Ecuație pătratică

O ecuație pătratică este o ecuație algebrică de gradul doi cu o formă generală

ax^{2}+bx+c=0,\;a\neq 0,

unde este necunoscutul și coeficienții și sunt numere reale sau complexe . $X$ $A$ $b$ $c$

Rădăcina ecuației este valoarea variabileicare transformă trinomul pătrat la zero, iar ecuația pătratică la egalitatea numerică corectă. Această valoare este numită și rădăcina polinomului însuși. $ax^{2}+bx+c=0$ $X$ $ax^{2}+bx+c.$

Elementele ecuației pătratice au propriile nume [1] :

$A$ numit primul coeficient sau coeficient principal ,
$b$ se numește al doilea coeficient mediu sau coeficient la $X$ ,
$c$ se numește membru liber .

Se numește o ecuație pătratică redusă , în care coeficientul principal este egal cu unu [1] . O astfel de ecuație poate fi obținută prin împărțirea întregii expresii la coeficientul principal: $A$

x^{2}+px+q=0,\quad p={\frac {b}{a)),\quad q={\frac {c}{a)).

Se spune că o ecuație pătratică este completă dacă toți coeficienții ei sunt nenuli.

O astfel de ecuație pătratică se numește incompletă dacă cel puțin unul dintre coeficienți, cu excepția celui mai mare (fie al doilea coeficient, fie termenul liber), este egal cu zero.

O ecuație pătratică este rezolvabilă în radicali , adică rădăcinile sale pot fi exprimate în termeni de coeficienți într-un mod general.

Informații istorice despre ecuațiile pătratice

Babilonul antic

Deja în mileniul II î.Hr. babilonienii știau să rezolve ecuații patratice [1] . Soluția lor în Babilonul Antic era strâns legată de sarcini practice, în principal, cum ar fi măsurarea suprafeței terenurilor, lucrările de teren legate de nevoile militare; prezența acestor cunoștințe se datorează și dezvoltării matematicii și astronomiei în general. Au fost cunoscute metode de rezolvare atât a ecuațiilor pătratice complete, cât și a celor incomplete. Iată exemple de ecuații pătratice care au fost rezolvate în Babilonul Antic folosind notația algebrică modernă:

x^{2}+x={\frac {3}{4}};\ x^{2}-x=14{\frac {1}{2}}.

Regulile pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice sunt în multe privințe similare cu cele moderne, dar raționamentul prin care au fost obținute aceste reguli nu este consemnat în textele babiloniene.

India

Problemele rezolvate cu ajutorul ecuațiilor pătratice se găsesc în tratatul de astronomie „Aryabhattiam”, scris de astronomul și matematicianul indian Aryabhata în anul 499 d.Hr. Una dintre primele derivații cunoscute ale formulei pentru rădăcinile unei ecuații pătratice aparține savantului indian Brahmagupta (circa 598) [1] ; Brahmagupta a conturat o regulă universală pentru rezolvarea unei ecuații pătratice reduse la formă canonică: în plus, s-a presupus că toți coeficienții din ea, cu excepția lui, pot fi negativi. Regula formulată de om de știință coincide în esență cu cea modernă. $ax^{2}+bx=c;$ $A,$

Rădăcinile unei ecuații pătratice pe mulțimea numerelor reale

eu drumul. Formula generală pentru calcularea rădăcinilor folosind discriminantul

Discriminantul unei ecuații pătratice este mărimea . $ax^{2}+bx+c=0$ $D=b^{2}-4ac$

Condiție	$D>0$	$D=0$	$D<0$
Numărul de rădăcini	două rădăcini	O rădăcină a multiplicității 2 (cu alte cuvinte, două rădăcini egale)	Fără rădăcini reale
Formulă	$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}$ (unu)	$x=-{\frac {b}{2a)}$	—

Derivarea formulei

Formula (1) poate fi obținută după cum urmează:

ax^{2}+bx+c=0

ax^{2}+bx=-c

Înmulțiți fiecare parte cu și adăugați :

4a

b^{2}

4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=-4ac+b^{2}

(2ax+b)^{2}=-4ac+b^{2}

2ax+b=\pm {\sqrt {-4ac+b^{2))}

2ax=-b\pm {\sqrt {-4ac+b^{2))}

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}.

Formula de caz este un caz special de formula (1): $D=0$

x={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {0}}}{2a}}=-{\ frac {b}{2a}}.

Pentru acest caz, din formula (1) rezultă și absența rădăcinilor reale, deoarece rădăcina pătrată a unui număr negativ nu aparține mulțimii numerelor reale. $D<0$

Această metodă este universală, dar nu singura.

calea II. Rădăcinile unei ecuații pătratice cu coeficient b par

Pentru ecuațiile de forma , adică pentru chiar , unde $ax^{2}+2kx+c=0$ $b$

k={\frac {1}{2}}b,

în locul formulei (1) pentru găsirea rădăcinilor, există posibilitatea de a folosi expresii mai simple [1] .

