau prevederi evident inacceptabile în această geometrie. Atunci validitatea postulatului V va fi dovedită prin contradicție [22] .

Saccheri consideră aceleași trei ipoteze despre al patrulea unghi al patrulaterului Lambert. El a respins imediat ipoteza unghiului obtuz din motive formale. Este ușor să arătăm că în acest caz, în general, toate liniile se intersectează și atunci putem concluziona că postulatul V al lui Euclid este adevărat - la urma urmei, el doar afirmă că în anumite condiții liniile se intersectează. De aici se concluzionează că „ ipoteza unghiului obtuz este întotdeauna complet falsă, întrucât se autodistruge ” [23] .

După aceea, Saccheri continuă să infirme „ipoteza unghiului acut”, iar aici studiul său este mult mai interesant. Recunoaște că este adevărat și, rând pe rând, demonstrează o serie întreagă de corolare. Fără să știe, el se îndreaptă destul de departe în construcția geometriei lui Lobachevsky . Multe dintre teoremele demonstrate de Saccheri par intuitiv inacceptabile, dar el continuă lanțul de teoreme. În cele din urmă, Saccheri demonstrează că în „geometria falsă” oricare două drepte fie se intersectează, fie au o perpendiculară comună, pe ambele părți ale căreia se îndepărtează una de cealaltă, fie se îndepărtează una de cealaltă pe o parte și se apropie la nesfârșit de cealaltă. În acest moment, Saccheri face o concluzie neașteptată: „ ipoteza unui unghi ascuțit este complet falsă, deoarece contrazice natura unei drepte ” [24] .

Aparent, Saccheri a simțit lipsa de temei a acestei „dovezi”, deoarece studiul este în desfășurare. El consideră echidistantul  - locul punctelor planului, echidistant de linia dreaptă; spre deosebire de predecesorii săi, Saccheri înțelege că în acest caz nu este deloc o linie dreaptă. Totuși, atunci când calculează lungimea arcului său, Saccheri greșește și ajunge la o adevărată contradicție, după care încheie studiul și declară ușurat că a „ smuls această ipoteză răutăcioasă ”. Din păcate, lucrarea de pionierat a lui Saccheri, publicată postum, nu a atras atenția matematicienilor pe care o merita și abia 150 de ani mai târziu ( 1889 ) compatriotul său Beltrami a descoperit această lucrare uitată și a apreciat semnificația ei istorică.

În a doua jumătate a secolului al XVIII-lea , au fost publicate peste 50 de lucrări despre teoria paralelelor. Într-o trecere în revistă a acelor ani ( G. S. Klugel ), sunt examinate mai mult de 30 de încercări de a demonstra al cincilea postulat și este dovedită eroarea lor. Renumitul matematician și fizician german J. G. Lambert , cu care Klugel a corespondat, a devenit și el interesat de problemă; „Teoria liniilor paralele” a fost publicată (ca și lucrarea lui Saccheri, postum) în 1786 .

Lambert a fost primul care a descoperit că „geometria unghiului obtuz” se realizează pe o sferă , dacă prin linii drepte înțelegem cercuri mari . El, ca și Saccheri, a dedus multe consecințe din „ipoteza unghiului acut”, și a avansat mult mai departe decât Saccheri; în special, a descoperit că adăugarea sumei unghiurilor unui triunghi la 180° este proporțională cu aria triunghiului.

În cartea sa, Lambert a notat cu înțelepciune [25] :

Mi se pare foarte remarcabil că a doua ipoteză [a unui unghi obtuz] este justificată dacă în loc de triunghiuri plate le luăm pe cele sferice. Aproape că ar trebui să trag o concluzie din aceasta - concluzia că cea de-a treia ipoteză se menține pe o sferă imaginară . În orice caz, trebuie să existe un motiv pentru care este departe de a fi infirmat atât de ușor în plan pe cât s-ar putea face în ceea ce privește a doua ipoteză.

Lambert nu a găsit o contradicție în ipoteza unghiului acut și a ajuns la concluzia că toate încercările de a demonstra postulatul V au fost fără speranță. Nu și-a exprimat nicio îndoială cu privire la falsitatea „geometriei unui unghi ascuțit”, totuși, judecând după cealaltă remarcă perspicace a lui, Lambert se gândea la posibila realitate fizică a geometriei non-euclidiene și la consecințele acesteia pentru știință . 26] :

Există ceva admirabil în asta, care ne face să dorim ca a treia ipoteză să fie adevărată. Și totuși mi-aș dori <…> să nu fie așa, pentru că ar fi asociat cu o serie de <…> inconveniente. Tabelele trigonometrice ar deveni infinit de voluminoase, asemănarea și proporționalitatea cifrelor nu ar exista deloc <...>, astronomia ar fi fost proastă.

