Numerele Fibonacci generalizate

Numerele Fibonacci formează o secvență definită prin recursivitate

F_{0}=0,

F_{1}=1,

F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2)

pentru un număr întreg .

n>1

Adică, pornind de la două valori inițiale, fiecare număr este egal cu suma celor două precedente.

Secvența Fibonacci a fost studiată pe larg și generalizată în multe moduri, cum ar fi începerea secvenței cu alte numere decât 0 sau 1 sau prin adăugarea a mai mult de două numere precedente pentru a forma următorul număr. Acest articol descrie diverse extensii și generalizări ale numerelor Fibonacci.

Extindere la numere negative

Dacă utilizați recursiunea , puteți extinde numerele Fibonacci la numere negative. Primim: $F_{n-2}=F_{n}-F_{n-1)$

... −8, 5, −3, 2, −1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

cu termenul general formula . $F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n)$

Vezi și numerele Negafibonacci .

Extindere la numere reale și complexe

Există multe generalizări posibile care extind numerele Fibonacci la numerele reale (și uneori la numerele complexe ). Ele folosesc raportul de aur φ și se bazează pe formula lui Binet

F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}.

Funcția analitică

\operatorname {Fe} (x)={\frac {\varphi ^{x}-\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}

are proprietatea că pentru numere întregi pare n [1] . În mod similar, pentru funcția analitică $\operatorname {Fe} (n)=F_{n}$

\operatorname {Fo} (x)={\frac {\varphi ^{x}+\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}

este valabil pentru toate numerele întregi impare n . $\operatorname {Fo} (n)=F_{n}$

Punând totul împreună, obținem funcția analitică

\operatorname {Fib} (x)={\frac {\varphi ^{x}-\cos(x\pi )\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}},

pentru care este valabil pentru toate numerele întregi n [2] . $\operatorname {Fib} (n)=F_{n)$

Deoarece pentru toate numerele complexe z , această funcție oferă și o extensie a șirului Fibonacci pentru întregul plan complex. Astfel, putem calcula funcția Fibonacci generalizată pentru o variabilă complexă, de exemplu, $\operatorname {Fib} (z+2)=\operatorname {Fib} (z+1)+\operatorname {Fib} (z)$

\operatorname {Fib} (3+4i)\aprox -5248{,}5-14195{,}9i.

Spațiu vectorial

Termenul secvență Fibonacci poate fi aplicat oricărei funcții g care mapează o variabilă întreagă la un câmp, pentru care . Aceste funcții sunt exact funcții de forma , deci secvențele Fibonacci formează un spațiu vectorial a cărui bază sunt funcțiile și . $g(n+2)=g(n)+g(n+1)$ $g(n)=F(n)g(1)+F(n-1)g(0)$ $F(n)$ $F(n-1)$

Orice grup abelian (considerat ca un modul Z ) poate fi luat ca domeniu al funcției g . Apoi, secvențele Fibonacci formează un modul Z bidimensional .

Secvențe întregi similare

Secvențe întregi Fibonacci

Modulul Z bidimensional al secvențelor de numere întregi Fibonacci constă din toate secvențele întregi care satisfac relația . Exprimat în termenii primelor două valori inițiale, obținem $g(n+2)=g(n)+g(n+1)$

g(n)=F(n)g(1)+F(n-1)g(0)=g(1){\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{ -n}}{\sqrt {5}}}+g(0){\frac {\varphi ^{n-1}-(-\varphi )^{1-n}}{\sqrt {5}}} ,

unde φ este raportul de aur.

Raportul dintre două elemente consecutive converge către raportul de aur, cu excepția cazului unei secvențe care constă din zerouri și secvențe în care raportul primilor doi termeni este egal cu . $(-\varphi )^{-1}$

Secvența poate fi scrisă ca

a\varphi ^{n}+b(-\varphi )^{-n},

în care dacă şi numai dacă . În această formă, cel mai simplu exemplu non-trivial este și această secvență constă din numere Lucas : $a=0$ $b=0$ $a=b=1$

L_{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}.

Avem și . Efectuat: $L_{1}=1$ $L_{2}=3$

{\begin{aliniat}\varphi ^{n}&=\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}={\frac { L(n)+F(n){\sqrt {5}}}{2}},\\L(n)&=F(n-1)+F(n+1).\end{aliniat}}

Orice succesiune netrivială de numere întregi Fibonacci (eventual după o schimbare cu un număr finit de poziții) este unul dintre rândurile tabelului Wythoff . Secvența Fibonacci în sine este primul rând, iar secvența Lucas deplasată este al doilea rând [3] .