Notă: formulele prezentate mai jos pot fi obținute prin înlocuirea expresiei b = 2 k în formulele standard , prin transformări simple.

Discriminant		Rădăcini
neredus	redus	D > 0	neredus	redus
mai usor de calculat sferturi ale discriminantului: ${\frac {D}{4}}=k^{2}-ac$ Toate proprietățile necesare sunt păstrate.	${\frac {D}{4}}=k^{2}-c$ .		$x_{1,2}={\frac {-k\pm {\sqrt {k^{2}-ac}}}{a}}.$	$x_{1,2}=-k\pm {\sqrt {k^{2}-c))$
		D =0	$x={\frac {-k}{a}}$	$x=-k$

calea III. Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete

Se practică o abordare specială pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete . Sunt luate în considerare trei situații posibile.

b = 0c = 0

b=0; c≠0

b≠0; c=0

{\begin{alignedat}{2}ax^{2}&=0,\\x^{2}&=0,\\x&=0.\end{alignedat))

(procesul de conversie este prezentat în mod special în detaliu; în practică, puteți trece imediat la ultima egalitate)

{\begin{aligned}ax^{2}+c&=0,\\ax^{2}&=-c,\\x^{2}&=-{\frac {c}{a} },\\x_{1,2}&=\pm {\sqrt {-{\frac {c}{a)))).\end{aliniat))

Dacă , atunci ecuația are două rădăcini reale , iar dacă , atunci ecuația nu are rădăcini reale .

-{\frac {c}{a}}>0

-{\frac {c}{a}}<0;

{\begin{aligned}ax^{2}+bx&=0,\\x(ax+b)&=0,\end{aligned))

$x=0$ sau $ax+b=0,$ $x_{1}=0,\quad x_{2}=-{\frac {b}{a)).$

O astfel de ecuație trebuie să aibă două rădăcini reale .

calea IV. Utilizarea rapoartelor coeficienților parțiali

Există cazuri speciale de ecuații pătratice în care coeficienții sunt proporționali între ei, ceea ce face mult mai ușor de rezolvat.

Rădăcinile unei ecuații pătratice în care suma coeficientului principal și a termenului liber este egală cu al doilea coeficient

Dacă într-o ecuație pătratică suma primului coeficient și a termenului liber este egală cu al doilea coeficient: , atunci rădăcinile sale sunt și numărul opus raportului dintre termenul liber și cel mai mare coeficient ( ). $ax^{2}+bx+c=0$ $a+c=b$ $-unu$ $-{\frac {c}{a}}$

Dovada

Metoda 1. Mai întâi, află dacă o astfel de ecuație are într-adevăr două rădăcini (inclusiv două care coincid):

D=b^{2}-4ac=(a+c)^{2}-4ac=a^{2}+2ac+c^{2}-4ac=a^{2}-2ac+c^{2 }=(ac)^{2}

Da, acest lucru este adevărat, deoarece pentru orice valoare reală a coeficienților și, prin urmare, discriminantul este nenegativ. Astfel, dacă , atunci ecuația are două rădăcini, dacă , atunci are o singură rădăcină. Găsiți aceste rădăcini: $(ac)^{2}\geqslant 0$ $a\nu=c$ $a=c$

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {-(a+c)\pm {\sqrt {(ac)^{2 }}}}{2a}}={\frac {-ac\pm |ac|}{2a}}={\frac {-ac\pm a\mp c}{2a}}

x_{1}={\frac {-ac-a+c}{2a}}={\frac {-2a}{2a}}=-1;

x_{2}={\frac {-a-c+ac}{2a}}={\frac {-2c}{2a}}=-{\frac {c}{a}}.

În special, dacă , atunci rădăcina va fi una: $a=c$ $-unu.$

Metoda 2.

Folosim modelul geometric al rădăcinilor unei ecuații pătratice: le vom considera puncte de intersecție ale parabolei cu axa absciselor. Orice parabolă, indiferent de expresia care o definește, este o figură simetrică față de o dreaptă . Aceasta înseamnă că segmentul oricărei drepte perpendiculare pe ea, tăiat de o parabolă pe ea, este împărțit la jumătate la axa de simetrie. Cele de mai sus sunt valabile în special pentru axa x. Astfel, pentru orice parabolă, una dintre următoarele egalități este adevărată: (dacă ) sau (dacă inegalitatea sensului opus este adevărată). Folosind identitatea care exprimă semnificația geometrică a modulului și acceptând, de asemenea, că (acest lucru poate fi demonstrat prin substituirea egalității în trinomul pătrat: , prin urmare -1 este rădăcina unei astfel de ecuații), ajungem la următoarea egalitate: Dacă ținem cont de faptul că diferența în cazul în care adunăm modulul este întotdeauna pozitivă, iar când scădem este negativă, ceea ce indică identitatea acestor cazuri și, mai mult, amintindu-ne de egalitate , deschidem modulul. : . În al doilea caz, făcând transformări similare, ajungem la același rezultat etc. $y=ax^{2}+bx+c$ $x=-{\frac {b}{2a))$ $-{\frac {b}{2a}}+\rho (x_{1};-{\frac {b}{2a}})=x_{2}$ $x_{1}<x_{2}$ $-{\frac {b}{2a}}-\rho (-{\frac {b}{2a}};x_{1})=x_{2}$ $\rho (a;b)=|ab|$ $x_{1}=-1$ $a\cdot (-1)^{2}+b\cdot (-1)+c=(a+c)-b=0$ $-{\frac {b}{2a}}\pm |-{\frac {b}{2a}}-(-1)|=x_{2}.$ $ba=c$ $x_{2}=-{\frac {b}{2a}}-{\frac {b}{2a}}+1=-{\frac {2b-2a}{2a}}=-{\frac {ba }{a}}=-{\frac {c}{a}}$