Lucrarea remarcabilă a lui Lambert, ca și cartea lui Saccheri, a fost cu mult înaintea timpului său și nu a trezit interesul matematicienilor de atunci. Aceeași soartă a avut-o și „ geometria astrală ” a matematicienilor germani F.K.

Între timp, încercările de a „spăla petele” de la Euclid au continuat (Louis Bertrand, Legendre , Semyon Guryev și alții). Legendre a dat până la trei dovezi ale celui de-al cincilea postulat, a cărui eroare a fost rapid arătată de contemporanii săi [27] . El a publicat ultima sa „dovadă” în 1823, cu trei ani înainte de primul raport al lui Lobaciovski despre noua geometrie.

Descoperirea geometriei non-euclidiene

În prima jumătate a secolului al XIX-lea , K. F. Gauss , J. Bolyai , N. I. Lobachevsky și F. K. Schweikart au urmat calea trasată de Saccheri . Dar scopul lor era deja altul - să nu expună geometria non-euclidiană ca fiind imposibilă, ci, dimpotrivă, să construiască o geometrie alternativă și să afle rolul ei posibil în lumea reală. Pe vremea aceea era o idee complet eretică; Niciunul dintre oamenii de știință nu s-a îndoit anterior că spațiul fizic este euclidian. Este interesant că Gauss și Lobachevsky au fost predați în tinerețe de același profesor - Martin Bartels , care, totuși, nu a studiat el însuși geometria non-euclidiană.

Primul a fost Schweikart. În 1818, i-a trimis o scrisoare lui Gauss cu o analiză serioasă a fundamentelor geometriei non-euclidiene, dar s-a abținut de la a-și aduce opiniile în discuție publică. De asemenea, Gauss nu a îndrăznit să publice o lucrare pe acest subiect, dar notele sale schiței și câteva scrisori confirmă în mod clar o înțelegere profundă a geometriei non-euclidiene. Iată câteva fragmente caracteristice din literele lui Gauss, unde termenul „ geometrie non-euclidiană ” apare pentru prima dată în știință [28] :

Presupunerea că suma celor trei unghiuri ale unui triunghi este mai mică de 180° duce la o geometrie deosebită, destul de diferită de geometria noastră [euclidiană]; această geometrie este perfect consecventă și am dezvoltat-o ​​pentru mine în mod destul de satisfăcător; Am posibilitatea de a rezolva orice problemă din această geometrie, cu excepția determinării unei anumite constante [29] , a cărei valoare nu poate fi stabilită a priori.

Cu cât acordăm mai multă valoare acestei constante, cu atât ne apropiem de geometria euclidiană, iar valoarea ei infinit de mare face ca ambele sisteme să coincidă. Propunerile acestei geometrii par parțial paradoxale și chiar absurde pentru o persoană neobișnuită; dar cu o reflecție strictă și calmă se dovedește că nu conțin nimic imposibil. Deci, de exemplu, toate cele trei unghiuri ale unui triunghi pot fi făcute arbitrar mici, dacă se iau doar laturi suficient de mari; aria unui triunghi nu poate depăși, nici măcar nu poate atinge o anumită limită, oricât de mari ar fi laturile sale. Toate eforturile mele de a găsi o contradicție sau o inconsecvență în această geometrie non-euclidiană au fost zadarnice și singurul lucru care se opune rațiunii noastre în acest sistem este că în spațiu, dacă acest sistem ar fi valabil, ar trebui să existe ceva autodeterminat. (deși necunoscută nouă) este o mărime liniară. Dar mi se pare că, în afară de înțelepciunea verbală a metafizicienilor care nu exprimă nimic, știm foarte puțin sau chiar nimic despre esența spațiului. (Din o scrisoare către Taurinus , 1824 )

În 1818, într-o scrisoare către astronomul austriac Gerling, Gauss și-a exprimat îngrijorările [30] :

Mă bucur că ai curajul să vorbești ca și cum ai admite falsitatea teoriei noastre a paralelelor și, în același timp, a întregii noastre geometrii. Dar viespile al căror cuib îl deranjezi vor zbura pe capul tău.