Vezi și Secvențe de numere Fibonacci modulo n .

Luca secvențe

O altă generalizare a secvențelor Fibonacci este secvențele Lucas , definite după cum urmează:

U(0)=0

U(1)=1

U(n+2)=PU(n+1)-QU(n)

unde șirul obișnuit al lui Fibonacci este un caz special cu și . O altă secvență Luke începe cu , . Astfel de secvențe au aplicații în teoria numerelor și testarea primarității . $P=1$ $Q=-1$ $V(0)=2$ $V(1)=P$

În cazul în care , această secvență este numită șirul P -Fibonacci . De exemplu, secvența Pell se mai numește și secvența 2 Fibonacci . $Q=-1$

3-Sirul lui Fibonacci

0, 1, 3, 10, 33, 109, 360, 1189, 3927, 12970, 42837, 141481, 467280, 1543321, 5097243 , 16835 .

4-Sirul lui Fibonacci

0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473, 23184, 98209, 416020, 1762289, 7465176, 31622993, 133957148, 133957148, 416020, 1762289, 7465176, 31622993, 133957148, 133957148, 640 630 607 600 600 607

5-Sirul lui Fibonacci

0, 1, 5, 26, 135, 701, 3640, 18901, 98145, 509626, 2646275, 13741001, 71351280, 370497401, 1982626, 2646275 în continuare

6-Sirul lui Fibonacci

0, 1, 6, 37, 228, 1405, 8658, 53353, 328776, 2026009, 12484830, 76934989, 474094764, 29215035703 , ...

Constanta n -Fibonacci este valoarea la care tinde raportul numerelor adiacente ale secvenței n - Fibonacci. Se mai numește și raportul n - al metalului valoros și este singura rădăcină pozitivă a ecuației. De exemplu, în cazulîn care constanta este, sau secțiunea de aur , iar în cazulîn care constanta este 1 + √ 2 , sau secțiunea de argint . Pentru cazul general, constanta n este. $x^{2}-nx-1=0$ $n=1$ ${\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ $n=2$ ${\tfrac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}$

În cazul general, aceasta poate fi numită - șirul Fibonacci , sau poate fi numită - șirul Lucas . $U(n)$ $(P,-Q)$ $V(n)$ $(P,-Q)$

(1,2)-secvența Fibonacci

0 1 1 3 5 11 21 43 85 171 341 683 1365 2731 5461 10923 21845 43691 87381 174763 349525 699051 5461 10923 21845 43691 87381 174763 349525 699051 5461 10923

(1,3)-secvența Fibonacci

secvența A006130 în OEIS

(2,2)-secvența Fibonacci

0, 1, 2, 6, 16, 44, 120, 328, 896, 2448, 6688, 18272, 49920, 136384, 372608, 1017984, 27811804, 2781184, 2781184, 18272, 49920, 136384, 372608, 1017984, 2781184, 2781184, 2781184, 2781184, 2781184, 3781184, 3781184, 3781184 , 3781184

(3,3)-secvența Fibonacci

0, 1, 3, 12, 45, 171, 648, 2457, 9315, 35316, 133893, 507627, 1924560, 7296561, 27663363, 104879772, 397629405, 1507527531, 5715470808, ... SECUSE A030195

Numere Fibonacci de ordin înalt

Secvența Fibonacci de ordinul n este o succesiune de numere întregi în care fiecare element este suma celor n elemente anterioare (excluzând primele n elemente ale secvenței). Numerele obișnuite Fibonacci sunt de ordinul 2. Cazurile și sunt investigate cu atenție. Numărul de factorizări ale numerelor întregi nenegative în părți care nu depășesc n este șirul Fibonacci de ordinul n . Succesorul numărului de șiruri de 0 și 1 de lungime m care conține cel mult n zerouri consecutive este și o secvență Fibonacci de ordinul n . $n=3$ $n=4$

Aceste secvențe, limitele lor de relație de termen și limitele de relație de termen au fost studiate de Mark Barr în 1913 [4] .