Rezultă că înainte de a rezolva orice ecuație pătratică este indicat să se verifice posibilitatea aplicării acestei teoreme: comparați suma coeficientului principal și a termenului liber cu al doilea coeficient. Rădăcinile unei ecuații pătratice a cărei sumă a tuturor coeficienților este zero

Dacă într-o ecuație pătratică suma tuturor coeficienților săi este egală cu zero ( ), atunci rădăcinile unei astfel de ecuații sunt și raportul dintre termenul liber și coeficientul principal ( ). $a+b+c=0$ $unu$ ${\frac {c}{a))$

Dovada

Metoda 1. În primul rând, observăm că din egalitate rezultă că Să stabilim numărul de rădăcini: $a+b+c=0$ $b=-(a+c)$

D=b^{2}-4ac=(-(a+c))^{2}-4ac=a^{2}+2ac+c^{2}-4ac=a^{2}-2ac+c ^{2}=(ac)^{2}.

Pentru orice valoare a coeficienților, ecuația are cel puțin o rădăcină: într-adevăr, pentru orice valoare a coeficienților și, prin urmare, discriminantul este nenegativ. Vă rugăm să rețineți că dacă , atunci ecuația are două rădăcini, dar dacă , atunci doar una. Găsiți aceste rădăcini: $(ac)^{2}\geqslant 0$ $a\nu=c$ $a=c$

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {a+c\pm {\sqrt {(ac)^{2}}} }{2a}}={\frac {a+c\pm |ac|}{2a}}={\frac {a+c\pm a\mp c}{2a}};

x_{1}={\frac {a+c+ac}{2a}}={\frac {2a}{2a}}=1;

x_{2}={\frac {a+c-a+c}{2a}}={\frac {2c}{2a}}={\frac {c}{a}},

Q.E.D.

În special, dacă , atunci ecuația are o singură rădăcină, care este numărul .

a=c

unu

Metoda 2. Folosind definiția de mai sus a rădăcinii unei ecuații pătratice, constatăm prin substituție că numărul 1 este astfel în cazul în cauză: - egalitatea corectă, prin urmare, unitatea este rădăcina acestui tip de ecuații pătratice. În plus, conform teoremei Vieta, găsim a doua rădăcină: conform acestei teoreme, produsul rădăcinilor ecuației este egal cu numărul egal cu raportul dintre termenul liber și coeficientul conducător - , etc. $a\cdot 1^{2}+b\cdot 1+c=0$ $x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}\Rightarrow x_{2}={\frac {c}{ax_{1}}}={\frac {c}{a\cdot 1}}={\frac {c}{a}}$

Rezultă că înainte de a rezolva ecuația prin metode standard, este indicat să se verifice aplicabilitatea acestei teoreme la aceasta, și anume, adunarea tuturor coeficienților ecuației date și stabilirea dacă această sumă nu este egală cu zero.

calea V. Descompunerea unui trinom pătrat în factori liniari

Dacă un trinom al formei poate fi reprezentat cumva ca un produs al factorilor liniari , atunci puteți găsi rădăcinile ecuației - acestea vor fi și , într-adevăr, deoarece după rezolvarea ecuațiilor liniare indicate, obținem cele de mai sus. Un trinom pătrat nu este întotdeauna descompus în factori liniari cu coeficienți reali: acest lucru este posibil dacă ecuația care îi corespunde are rădăcini reale. $ax^{2}+bx+c~(a\not =0)$ $(kx+m)(lx+n)=0$ $ax^{2}+bx+c=0$ $-{\frac {m}{k}}$ $-{\frac {n}{l}}$ $(kx+m)(lx+n)=0\Longleftrightarrow {\biggl [}{\begin{array}{lcl}kx+m=0,\\lx+n=0,\end{array} }$

Sunt luate în considerare unele cazuri speciale.

Folosind formula pentru pătratul sumei (diferența)

Dacă trinomul pătrat are forma , atunci aplicând formula de mai sus, îl puteți descompune în factori liniari și, prin urmare, găsiți rădăcinile: $(ax)^{2}+2abx+b^{2}$

(ax)^{2}+2abx+b^{2}=(ax+b)^{2},

(ax+b)^{2}=0,

x=-{\frac {b}{a}}.

