Transformarea lui Möbius

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 10 aprilie 2019; verificările necesită 24 de modificări .

Transformarea Möbius este o transformare a unei compactări într-un punct a spațiului euclidian , care este o compoziție a unui număr finit de inversiuni în raport cu hipersfere și reflexii în raport cu hiperplane . [1] . ${\widehat {\mathbb {R} ^{n)}}=\mathbb {R} ^{n}\cup \{\infty \)$

În literatura engleză, termenul de transformare Möbius este adesea definit doar pentru planul complex extins ca o transformare specificată folosind o funcție liniară-fracțională : ${\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ $f:{\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}$

f(x)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d)),&x\neq \infty \\\displaystyle {\frac {a}{c)} ,&x=\infty \end{cases}}\quad a,b,c,d\in \mathbb {C} ,\quad \left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\ dreapta|\neq 0

Această definiție poate fi considerată ca un caz special al generalului pentru , deoarece dacă planul complex extins este reprezentat ca , atunci definițiile sunt echivalente. În literatura în limba rusă, pentru funcțiile liniar-fracționale ale numerelor complexe, se folosește termenul de transformare liniar-fracțională . $n=2$ ${\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ ${\widehat {\mathbb {R} ^{2)}}=\mathbb {R} ^{2}\cup \{\infty \)$

Pentru cazul unei compactări într-un punct a unei drepte, aceasta este o dreaptă reală extinsă proiectiv . Pe ea, transformările Möbius pot fi definite în mod similar cu cazul complex cu ajutorul funcțiilor liniar-fracționale. $n=1$

Linie numerică extinsă proiectiv

În cazul în care spațiul este o linie numerică extinsă. În acest caz, transformarea Möbius permite o definiție alternativă folosind o funcție liniar-fracțională: $n=1$ $\R \cup \{\infty\}$

f(x)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d)),&x\neq \infty \\\displaystyle {\frac {a}{c)} ,&x=\infty \end{cases}}\quad a,b,c,d\in \mathbb {R} ,\quad \left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\ dreapta|\neq 0

Plan complex extins

În acest caz, spațiul poate fi privit ca un plan complex extins. Considerată în acest fel, transformarea Möbius este numită și transformare liniar-fracțională și poate fi definită alternativ folosind o funcție liniar-fracțională: $n=2$ $\mathbb {R} ^{2}\cup \{\infty \)$

f(x)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d)),&x\neq \infty \\\displaystyle {\frac {a}{c)} ,&x=\infty \end{cases}}\quad a,b,c,d\in \mathbb {C} ,\quad \left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\ dreapta|\neq 0

Într-un spațiu de dimensiunea 2, transformarea Möbius transformă cercuri generalizate în cercuri generalizate. Poate fi considerată fie ca o transformare punctuală , fie ca o transformare a cercurilor generalizate [2] :

ca transformare punctuală, transformarea Möbius este o transformare a planului euclidian extins astfel încât un cerc sau o linie devine un cerc sau o linie. Avem geometrie analagmatică punctuală ;
ca transformare non-punctală, transformarea Möbius este un caz special al unei transformări de contact , în care elementul principal nu este un punct, ci un cerc. Avem o geometrie analagmatică circulară.

Următoarele proprietăți simple sunt ușor de verificat:

Maparea identității este, de asemenea, un caz special al unei funcții liniar-fracționale. Suficient pentru a înlocui $f(z)=z$ $a=d=1,\;b=c=0.$
Suprapunerea mapărilor liniar-fracționale va fi, de asemenea, o funcție liniar-fracțională.
O funcție inversă uneia liniar-fracționale va fi, de asemenea, astfel.

Rezultă că mapările liniar-fracționale vor forma un grup sub operația de suprapunere ( grupul de automorfism al sferei Riemann , numit și grupul Möbius ). Acest grup este un grup complex de Lie tridimensional .

Proprietăți algebrice

La înmulțirea parametrilor , , , cu un număr complex diferit de zero, transformarea nu se modifică. Formal vorbind, grupul Möbius este o proiectivizare a grupului , adică există un epimorfism : . $A$ $b$ $c$ $d$ $GL_{2}(\mathbb {C} )$ $\left(\begin{matrice}a&&b\\c&&d\end{matrice}\right)\to\frac{az+b}{cz+d}$

Grupul Möbius este izomorf cu grupul special ortocronic Lorentz $SO^\susus(1,\;3)$ .