Numerele Tribonacci

Numerele Tribonacci sunt similare cu numerele Fibonacci, dar în loc de două numere predefinite, succesiunea începe cu trei numere, iar fiecare termen următor este suma celor trei anterioare:

0 , 0 , 1 , 1 , 2 , 4 , 7 , 13 , 24 , 44 , 81 , 149 , 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768 , 10609, 10609, 1950, 1950, 1950, 1950, 1950, 1950, 1950, 1950, 1950 , 2009

constanta Tribonacci

{\frac {1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33)}})+{\sqrt[{3}] {19-3{\sqrt {33)} }}}{3}}\aprox 1,839286755214161,

secvența A058265 în OEIS

este valoarea la care tinde raportul dintre două numere tribonacci vecine. Numărul este rădăcina polinomului și, de asemenea, satisface ecuația . Constanta tribonacci este importantă în studiul cubului snub . $x^{3}-x^{2}-x-1=0$ $x+x^{-3}=2$

Reciproca constantei tribonacci , exprimată ca raport , poate fi scrisă ca: $\xi ^{3}+\xi ^{2}+\xi =1$

\xi ={\frac {{\sqrt[{3}]{17+3{\sqrt {33)}))-{\sqrt[{3}]{-17+3{\sqrt {33 }}}}-1}{3}}={\frac {3}{1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3} ]{19-3{\sqrt {33}}}}}}\aproximativ 0,543689012.

Numerele Tribonacci sunt date și prin formula [5]

T(n)=\left\lfloor 3b{\frac {\left({\frac {1}{3}}\left(a_{+}+a_{-}+1\right)\right) ^{n}}{b^{2}-2b+4}}\right\rceil

unde ⌊ • ⌉ înseamnă cel mai apropiat număr întreg și

{\begin{aligned}a_{\pm }&={\sqrt[{3}]{19\pm 3{\sqrt {33)}})\\b&={\sqrt[{3}] {586+102{\sqrt {33}}}}\end{aligned}}

. Numerele Tetranacci

Numerele tetranacci încep cu patru termeni predefiniti, iar fiecare termen următor este calculat ca suma celor patru termeni anteriori din succesiune. Primele câteva numere tetranacci:

0,0,0,1,1,2,4,8,15,29,56,108,208,401,773,1490,2872,5536,10671,20569,39648,76424,147312,283953,283953, _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 4 (secvența A000078 în OEIS )

Constanta tetranacci este valoarea la care tinde raportul dintre membrii vecini ai secvenței de tetranacci. Această constantă este rădăcina polinomului și este aproximativ egală cu 1,927561975482925 A086088 și satisface ecuația . $x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1=0$ $x+x^{-4}=2$

Constanta tetranacci este exprimată în termeni de radicali [6]

\left(p_{1}+{\tfrac {1}{4}}\right)+{\sqrt {\left(p_{1}+{\tfrac {1}{4}}\right) ^{2}-{\frac {2\lambda _{1}}{p_{1}}}\left(p_{1}+{\tfrac {1}{4}}\right)+{\frac { 7}{24p_{1}}}}+{\tfrac {1}{6}}}}

Unde

{\begin{aligned}p_{1}&={\sqrt {\lambda _{1}+{\tfrac {11}{48}}})\\\lambda _{1}&={\ frac {{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {1689}}-65}}-{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {1689}}+65}}}{12{\ sqrt[{3}]{2}}}}.\end{aliniat}}

Comenzi mai mari

S-au calculat numerele de pentanacci (ordinul 5), hexanacci (ordinul 6) și heptanacci (ordinul 7).

Numerele Pentanacci (ordinea a 5-a):

0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 61, 120, 236, 464, 912, 1793, 3525, 6930, 13624, ... secvența OEIS A001591

Numerele hexanaci (ordinul 6):

0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 125, 248, 492, 976, 1936, 3840, 7617, 15109, ... secvența OEIS A001592

Numerele Heptanacci (ordinea a 7-a):

0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 253, 504, 1004, 2000, 3984, 7936, 15808, ... secvența OEIS A122189

Numerele octanacci (ordinea a 8-a):

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 255, 509, 1016, 2028, 4048, 8080, 16128, ... secvență A079262 în OEIS

Numerele Nonacci (ordinea a 9-a):

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 511, 1021, 2040, 4076, 8144, 16.272, . .secvența A104144 în OEIS