Selectarea pătratului complet al sumei (diferența)

De asemenea, formula numită este utilizată folosind metoda numită „selectarea pătratului complet al sumei (diferenței)”. În raport cu ecuația pătratică dată cu notația introdusă mai devreme, aceasta înseamnă următoarele:

aduna si scade acelasi numar: .
$x^{2}+px+({\frac {p}{2}})^{2}-({\frac {p}{2}})^{2}+q=0;$
aplicați formula expresiei rezultate, transferați subtrahendul și termenul liber în partea dreaptă:
$(x^{2}+2{\frac {p}{2}}x+({\frac {p}{2}})^{2})+(-({\frac {p}{} 2}})^{2}+q)=0,$
$(x+{\frac {p}{2}})^{2}={\frac {p^{2}}{4}}-q;$
luați rădăcina pătrată din partea stângă și dreaptă a ecuației și exprimați variabila:
$x+{\frac {p}{2}}=\pm {\sqrt ({\frac {p^{2}}{4}}-q)),$
$x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt ({\frac {p^{2}}{4}}-q}}).$

Notă: această formulă coincide cu cea propusă în secțiunea „Rădăcinile ecuației pătratice reduse”, care, la rândul ei, poate fi obținută din formula generală (1) prin înlocuirea egalității a = 1 . Acest fapt nu este doar o coincidență: prin metoda descrisă, făcând, totuși, unele raționamente suplimentare, este posibil să se obțină o formulă generală, precum și să se demonstreze proprietățile discriminantului.

calea VI. Folosind teoremele directe și inverse ale lui Vieta

Teorema directă a lui Vieta (vezi mai jos ) și teorema sa inversă ne permit să rezolvăm ecuațiile pătratice date pe cale orală, fără a recurge la calcule folosind formula (1).

Conform teoremei inverse, orice pereche de numere (număr) , fiind o soluție a unui sistem de ecuații $x_{1},x_{2}$

{\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-p,\\x_{1}x_{2}=q,\end{cases))

sunt rădăcinile ecuației .

x^{2}+px+q=0

O teoremă directă vă va ajuta să selectați verbal numerele care satisfac aceste ecuații. Cu ajutorul acestuia, puteți determina semnele rădăcinilor fără a cunoaște rădăcinile în sine. Pentru a face acest lucru, urmați regula:

1) dacă termenul liber este negativ, atunci rădăcinile au un semn diferit, iar cea mai mare valoare absolută a rădăcinilor este semnul opus semnului celui de-al doilea coeficient al ecuației; 2) dacă termenul liber este pozitiv, atunci ambele rădăcini au același semn, iar acesta este semnul opus celui de-al doilea coeficient.

a 7-a cale. Metoda de transfer

În esență, metoda „roll-over” este pur și simplu o modificare a teoremei lui Vieta .

Metoda „rollover” este reducerea unei ecuații care nu poate fi redusă astfel încât toți coeficienții să rămână întregi, la o ecuație redusă cu coeficienți întregi:

1) înmulțiți ambele părți cu coeficientul principal:

ax^{2}+bx+c=0\quad \cdot a,

(ax)^{2}+b(ax)+ac=0;

2) înlocuiți

y=ax\colon

y^{2}+by+ac=0.

În continuare, rezolvăm ecuația pentru y folosind metoda descrisă mai sus și găsim x = y / a .

După cum puteți vedea, în metoda „transferului”, coeficientul senior este doar „ transferat ” la termenul liber.

Sensul geometric

Graficul unei funcții pătratice este o parabolă . Soluțiile (rădăcinile) unei ecuații pătratice sunt abscisele punctelor de intersecție ale parabolei cu axa absciselor . Dacă parabola descrisă de funcția pătratică nu intersectează axa x, ecuația nu are rădăcini reale. Dacă parabola intersectează axa x într-un punct (la vârful parabolei), ecuația are o rădăcină reală (se spune că ecuația are și două rădăcini care coincid). Dacă parabola intersectează axa x în două puncte, ecuația are două rădăcini reale (vezi imaginea din dreapta.)

Dacă coeficientul este pozitiv, ramurile parabolei sunt îndreptate în sus și invers. Dacă coeficientul este pozitiv (pentru pozitiv , pentru negativ, invers), atunci vârful parabolei se află în semiplanul stâng și invers. $A$ $b$ $A$

Mod grafic de rezolvare a ecuațiilor pătratice

Pe lângă metoda universală descrisă mai sus, există o așa-numită metodă grafică . În termeni generali, această metodă de rezolvare a unei ecuații raționale de formă este următoarea: într-un sistem de coordonate, grafice de funcții și și găsiți abscisele punctelor comune ale acestor grafice; numerele găsite vor fi rădăcinile ecuației. $f(x)=g(x)$ $y=f(x)$ $y=g(x)$

Există doar cinci moduri principale de a rezolva grafic ecuații pătratice. Metoda I