Să presupunem că matricea corespunzătoare transformării este normalizată, adică satisface condiția . Apoi, în funcție de urma acestei matrice, egală cu , putem clasifica toate mapările liniar-fracționale în trei tipuri: $ad-bc=1$ $a+d$

eliptice: ; $|a+d|<2$
parabolic: ; $a+d=\pm 2$
hiperbolic: . $|a+d|>2$

Proprietăți geometrice

În primul rând, orice mapare liniară-fracțională poate fi reprezentată ca o combinație de deplasări , inversiuni , rotații și întinderi . Acest lucru este ușor de demonstrat - o hartă arbitrară poate fi descompusă într-o suprapunere a patru funcții: $f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$

f(z)=f_4(f_3(f_2(f_1(z)))),

Unde

\begin{matrice}f_1(z)&=&z+\dfrac{d}{c},\\f_2(z)&=&\dfrac{1}{z},\\f_3(z)&=&-\ dfrac{ad-bc}{c^2}z,\\f_4(z)&=&z+\dfrac{a}{c}.\end{matrice}

În al doilea rând, proprietatea de a păstra unghiurile și de a păstra cercurile sub o mapare liniară-fracțională decurge imediat din aceasta, deoarece toate mapările incluse în suprapunere sunt conforme. Aici ne referim la cercuri pe sfera Riemann , care includ linii în plan.

În plus, pentru trei puncte distincte în perechi , există o mapare liniară-fracțională unică care mapează aceste trei puncte la cele trei puncte distincte în perechi date . Este construit pe baza faptului că mapările liniar-fracționale păstrează raportul anarmonic a patru puncte ale planului complex. Dacă punctul este imaginea punctului , atunci egalitatea $z_1,\;z_2,\;z_3$ $w_1,\;w_2,\;w_3$ $w(z)$ $z$

\frac{(z_1-z_3)(z_2-z)}{(z_1-z)(z_2-z_3)}=\frac{(w_1-w_3)(w_2-w(z))}{(w_1-w( z))(w_2-w_3)},

care (cu conditia ca pentru ) determina in mod unic maparea dorita $z_i \ne z_j, w_i \ne w_j$ $eu \ne j$ $w(z).$

Transformarea Möbius și cercul unitar

Transformarea lui Möbius

f(z)=\frac{az+b}{cz+d}

este un automorfism al cercului unitar dacă și numai dacă și . $\Delta=\{z \in {\mathbb C}: \, |z|<1\}$ $a{\bar b}=c{\bar d}$ $|a|=|d|>|c|$

Atât pentru sfera Riemann, cât și pentru cercul unitar, toate automorfismele conforme sunt epuizate de funcții liniar-fracționale. Automorfismele cercului unitar formează un subgrup real - tridimensional al grupului Möbius; fiecare dintre ele este exprimat astfel:

f(z)=e^{i\varphi}\frac{z+\beta}{{\bar\beta}z+1},\quad\beta\in\Delta,\quad|e^{i\varphi} |=1.

Exemple

Un exemplu important de funcție fracțională liniară este transformata Cayley :

W(z)=\frac{zi}{z+i}.

Leagă două domenii canonice pe planul complex prin maparea semiplanului superior la cercul unitar . ${\mathbb C}^+$ $\Delta$

Spații de dimensiuni mai mari

Începând cu orice mapare conformă este o transformare Möbius. Transformările Möbius au unul dintre următoarele tipuri: $n=3$

$f(x)=b+A(xa)$
$f(x)=b+{\dfrac {A(xa)}{|xa|^{2))}$ ,

unde , este o matrice ortogonală . $a,b\in \mathbb {R}$ $A$

Note

↑ Alfors L. Möbius transforms in multidimensional space, 1986 , p. 5.
↑ Enciclopedia Matematică , vol. 3, 1982 , st. 122.

Literatură

Shabat BV Introducere în analiza complexă. — M .: Nauka , 1969. — 577 p.
Alfors L. Transformări Möbius în spațiul multidimensional: Per. din engleza. N. A. Gusevski. Ed. S. L. Krushkala . M.: Mir, 1986. 112 p., ill. [Matematică modernă. Cursuri introductive.]
Enciclopedia matematică : cap. ed. I. M. Vinogradov , vol. 3 Koo-Od. M .: „Enciclopedia Sovietică”, 1982. 1184 stb., Ill.

Link -uri

Moebius Transformations Revealed Arhivat 16 februarie 2011 la Wayback Machine pe YouTube .
- la fel (cu subtitrare în limba rusă) Arhivat 22 iunie 2015 la Wayback Machine .