Cub (algebră)

Cubul unui număr este rezultatul ridicării unui număr la o putere de 3, adică produsul a trei factori, fiecare dintre care este egal. Această operație aritmetică se numește „cub”, rezultatul său se notează : $X$ $X.$ $x^{3}$

x^{3}=x\cdot x\cdot x

Pentru pătrat, operația inversă este luarea rădăcinii cubice . Numele geometric al „ cubului ” de gradul al treilea se datorează faptului că matematicienii antici considerau valorile cuburilor drept numere cubice , un tip special de numere ondulate (vezi mai jos), deoarece cubul numărului este egal. la volumul unui cub cu lungimea muchiei egală cu . $X$ $X$

Secvență de cuburi

Secvența de cuburi de numere nenegative începe cu numerele [1] :

0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 1331 1728 2197 2744 3375 4096 4913 5832 6859 8000 15625, 17576, 19683, 21952, 24389, 27000, 29791, 32768, 35937, 39304, 42875, 4666 , 64000, 68921, 74088, 79507, 85184, 91125, 97736. 125000, 132651, 140608, 148877, 157464, 166375, 175616, 185193, 195112, 205379, 216000, 226981, 238328 ...

Suma cuburilor primelor numere naturale pozitive se calculează cu formula: $n$

\sum _{i=1}^{n}i^{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots +n^{3}=\left ({\frac {n(n+1)}{2}}\dreapta)^{2}

Derivarea formulei

Formula pentru suma cuburilor poate fi derivată folosind tabelul înmulțirii și formula pentru suma unei progresii aritmetice [2] . Luând în considerare două tabele de înmulțire 5 × 5 ca o ilustrare a metodei, vom argumenta pentru tabele de dimensiunea n × n.

Tabel de înmulțire și cuburi de numere

×	unu	2	3	patru	5
unu	unu	2	3	patru	5
2	2	patru	6	opt	zece
3	3	6	9	12	cincisprezece
patru	patru	opt	12	16	douăzeci
5	5	zece	cincisprezece	douăzeci	25

Tabelul înmulțirii și progresia aritmetică

×	unu	2	3	patru	5
unu	unu	2	3	patru	5
2	2	patru	6	opt	zece
3	3	6	9	12	cincisprezece
patru	patru	opt	12	16	douăzeci
5	5	zece	cincisprezece	douăzeci	25

Suma numerelor din zona k-a (k=1,2,...) selectată a primului tabel:

k^2+2 k\sum_{l=1}^{k-1} l=k^2+2k\frac{k(k-1)}{2}=k^3

Și suma numerelor din zona k-a (k=1,2,...) selectată a celui de-al doilea tabel, care este o progresie aritmetică:

k\sum_{l=1}^{n} l=k\frac{n(n+1)}{2}

Însumând toate zonele selectate ale primului tabel, obținem același număr ca însumând peste toate zonele selectate ale celui de-al doilea tabel:

\sum_{k=1}^nk^3=\sum_{k=1}^nk\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}\sum_ {k=1}^nk=\left(\frac{n(n+1)}{2}\dreapta)^2

Unele proprietăți

În notație zecimală, un cub se poate termina cu orice număr (spre deosebire de un pătrat )
În notație zecimală, ultimele două cifre ale unui cub pot fi 00, 01, 03, 04, 07, 08, 09, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 21, 23, 24, 25, 27, 28 , 29, 31 , 32, 33, 36, 37, 39, 41, 43, 44, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 56, 57, 59, 61, 63, 64, 67, 67, 6 , 71, 72 , 73, 75, 76, 77, 79, 81, 83, 84, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 96, 97, 99. Dependența penultimei cifre a cubului de ultimul poate fi reprezentat ca următorul tabel:

ultima cifră	penultima cifră
0	0
5	2, 7
4, 8	chiar
2, 6	ciudat
1, 3, 7, 9	orice

Cuburi ca numere ondulate

„ Numărul cubic ” a fost văzut istoric ca un fel de numere figurative spațiale . Poate fi reprezentat ca diferența dintre pătratele numerelor triunghiulare consecutive [3] : $Q_{n}=n^{3}$ $T_{n}$

Q_{n}=(T_{n})^{2}-(T_{n-1})^{2},n\geqslant 2

Corolar: suma primelor numere cubice este egală cu pătratul celui de-al treilea număr triunghiular: $n$ $n$

Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}+\dots +Q_{n}=(T_{n})^{2)

Diferența dintre două numere cubice învecinate este un număr hexagonal centrat .