Pentru a rezolva o ecuație pătratică în acest mod, se construiește un grafic de funcție și se găsesc abscisele punctelor de intersecție ale unui astfel de grafic cu axa . $ax^{2}+bx+c=0$ $y=ax^{2}+bx+c$ $X$

Metoda II

Pentru a rezolva aceeași ecuație în acest fel, aceasta este convertită în forma și graficele unei funcții pătratice și ale unei funcții liniare sunt reprezentate în același sistem de coordonate , apoi se găsește abscisa punctelor lor de intersecție. $ax^{2}=-bx-c$ $y=ax^{2}$ $y=-bx-c$

Metoda III

Rezolvarea prin această metodă implică transformarea ecuației inițiale în formă folosind metoda extragerii întregului pătrat al sumei (diferența) și apoi la . După aceea, se construiește un grafic de funcție (este un grafic de funcție deplasat cu unitățile de scară la dreapta sau la stânga în funcție de semn) și o linie dreaptă paralelă cu axa x. Rădăcinile ecuației vor fi abscisele punctelor de intersecție ale parabolei și ale dreptei. $a(x+l)^{2}+m=0$ $a(x+l)^{2}=-m$ $y=a(x+l)^{2}$ $y=ax^{2}$ $|l|$ $y=-m$

Metoda IV

Ecuația pătratică este convertită în forma , se construiește un grafic al funcției (este graficul funcției , deplasat cu unitățile de scară în sus dacă acest coeficient este pozitiv, sau în jos dacă este negativ) și , găsiți abscisele lui punctele lor comune. $ax^{2}+c=-bx$ $y=ax^{2}+c$ $y=ax^{2}$ $c$ $y=-bx$

Calea V

Ecuația pătratică este convertită într-o formă specială:

{\frac {ax^{2}}{x}}+{\frac {bx}{x}}+{\frac {c}{x}}={\frac {0}{x}});

ax+b+{\frac {c}{x}}=0;

apoi

ax+b=-{\frac {c}{x}}.

După ce au făcut transformări, ei construiesc grafice cu o funcție liniară și proporționalitate inversă , găsesc abscisele punctelor de intersecție ale acestor grafice. Această metodă are o limită de aplicabilitate: dacă , atunci metoda nu este utilizată. $y=ax+b$ $y=-{\frac {c}{x}};\ (c\nu =0)$ $c=0$

Rezolvarea ecuațiilor pătratice cu busolă și dreptă

Metodele de soluție grafică descrise mai sus au dezavantaje semnificative: sunt destul de laborioase, în timp ce precizia construirii curbelor - parabole și hiperbole - este scăzută. Aceste probleme nu sunt inerente metodei propuse mai jos, care presupune construcții relativ mai precise cu busole și riglă.

Pentru a lua o astfel de decizie, trebuie să efectuați următoarea secvență de acțiuni.

Construiți un cerc în sistemul de coordonate Oxy cu centrul în punctul care intersectează axa y în punctul C(0;1). $S(-{\frac {b}{2a));{\frac {a+c}{2a)))$
Alte trei cazuri sunt posibile:
- lungimea razei cercului depășește lungimea perpendicularei pe axa x, omisă din punctul S: în acest caz, cercul intersectează axa x în două puncte, iar ecuația are două rădăcini reale egale cu abscisele acestor puncte;
- raza este egală cu perpendiculara: un punct și o rădăcină reală a multiplicității 2;
- raza este mai mică decât perpendiculara: nu există rădăcini în mulțime . $\mathbb {R}$