Familiarizându-se cu lucrarea lui Lobachevsky „Investigațiile geometrice în teoria paralelelor”, Gauss solicită cu energie alegerea matematicianului rus ca membru corespondent străin al Societății Regale din Göttingen (ceea ce a avut loc în 1842 ).

Lobaciovski și Bolyai au dat dovadă de mai mult curaj decât Gauss și aproape simultan (Lobaciovski - în raportul din 1826 și publicarea din 1829 ; Bolyai - în scrisoarea din 1831 și publicarea din 1832 ), independent unul de celălalt, au publicat o prezentare a ceea ce se numește acum geometrie Lobaciovski . Lobaciovski a avansat cel mai mult în studiul noii geometrii, iar în prezent îi poartă numele. Dar principalul său merit nu constă în asta, ci în faptul că a crezut în noua geometrie și a avut curajul să-și apere convingerea (a sugerat chiar verificarea experimentală a postulatului V prin măsurarea sumei unghiurilor unui triunghi) [31]. ] .

În introducerea cărții sale Noi principii ale geometriei, Lobachevsky afirmă în mod decisiv [32] :

Toată lumea știe că în geometrie teoria paralelelor a rămas până acum imperfectă. Eforturile zadarnice de pe vremea lui Euclid, de-a lungul a două mii de ani, m-au făcut să bănuiesc că însăși conceptele nu conțin încă adevărul pe care voiau să-l demonstreze și care, ca și alte legi fizice, nu pot fi verificate decât prin experimente, cum ar fi ca, de exemplu, observațiile astronomice.< …> Concluzia principală <…> admite existența geometriei într-un sens mai larg decât așa cum ne-a fost prezentată de primul Euclid. În această formă extinsă, am dat științei numele de Geometrie imaginară, unde Geometria utilizabilă intră ca caz special.

Soarta tragică a lui Lobaciovski, care a fost ostracizat în lumea științifică și în mediul oficial pentru gânduri prea îndrăznețe, a arătat că temerile lui Gauss nu au fost în zadar. Dar lupta lui nu a fost în zadar. În mod ironic, triumful ideilor îndrăznețe ale lui Lobaciovski a fost asigurat (postum) de prudentul Gauss. În anii 1860, a fost publicată corespondența lui Gauss, inclusiv câteva recenzii încântătoare ale geometriei lui Lobaciovski, ceea ce a atras atenția asupra lucrărilor matematicianului rus. În 1868, a fost publicat un articol de E. Beltrami , care a arătat că planul Lobachevsky are o curbură negativă constantă (planul euclidian are curbură zero, sfera are o curbură  pozitivă); foarte repede, geometria non-euclidiană a căpătat un statut științific legal, deși era încă privită ca pur speculativă [33] .

La sfârșitul secolului al XIX-lea-începutul secolului al XX-lea, mai întâi matematicienii ( Bernhard Riemann , William Kingdon Clifford ), iar apoi fizicienii ( Relativitatea generală , Einstein ), au pus capăt în sfârșit dogmei geometriei euclidiene a spațiului fizic [4]. ] .

Despre dovada independenței

Independența celui de-al cincilea postulat înseamnă că negația lui nu contrazice restul axiomelor geometriei (cu condiția ca geometria lui Euclid să fie consecventă). În același timp, aceasta înseamnă consistența geometriei lui Lobachevsky . De fapt, următoarea teoremă este adevărată [34] .

Teorema. Geometria Lobachevsky este consecventă dacă și numai dacă geometria euclidiană este consecventă.

Pentru a demonstra această teoremă în matematica modernă, se folosesc modele ale unei geometrii în alta. În modelul pentru puncte, linii și alte obiecte din prima geometrie, obiectele sunt construite în cadrul celei de-a doua geometrii, astfel încât axiomele primei să fie îndeplinite pentru obiectele construite. Astfel, dacă s-ar găsi o contradicție în primul sistem de axiome, atunci s-ar găsi în al doilea.

Este dificil de precizat exact cine și când a demonstrat această teoremă.

