Un reziduu în analiza complexă este un obiect (un număr, o formă sau o clasă coomologică a unei forme) care caracterizează proprietățile locale ale unei anumite funcții sau forme .
Teoria reziduurilor unei variabile complexe a fost dezvoltată în principal de Cauchy în 1825-1829. Pe lângă el, rezultate importante au fost obținute de Ermit , Sokhotsky , Lindelöf . În 1887, Poincaré a generalizat teorema integrală a lui Cauchy și conceptul de reziduu la cazul a două variabile [1] , din acel moment ia naștere teoria multidimensională a reziduurilor. Cu toate acestea, s-a dovedit că acest concept poate fi generalizat în diferite moduri.
Pentru a desemna reziduul unei funcții analitice într-un punct , se folosește o expresie (din lat. residuum ). În literatura în limba rusă, uneori se face referire la [2] .
Pentru o funcție cu valori complexe dintr- un domeniu care este obișnuit într-o vecinătate perforată a punctului , reziduul său la punctul este numărul:
.Deoarece funcția este holomorfă într-o mică vecinătate perforată a punctului , după teorema Cauchy, valoarea integralei nu depinde de valori suficient de mici ale acestui parametru, precum și de forma căii de integrare. Singurul lucru important este că calea este o curbă închisă în zona de analiticitate a funcției, odată ce închide punctul luat în considerare și fără alte puncte care nu aparțin zonei de holomorfie .
Într-o apropiere a punctului , funcția este reprezentată de o serie Laurent convergentă în puteri de . Este ușor de arătat că reziduul coincide cu coeficientul seriei la . Această reprezentare este adesea luată ca definiție a reziduului unei funcții.
Deducere la „infinit”Pentru a permite un studiu mai complet al proprietăților unei funcții, este introdus conceptul de reziduu la infinit, în timp ce acesta este considerat ca o funcție pe sfera Riemann . Fie punctul de la infinit un punct singular izolat , atunci restul de la infinit este un număr complex egal cu:
.Ciclul de integrare în această definiție este orientat pozitiv, adică în sens invers acelor de ceasornic.
Similar cu cazul precedent, reziduul de la infinit are și o reprezentare sub forma coeficientului expansiunii Laurent în vecinătatea punctului de la infinit:
.Din punctul de vedere al analizei asupra varietăților , este nefiresc să se introducă o definiție specială pentru un punct distins al sferei Riemann (în acest caz, la infinit). Mai mult, o astfel de abordare este dificil de generalizat la dimensiuni superioare . Prin urmare, conceptul de reziduu este introdus nu pentru funcții, ci pentru forme diferențiale pe sfera Riemann:
.La prima vedere, nu există nicio diferență în definiții, dar acum este un punct arbitrar , iar schimbarea semnului la calcularea reziduului la infinit se realizează prin modificarea variabilelor din integrală.
Integrala se numește restul logaritmic al funcției în raport cu conturul .
Noțiunea de reziduu logaritmic este folosită pentru a demonstra teorema lui Rouché și teorema fundamentală a algebrei .
Prin definiție, reziduul poate fi calculat ca o integrală de contur, dar în cazul general acest lucru este destul de laborios. Prin urmare, în practică, ei folosesc în principal consecințele definiției.
La punctul singular amovibil , precum și la punctul de regularitate, restul funcției este egal cu zero. În același timp, această afirmație nu este adevărată pentru un punct la infinit. De exemplu, o funcție are un zero de ordinul întâi la infinit, totuși, . Motivul pentru aceasta este că forma are o singularitate atât la zero, cât și la infinit.
În polul multiplicității , reziduul poate fi calculat cu formula:
,caz special
.Dacă funcția are un pol simplu în punctul , unde și sunt funcții holomorfe în vecinătatea , , , atunci se poate folosi o formulă mai simplă:
.Foarte des, mai ales în cazul punctelor esențial singulare , este convenabil să se calculeze reziduul folosind expansiunea seriei Laurent a funcției. De exemplu, deoarece coeficientul lui at este egal cu 1.
În cele mai multe cazuri, teoria reziduurilor este aplicată pentru a calcula diferite tipuri de expresii integrale folosind teorema principală a reziduului . Adesea utilă în aceste cazuri este lema lui Jordan .
Fie funcția o funcție rațională a variabilelor și . Pentru a calcula integralele formei, este convenabil să folosiți formulele Euler . Presupunând că și făcând transformările corespunzătoare, obținem:
.Pentru a calcula integrale improprii folosind teoria reziduurilor, se folosesc următoarele două leme:
1. Fie funcția holomorfă în semiplanul superior și pe axa reală, cu excepția unui număr finit de poli care nu se află pe axa reală și . Apoi
.2. Fie funcția holomorfă în semiplanul superior și pe axa reală, cu excepția unui număr finit de poli , care nu se află pe axa reală, și . Apoi
În acest caz, integralele din stânga egalităților nu trebuie să existe și, prin urmare, sunt înțelese numai în sensul valorii principale (după Cauchy) .