Limita raportului termenilor succesivi ai unei secvențe n -nacci tinde spre rădăcina ecuației ( A103814 , A118427 , A118428 ). $x+x^{-n}=2$

Formulă recursivă alternativă pentru limita raportului r a două numere consecutive n -nacci

r=\sum _{k=0}^{n-1}r^{-k)

Un caz special este secvența tradițională Fibonacci și oferă raportul de aur . $n=2$ $\varphi =1+{\tfrac {1}{\varphi }}$

Formulele de raport de mai sus sunt valabile pentru secvențele n -nacci generate din numere arbitrare. Limita acestui raport este 2 deoarece n tinde spre infinit. Secvența de numere „infinit-nacci”, dacă încercați să o descrieți, ar trebui să înceapă cu un număr infinit de zerouri, după care ar trebui să existe o secvență

[..., 0, 0, 1,] 1, 2, 4, 8, 16, 32, …,

adică pur și simplu puteri a doi.

Limita secvenței pentru oricare este o rădăcină pozitivă a ecuației caracteristice r [6] $n>0$

x^{n}-\sum _{i=0}^{n-1}x^{i}=0.

Rădăcina r este în intervalul . Rădăcina negativă a ecuației caracteristice este în intervalul (−1, 0) dacă n este par. Această rădăcină și fiecare rădăcină complexă a ecuației caracteristice au un modul [6] . $2(1-2^{-n})<r<2$ $3^{-n}<\vert r\vert <1$

Secvență pentru o rădăcină pozitivă r pentru orice [6] $n>0$

2-2\sum _{i>0}{\frac {1}{i}}{\binom {(n+1)i-2}{i-1}}{\frac {1}{ 2^{(n+1)i}}}.

Nu există o soluție a ecuației caracteristice în termeni de radicali dacă [6] . $5\leqslant n\leqslant 11$

elementul k -al al secvenței n -nacci este dat de formula

F_{k}^{(n)}=\left\lfloor {\frac {r^{k-1}(r-1)}{(n+1)r-2n))\dreapta\rceil ,

unde ⌊ • ⌉ înseamnă cel mai apropiat număr întreg și r este constanta n -nacci care este rădăcina cea mai apropiată de 2 [7] . $x+x^{-n}=2$

Problema aruncării monedelor este legată de secvența n -nacci. Probabilitatea ca cozile să nu apară de n ori consecutiv în m aruncări ale unei monede ideale este [8] . ${\tfrac {1}{2^{m}}}F_{m+2}^{(n))$

Cuvântul Fibonacci

Prin analogie cu analogul numeric , cuvântul Fibonacci este definit ca

F_{n}:=F(n):={\begin{cases}{\text{b}}&,n=0;\\{\text{a}}&,n=1;\ \F(n-1)+F(n-2)&,n>1.\\\end{cazuri}}

unde + înseamnă concatenarea a două șiruri. Secvența de șiruri Fibonacci începe cu

b, a, ab, aba, abaab, abaababa, abaababaabaab, … secvența OEIS A106750

Lungimea fiecărui șir Fibonacci este egală cu numărul Fibonacci și pentru fiecare număr Fibonacci există un șir Fibonacci.

Șirurile Fibonacci se dovedesc a fi intrări în cel mai rău caz pentru unii algoritmi .

Dacă „a” și „b” reprezintă două materiale diferite sau lungimi de legături atomice, structura corespunzătoare șirului Fibonacci este un cvasicristal Fibonacci , o structură cvasicristală neperiodică cu proprietăți spectrale neobișnuite .

Secvențe Fibonacci pliate

Secvența Fibonacci pliată este obținută prin aplicarea operației de pliere secvenței Fibonacci de una sau de mai multe ori. Definiți [9] :

F_{n}^{(0)}=F_{n}

și

F_{n}^{(r+1)}=\sum _{i=0}^{n}F_{i}F_{ni}^{(r))

Primele câteva secvențe

r = 1: 0, 0, 1, 2, 5, 10, 20, 38, 71, ... A001629 . r = 2: 0, 0, 0, 1, 3, 9, 22, 51, 111, ... A001628 . r = 3: 0, 0, 0, 0, 1, 4, 14, 40, 105, ... A001872 .