Într-un fel, putem presupune că acest lucru a fost deja făcut de Lobaciovski. Într-adevăr, Lobaciovski a observat că geometria orosferei în spațiul Lobaciovski nu este altceva decât planul euclidian; astfel, existența unei contradicții în geometria euclidiană ar atrage după sine o contradicție în geometria lui Lobaciovski [35] . În limbajul modern, Lobachevsky a construit un model al planului euclidian în spațiul Lobachevsky. În direcția opusă, construcția sa a procedat analitic, iar consistența geometriei lui Lobachevsky a urmat din consistența analizei reale.

În ciuda faptului că avea aceste instrumente, Lobachevsky nu a afirmat teorema de consistență în sine . Pentru formularea sa riguroasă a fost nevoie de o analiză logică a fundamentelor geometriei , care a fost făcută ulterior de Pash , Hilbert și alții [34] .

Apariția conceptului de model îi datorăm lui Beltrami . În 1868 a construit un model proiectiv , un model conform euclidian și, de asemenea, un model local pe așa-numita pseudosferă . Beltrami a fost și primul care a văzut legătura dintre geometria Lobachevsky și geometria diferențială.

Modelele construite de Beltrami au fost dezvoltate mai târziu de Klein și Poincaré , datorită lor construcția a fost mult simplificată și au fost descoperite, de asemenea, conexiuni și aplicații ale noii geometrii la geometria proiectivă și la analiza complexă . Aceste modele dovedesc în mod convingător că negarea celui de-al cincilea postulat nu contrazice restul axiomelor geometriei; de aici rezultă că postulatul V este independent de celelalte axiome și este imposibil de demonstrat [33] .

Al cincilea postulat și alte geometrii

După cum se arată mai sus, adăugarea celui de-al cincilea postulat sau negația acestuia la restul axiomelor lui Euclid formează geometria lui Euclid sau , respectiv , geometria lui Lobachevsky . Pentru alte geometrii omogene comune, rolul celui de-al cincilea postulat nu este atât de mare.

Sistemul de axiome ale geometriei sferice necesită o reelaborare mai semnificativă a axiomelor lui Euclid, deoarece nu există drepte paralele în el [36] . În geometria proiectivă , se pot defini drepte paralele ca drepte care se intersectează numai într-un punct la infinit; atunci al cincilea postulat devine o simplă consecință a axiomei: „ prin două puncte se poate trasa una și o singură dreaptă ”. Într-adevăr, dacă specificăm o dreaptă și un punct în afara acesteia și apoi aplicăm axioma de mai sus pentru și un punct la infinit, atunci linia rezultată va fi paralelă și, evident, determinată unic [37] .