Corolar: suma primelor numere hexagonale centrate este un număr cubic [3] . $n$ $Q_{n}$

Expresia numărului cubic în termeni de tetraedric [3] : $\Pi _{n}^{(3))$

Q_{n}=\Pi _{n}^{(3)}+4\Pi _{n-1}^{(3)}+\Pi _{n-2}^{(3) }

, Unde

n > 2.

Una dintre „ conjecturile lui Pollock ” (1850): fiecare număr natural poate fi reprezentat ca suma a cel mult nouă numere cubice. Pentru prima dată această presupunere („ problema lui Waring ”) a fost formulată de Eduard Waring în 1770, dovedită de Hilbert în 1909. De obicei, șapte cuburi sunt suficiente pentru a reprezenta un număr dat, dar 15 numere necesită opt (15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364, 420, 428, 4584, OE1 IS secvența , OE18). ) și două numere au nevoie de toate cele nouă: 23 și 239 [4] [5] .

Dacă, pe lângă adunare, este permisă scăderea (sau, ceea ce este același, sunt permise cuburi de numere negative ), atunci cinci cuburi sunt suficiente. De exemplu, pentru numărul de mai sus 23, patru [5] [4] .:

23=2^{3}+2^{3}+1^{3}+1^{3}+1^{3}+1^{3}+1^{3}+1^{ 3}+1^{3}=8^{3}+8^{3}-10^{3}-1^{3}

S-a înaintat o ipoteză că orice număr întreg poate fi reprezentat ca o sumă de cel mult patru cuburi (cu semne), dar acest lucru nu a fost încă dovedit, deși a fost testat pe un computer pentru numere de până la 10 milioane. În 1966 , V. Demyanenko a demonstrat că orice număr întreg, cu excepția numerelor de forma 9n ± 4, poate fi reprezentat ca sumă a patru cuburi. Cel mai mare număr care nu poate fi reprezentat ca sumă a patru cuburi este 7373170279850 și există motive să credem că acesta este cel mai mare astfel de număr [6] [4] .

Funcția generatoare a numerelor cubice are forma [3] :

f(x)={\frac {x(x^{2}+4x+1)}{(x-1)^{4}}};\quad |x|<1

Note

↑ Secvența OEIS A000578 = Cuburile: a (n) = n^3
↑ Rowe S. Exerciții geometrice cu o bucată de hârtie . - Ed. a II-a. - Odesa: Matezis, 1923. - S. 68-70.
↑ 1 2 3 4 Deza E., Deza M., 2016 , p. 78-81.
↑ 1 2 3 Stuart, Ian . Numerele incredibile ale profesorului Stewart = numerele incredibile ale profesorului Stewart. - M . : Alpina non-fiction, 2016. - S. 79-81. — 422 p. - ISBN 978-5-91671-530-9 .
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , p. 231-232.
↑ Deshouillers, Jean-Marc; Hennecart, Francois; Landreau, Bernard; I. Gusti Putu Purnaba, Anexa de. 7373170279850 (engleză) // Mathematics of Computation : journal. - 2000. - Vol. 69 , nr. 229 . - P. 421-439 . - doi : 10.1090/S0025-5718-99-01116-3 .

Literatură

Vilenkin N. Ya., Shibasov L. P. Shibasova 3. F. În spatele paginilor unui manual de matematică: Aritmetică. Algebră. Geometrie . - M . : Educaţie, 1996. - S. 30 . — 320 s. — ISBN 5-09-006575-6 .
Glazer G.I. Istoria matematicii la scoala . - M . : Educaţie, 1964. - 376 p.
Deza E., Deza M. Numere curly. - M. : MTSNMO, 2016. - 349 p. — ISBN 978-5-4439-2400-7 .

Link -uri

numere ondulate
Numere figurate la MathWorld

numere ondulate

apartament

Poligonală clasică	triunghiular Pătrat Pentagonal Hexagonal Heptagonal Octogonal Dodecagonal
Centrat	triunghiular Pătrat Pentagonal Hexagonal Heptagonal Octogonal În nouă unghiuri Decagonală

Piramidal	tetraedric Pătrat piramidal
cu mai multe fațete	cub octaedral Dodecaedral icosaedric Octaedral stelat

cu mai multe fațete	Pentatopic Bisquare