Dovada

Metoda luată în considerare presupune construirea unui cerc care intersectează axa y în puncte (puncte), ale cărui abscise sunt rădăcinile (sau rădăcina) ecuației care se rezolvă. Cum ar trebui construit un astfel de cerc? Să presupunem că a fost deja construit. Un cerc este definit în mod unic prin specificarea a trei dintre punctele sale. Fie, dacă sunt două rădăcini, acestea vor fi puncte în care , în mod natural, sunt rădăcinile reale ale ecuației pătratice (subliniem: dacă există ). Găsiți coordonatele centrului unui astfel de cerc. Pentru a face acest lucru, demonstrăm că acest cerc trece prin punctul . Într-adevăr, conform teoremei secantei , egalitatea este valabilă în notația acceptată (vezi figura). Transformând această expresie, obținem valoarea segmentului OD, care determină ordonata dorită a punctului D: (în ultima transformare s-a folosit teorema Vieta (vezi mai jos în secțiunea cu același nume)). Dacă există o singură rădăcină, adică axa absciselor va fi tangentă la un astfel de cerc, iar cercul intersectează axa y într-un punct cu ordonata 1, atunci cu siguranță o va intersecta într-un punct cu cele de mai sus. ordonată (în special, dacă 1=c/a, acesta este posibil să existe puncte care coincid), ceea ce este demonstrat în mod similar utilizând teorema secantei și tangentei, care este un caz special al teoremei secantei. În primul caz ( ), punctul tangent, punctul axei y cu ordonata 1 și același punct cu ordonata vor fi definitori . Dacă c/a și 1 sunt puncte coincidente și există două rădăcini, acest punct și punctele de intersecție cu axa absciselor vor fi definitorii. În cazul în care (1=c/a) și există o singură rădăcină, informațiile indicate sunt suficiente pentru demonstrație, deoarece poate exista un singur astfel de cerc - centrul său va fi vârful pătratului format din segmentele de tangente. şi perpendiculare, iar raza va fi latura acestui pătrat, constituind 1. Fie S centrul unui cerc care are două puncte comune cu axa x. Să-i găsim coordonatele: pentru aceasta coborâm perpendicularele pe axele de coordonate din acest punct. Capetele acestor perpendiculare vor fi punctele medii ale segmentelor AB și CD - la urma urmei, triunghiurile ASB și CSD sunt isoscele , deoarece în ele AS=BS=CS=DS ca raze ale unui cerc, prin urmare, înălțimile din ele sunt trase la bazele sunt de asemenea mediane. Găsiți coordonatele punctelor medii ale segmentelor numite. Deoarece parabola este simetrică față de dreapta , atunci punctul acestei drepte cu aceeași abscisă va fi punctul de mijloc al segmentului AB. Prin urmare, abscisa punctului S este egală cu acest număr. Dacă ecuația are o rădăcină, atunci axa x este tangentă la cerc, prin urmare, conform proprietății sale, raza sa este perpendiculară pe axă, prin urmare, în acest caz, numărul indicat este abscisa centrului. Găsim ordonata ei astfel: . În al treilea caz posibil, când c\a=1 (și, prin urmare, a=c), atunci . $A(x_{1};0),B(x_{2};0),C(0;1)$ $x_{1},x_{2}$ $D(0;{\frac {c}{a}})$ $OA\cdot OB=OC\cdot OD$ $OD={\frac {OA\cdot OB}{OC}}={\frac {x_{1}x_{2}}{1}}={\frac {c}{a}}$ ${\frac {c}{a}}\nu =1$ ${\frac {c}{a))$ $x=-{\frac {b}{2a))$ ${\frac {CD}{2}}={\frac {OC+(OC+CD)}{2}}={\frac {OC+OD}{2}}={\frac {1+{\frac { c}{a}}}{2}}={\frac {a+c}{2a}}$ ${\frac {c}{a}}=1={\frac {2a}{2a}}={\frac {a+c}{2a}}$

Deci, am găsit datele necesare construcției. Într-adevăr, dacă construim un cerc cu un centru într-un punct care trece printr-un punct , atunci acesta, în cazurile în care ecuația are rădăcini reale, va intersecta axa x în puncte ale căror abscise sunt aceste rădăcini. Mai mult, dacă lungimea razei este mai mare decât lungimea perpendicularei pe axa Ox, atunci ecuația are două rădăcini (presupunând contrariul, am obține o contradicție cu ceea ce s-a dovedit mai sus), dacă lungimile sunt egale, atunci unul (din același motiv), dacă lungimea razei este mai mică decât lungimea perpendicularei , atunci cercul nu are puncte comune cu axa x, prin urmare, ecuația nu are rădăcini reale (se dovedește și prin contradicție: dacă există rădăcini, atunci cercul care trece prin A, B, C coincide cu cel dat și, prin urmare, intersectează axa, totuși, nu trebuie să traverseze axa absciselor prin condiție, ceea ce înseamnă că ipoteza este incorectă) . $S(-{\frac {b}{2a));{\frac {c+a}{2a)))$ $C(0;1)$

Rădăcinile unei ecuații pătratice pe mulțimea numerelor complexe

Ecuație cu coeficienți reali

O ecuație pătratică cu coeficienți reali are întotdeauna, ținând cont de multiplicitate , două rădăcini complexe , așa cum este afirmată de teorema fundamentală a algebrei . În acest caz, în cazul unui discriminant nenegativ, rădăcinile vor fi reale, iar în cazul unuia negativ, vor fi conjugate complexe : $a~b~c$

când ecuația va avea două rădăcini reale: $D>0$ $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}});$
când - o rădăcină a multiplicității 2 (cu alte cuvinte, două rădăcini identice): $D=0$ $x=-{\frac {b}{2a));$
at sunt două rădăcini conjugate complexe exprimate prin aceeași formulă ca și pentru discriminantul pozitiv. De asemenea, poate fi rescris astfel încât să nu conțină o expresie radicală negativă, după cum urmează: $D<0$ $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {-b\pm i{\sqrt {|D|}}} {2a}}.$

Ecuație cu coeficienți complexi

În cazul complex, ecuația pătratică se rezolvă folosind aceeași formulă (1) și variantele ei indicate mai sus, dar se disting doar două cazuri: discriminant zero (o rădăcină dublă) și diferit de zero (două rădăcini ale multiplicității unitare).