Note

  1. ↑ Începuturile lui Euclid / Traducere din greacă și comentarii de D. D. Mordukhai-Boltovsky cu participarea editorială a lui M. Ya. Vygodsky și I. N. Veselovsky. - M. - L .: GTTI, 1948. - T. I. - S. 15. Copie arhivată (link inaccesibil) . Consultat la 25 aprilie 2008. Arhivat din original pe 6 aprilie 2008. 
  2. ↑ 1 2 Kagan. Lobaciovski, 1948 , p. 164-165.
  3. ↑ Smilga, 1988 , p. patru.
  4. ↑ 1 2 Zaharov V. D. Gravitația: de la Aristotel la Einstein . Preluat: 28 mai 2020.
  5. ↑ 1 2 Istoria matematicii / Editat de A. P. Yushkevich , în trei volume. - M. : Nauka, 1970. - T. I. - S. 110.
  6. ↑ 1 2 Mordukhai-Boltovskoy D. D. Comentarii la „Începuturile” lui Euclid, cărțile I-VI. Decret. op. - S. 241-244.
  7. ↑ Al cincilea postulat al lui Euclid . Preluat la 17 martie 2008. Arhivat din original la 13 mai 2008.
  8. ↑ Kagan. Lobaciovski, 1948 , p. 167-175.
  9. ↑ 1 2 3 Lelon-Ferrand J., 1989 , p. 255-256.
  10. ↑ Smilga, 1988 , p. 59-61.
  11. ↑ Kline M. Matematică. Pierderea certitudinii . - M . : Mir, 1984. - S. 94-95. Copie arhivată (link indisponibil) . Data accesului: 13 martie 2010. Arhivat din original la 12 februarie 2007. 
  12. ↑ Tóth I. Das Parallelenproblem im Corpus Aristotelicum // Archive for history of exact sciences . - Berlin-Heidelberg-New York, 1967. - Vol. 3 , nr. 4.5 . - S. 249-422 .
  13. ↑ 1 2 Smilga, 1988 , p. 72.
  14. ↑ Laptev B. L. N. I. Lobaciovski și geometria sa. - M . : Educaţie, 1976. - S. 71. - 112 p.
  15. ↑ Istoria matematicii / Editat de A.P. Yushkevich , în trei volume. - M. : Nauka, 1970. - T. I. - S. 231.
  16. ↑ Ibn Korra. Cartea pe care două linii trase la un unghi mai mic de două linii drepte se întâlnesc / Traducere și note de B. A. Rosenfeld. - M. : IMI, 1963. - T. XV. - S. 363-380.
  17. ↑ Khayyam. Tratate / Traducere de B. A. Rosenfeld. Editat de V. S. Segal și A. P. Yushkevich. Articol și comentarii de B. A. Rosenfeld și A. P. Yushkevich. - M. , 1962.
  18. ↑ At-Tusi. Un tratat de vindecare a îndoielii despre liniile paralele / Traducere de B. A. Rosenfeld, note de B. A. Rosenfeld și A. P. Yushkevich. - M . : IMI, 1960. - T. XIII. - S. 483-532.
  19. ↑ Rosenfeld B. A. Dovezi ale celui de-al cincilea postulat al lui Euclid de către matematicienii medievali Hassan ibn al-Khaytham și Leo Gersonides. - M . : IMI, 1958. - T. XI. - S. 733-742.
  20. ↑ Clavius ​​​​C. Euclidis Elementorum, libri XV. — Romae, 1574.
  21. ↑ Wallis. Opera matematică, v. II. - Oxoniae, 1693. - S. 665.
  22. ↑ Istoria matematicii / Editat de A.P. Yushkevich , în trei volume. - M . : Nauka, 1972. - T. III. - S. 215-217.
  23. ↑ G. Saccheri. Euklid von jedem Makel befreit. În: F. Engel, P. Stackel. Die Theorie der Parallellinien von Euklid bis auf Gauss, eine Urkundensammlung zur Vorgeschichte der Nicht-Euklidischen Geometrie. - Leipzig, 1895. - S. 100.
  24. ↑ G. Saccheri. Euklid von jedem Makel befreit. În: F. Engel, P. Stackel. Die Theorie der Parallellinien von Euklid bis auf Gauss, eine Urkundensammlung zur Vorgeschichte der Nicht-Euklidischen Geometrie. - Leipzig, 1895. - S. 105.
  25. ↑ Lambert J. H. Deutscher Gelehrter Briefwechsel. bd. 1-5. Herausg. von J. Bernoulli. - Berlin, 1781-1784. - S. 202-203.
  26. ↑ Smilga, 1988 , p. 121.
  27. ↑ Istoria matematicii, Volumul III, p. 218.
  28. ↑ Despre fundamentele geometriei, pp. 101-120.
  29. ↑ Din altă literă rezultă că constanta este , unde denotă curbura .
  30. ↑ Despre fundamentele geometriei, p. 119-120.
  31. ↑ Lobachevsky N. I. Works on geometry (Culegere completă de lucrări, vol. 1-3). - M. - L .: GITTL, 1946-1949.
  32. ↑ Despre fundamentele geometriei, p. 61-62.
  33. ↑ 1 2 Arcozzi, Nicola. Modelele lui Beltrami de geometrie non-euclidiană  (engleză) . Preluat la 16 iulie 2016. Arhivat din original la 7 ianuarie 2017.
  34. ↑ 1 2 Pogorelov A.V. Fundamentele geometriei. - Ed. al 4-lea. - M . : Nauka, 1979. - S. 18-21. — 152 p.
  35. ↑ vezi articolul 34 din Lobachevsky, NI Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien  (germană) . — Berlin: F. Fincke, 1840.
  36. ↑ Peil, Timothy. Axiomele lui Hilbert modificate pentru geometria eliptică plană  . // Studiu de geometrie . Consultat la 18 octombrie 2016. Arhivat din original pe 19 octombrie 2016.
  37. ↑ Volberg O. A. Idei de bază ale hegmetriei proiective. - Ed. al 3-lea. - M. - L . : Uchpedgiz RSFSR, 1949. - S. 7. - 188 p.

Literatură

Link -uri

  Accesați articolul Wikidata  Dicționare și enciclopedii
În cataloagele bibliografice