Rădăcinile ecuației pătratice reduse

O ecuație pătratică de forma în care coeficientul de conducere este egal cu unu se numește redusă . În acest caz, formula rădăcinilor (1) este simplificată la $x^{2}+px+q=0,$ $A$

x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}.

Reguli mnemonice:

De la „ Monitor pentru bebeluși ”:

„Minus” scriem mai întâi,
Alături de el p în jumătate,
„Plus-minus” este semnul radicalului,
Din copilărie familiară nouă.
Ei bine, sub rădăcină, prietene,
Totul se reduce la nimic:
p în jumătate și pătrat
Minus frumosul [2] q .

Din „ Monitor pentru bebeluși ” (a doua versiune):

p , cu semn invers,
Îl vom împărți în două
și îl vom despărți cu grijă de rădăcină Cu
semnul minus-plus.
Și sub rădăcină este foarte util
Jumătate p pătrat
Minus q - și aici sunt soluțiile,
adică rădăcinile ecuației.

Din „ Monitor pentru bebeluși ” (a treia versiune bazată pe motivul Serilor din Moscova ):

Pentru a găsi x la jumătatea p ,
Nu uitați luat cu un minus,
Adaugă un radical cu un plus minus, Cu
grijă, nu cumva.
Și dedesubt este pătratul jumătății p ,
Tu, scădeți cu q și sfârșitul,
Va exista o formulă dată,
Raționamentul tău este coroana.
Va exista o formulă dată,
raționamentul tău este coroana.

Teorema lui Vieta

Formularea pentru ecuația pătratică redusă

Suma rădăcinilor ecuației pătratice date este egală cu coeficientul cu semnul minus, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber $x^{2}+px+q=0$ $p$ $q\colon$

x_{1}+x_{2}=-p,\quad x_{1}x_{2}=q.

Cu ajutorul acestuia, ecuațiile date pot fi rezolvate oral:

Exemplu

x^{2}-8x+12=0,

{\begin{cases}x_{1}+x_{2}=8,\\x_{1}x_{2}=12,\end{cases))

x_{1}=2,\quad x_{2}=6.

Pentru o ecuație pătratică neredusă

În cazul general, adică pentru o ecuație pătratică neredusă $ax^{2}+bx+c=0\colon$

{\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-b/a,\\x_{1}x_{2}=c/a.\end{cases))

În practică (urmând metoda „transferului” ), o modificare a teoremei Vieta este utilizată pentru a calcula rădăcinile:

{\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-b/a&\mid \cdot a,\\x_{1}x_{2}=c/a&\mid \cdot a^{ 2};\end{cazuri}}

{\begin{cases}(ax_{1})+(ax_{2})=-b,\\(ax_{1})(ax_{2})=ac,\end{cases))

prin care puteți găsi verbal ax 1 , ax 2 , iar de acolo - rădăcinile în sine:

Exemple

8x^{2}+2x-1=0,

{\begin{cases}8x_{1}+8x_{2}=-2,\\8x_{1}\cdot 8x_{2}=8\cdot (-1),\end{cases))

8x_{1}=-4,\quad 8x_{2}=2,

x_{1}=-{\tfrac {1}{2)),\quad x_{2}={\tfrac {1}{4)).

8x^{2}-2x-3=0,

{\begin{cases}8x_{1}+8x_{2}=2,\\8x_{1}\cdot 8x_{2}=-24,\end{cases))

8x_{1}=-4,\quad 8x_{2}=6,

x_{1}=-{\tfrac {1}{2)),\quad x_{2}={\tfrac {3}{4)).

Dar pentru unele ecuații nereduse, rădăcinile pot fi ghicite verbal chiar și prin teorema standard Vieta:

Exemplu

5x^{2}-26x+5=0,

{\begin{cases}x_{1}+x_{2}={\tfrac {26}{5}}=5+{\tfrac {1}{5)),\\x_{1}x_ {2}=1,\end{cazuri}}

x_{1}={\tfrac {1}{5)),\quad x_{2}=5.

Factorizarea trinomului pătrat și teoremele care decurg din aceasta

Dacă sunt cunoscute ambele rădăcini ale unui trinom pătrat, acesta poate fi extins prin formula

ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})

(2) Dovada

Pentru a demonstra această afirmație, folosim teorema lui Vieta. Conform acestei teoreme, rădăcinile şi ale ecuaţiei pătratice formează relaţii cu coeficienţii ei: . Înlocuiți aceste rapoarte în trinomul pătrat: $x_{1}$ $x_{2}$ $ax^{2}+bx+c=0$ $x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a)),\ x_{1}x_{2}={\frac {c}{a))$

{\begin{alignedat}{2}ax^{2}+bx+c&=a(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a} })=a(x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}x_{2})=\\&=a(x^{2}-x_{1} x-x_{2}x+x_{1}x_{2})=a(x(x-x_{1})-x_{2}(x-x_{1}))\\&=a(x -x_{1})(x-x_{2}).\end{alignedat}}

În cazul unui discriminant zero, acest raport devine una dintre variantele formulei pentru pătratul sumei sau diferenței .

Formula (2) are două consecințe importante: Corolarul 1 Dacă un trinom pătrat este descompus în factori liniari cu coeficienți reali, atunci are rădăcini reale. Dovada

Lasă . Apoi, rescriind această expansiune, obținem: $ax^{2}+bx+c=(kx+m)(nx+l)$

(kx+m)(nx+l)=k(x+{\frac {m}{k)))n(x+{\frac {l}{n)))=kn(x-(-{\frac { m}{k))))(x-(-{\frac {l}{n))))

Comparând expresia rezultată cu formula (2), aflăm că rădăcinile unui astfel de trinom sunt și . Deoarece coeficienții sunt reali, atunci numerele opuse raporturilor lor sunt și ele elemente ale mulțimii . $-{\frac {m}{k}}$ $-{\frac {l}{n}}$ $\mathbb {R}$

Consecința 2 Dacă un trinom pătrat nu are rădăcini reale, atunci nu poate fi descompus în factori liniari cu coeficienți reali. Dovada

Într-adevăr, dacă presupunem contrariul (că un astfel de trinom poate fi descompus în factori liniari), atunci, conform Corolarul 1 , el are rădăcini în mulțimea , ceea ce contrazice condiția și, prin urmare, presupunerea noastră este falsă, iar un astfel de trinom nu pot fi descompuse în factori liniari. $\mathbb {R}$

Ecuații cuadratice

Algebric

O ecuație de formă este o ecuație care se reduce la una pătratică. $a\cdot f^{2}(x)+b\cdot f(x)+c=0$

În cazul general, se rezolvă prin înlocuirea unde E este mulțimea de valori ale funcției f , urmată de rezolvarea ecuației pătratice . $f(x)=t,~t\in E(f),$ $a\cdot t^{2}+b\cdot t+c=0$

De asemenea, atunci când rezolvați, puteți face fără înlocuire prin rezolvarea unui set de două ecuații:

f(x)={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4\cdot a\cdot c))}{2a))

și

f(x)={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4\cdot a\cdot c))}{2a))

De exemplu, dacă , atunci ecuația devine: $f(x)=x^{2}$

ax^{4}+bx^{2}+c=0.

O astfel de ecuație de gradul 4 se numește biquadratică [3] [1] .

Prin înlocuire

y=x+{\dfrac {k}{x}}

ecuația se reduce la o ecuație pătratică

ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+kbx+k^{2}a=0,

cunoscută sub denumirea de ecuație simetrică reciprocă sau generalizată [1] .

Diferențiale

Ecuație diferențială liniară omogenă cu coeficienți constanți de ordinul doi

y''+py'+qy=0

substituția se reduce la ecuația pătratică caracteristică : $y=e^{kx}$

k^{2}+pk+q=0

Dacă soluțiile acestei ecuații și nu sunt egale între ele, atunci soluția generală are forma: $k_{1}$ $k_{2}$

y=Ae^{k_{1}x}+Be^{k_{2}x}

, unde și sunt constante arbitrare.

A

B

Pentru rădăcini complexe , soluția generală poate fi rescrisă folosind formula lui Euler : $k_{1,2}=k_{r}\pm k_{i}i$

y=e^{k_{r}x}\left(A\cos {k_{i}x}+B\sin {k_{i}x}\right)=Ce^{k_{r}x }\cos(k_{i}x+\varphi ),

unde A , B , C , φ sunt orice constante. Dacă soluțiile ecuației caracteristice sunt aceleași , soluția generală se scrie astfel: $k_{1}=k_{2}=k$

y=Topor^{kx}+Fi^{kx}

Ecuațiile de acest tip apar adesea într-o mare varietate de probleme din matematică și fizică, de exemplu în teoria oscilațiilor sau teoria circuitelor de curent alternativ .

Note

↑ 1 2 3 4 5 6 7 Dicționar enciclopedic al unui tânăr matematician, 1985 .
↑ altă opțiune - „nefericit”
↑ Dicţionar enciclopedic matematic. — M.: Enciclopedia sovietică. — 1988.

Literatură

Ecuație pătratică; Trinom pătrat // Dicţionar enciclopedic al unui tânăr matematician / Comp. A. P. Savin. - M . : Pedagogie , 1985. - S. 133 -136. — 352 p.

Link -uri

Weisstein, Eric W. Quadratic Equation (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
Derivarea formulei pentru rădăcinile ecuației pătratice complete. Rezolvarea ecuațiilor pătratice reduse și a ecuațiilor cu un al doilea coeficient par.Copie arhivată din 28 ianuarie 2016 la Wayback Machine / Festivalul Open Lesson of Pedagogical Ideas.

Dicționare și enciclopedii	Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	BNF : 12124598x J9U : 987007552898205171 LCCN : sh85044517

Ecuații algebrice
Ecuație liniară Ecuație pătratică ecuația cubică Ecuația gradului al patrulea Ecuația gradului al cincilea Ecuația gradului al șaselea Ecuația gradului al șaptelea