Secvențele pot fi calculate folosind formula recursivă

F_{n+1}^{(r+1)}=F_{n}^{(r+1)}+F_{n-1}^{(r+1)}+F_{n} ^{(r)}

Funcția generatoare a convoluției r este

s^{(r)}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }F_{n}^{(r)}x^{n}=\left({\frac { x}{1-xx^{2}}}\dreapta)^{r}.

Secvențele sunt legate de șirul de polinoame Fibonacci relație

F_{n}^{(r)}=r!F_{n}^{(r)}(1)

unde este derivata r a lui . În mod echivalent, este un coeficient atunci când este extins ca sumă a puterilor lui . $F_{n}^{(r)}(x)$ $F_{n}(x)$ $F_{n}^{(r))$ $(x-1)^{r)$ $F_{n}(x)$ $(x-1)$

Prima convoluție poate fi scrisă în termeni de numere Fibonacci și Lucas $F_{n}^{(1))$

F_{n}^{(1)}={\frac {nL_{n}-F_{n}}{5}}

și satisface relația de recurență

F_{n+1}^{(1)}=2F_{n}^{(1)}+F_{n-1}^{(1)}-2F_{n-2}^{(1 )}-F_{n-3}^{(1)}.

O expresie similară poate fi găsită pentru r > 1 , cu o complexitate crescândă pe măsură ce r crește . Numerele sunt sumele de pe rândurile triunghiului Hosoya . $F_{n}{(1))$

Ca și în cazul numerelor Fibonacci, există câteva interpretări combinatorii ale acestor secvențe. De exemplu, este numărul de moduri de a scrie n - 2 ca o sumă ordonată a numerelor 0, 1 și 2, unde 0 este folosit exact o dată. În special, și, respectiv, 4 - 2 = 2 poate fi scris ca 0 + 1 + 1 , 0 + 2 , 1 + 0 + 1 , 1 + 1 + 0 , 2 + 0 . [zece] $F_{n}^{(1))$ $F_{4}^{(1)}=5$

Alte generalizări

Polinoamele Fibonacci sunt o altă generalizare a numerelor Fibonacci.

Sirul Padovan este format din relatia de recurenta . $P(n)=P(n-2)+P(n-3)$

Secvența aleatorie Fibonacci poate fi definită ca aruncarea unei monede pentru fiecare poziție n a secvenței și o alegereîn cazul capetelor șicozilor. Conform lucrării lui Furstenberg și Kesten, această secvență aproape sigur crește exponențial la o rată constantă. Constanta ratei de creștere a fost calculată în 1999 de către Diwakar Viswanath și este cunoscută ca „ constanta Viswanath ”. $F(n)=F(n-1)+F(n-2)$ $F(n)=F(n-1)-F(n-2)$

Repfigit , sau numărul lui Keith , este un număr întreg care rezultă din succesiunea Fibonacci care începe cu o succesiune de numere reprezentând succesiunea de cifre a numărului. De exemplu, pentru numărul 47, șirul Fibonacci începe cu 4 și 7 și conține 47 ca al șaselea termen ( (4, 7, 11, 18, 29, 47) ). Numărul balenei poate fi obținut ca șir tribonacci dacă conține 3 cifre, ca șir tetranacci dacă numărul conține 4 cifre etc. Primele numere ale balenei sunt:

14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, 742, 1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788, 7385, 7647, 7909, ... secvența OEIS A007629

Deoarece mulțimea de secvențe care satisfac relația este închisă sub adunarea elementului și înmulțirea cu o constantă, poate fi considerată ca un spațiu vectorial . Orice astfel de secvență este determinată în mod unic de o alegere a două elemente, astfel încât spațiul vectorial este bidimensional. Dacă notăm o astfel de secvență prin (primii doi termeni ai șirului), numerele Fibonacci și numerele Fibonacci deplasate , vor fi baza canonică a acestui spațiu $S(n)=S(n-1)+S(n-2)$ $(S(0),S(1))$ $F(n)=(0,1)$ $F(n-1)=(1,0)$

S(n)=S(0)F(n-1)+S(1)F(n)

pentru toate astfel de secvențe S . De exemplu, dacă S este șirul lui Lucas 2, 1, 3, 4, 7, 11, ... , avem

L(n)=2F(n-1)+F(n)

Secvența Fibonacci generată de N

Putem defini o secvență Fibonacci generată de N (unde N este un număr rațional pozitiv).

În cazul în care un

N=2^{a_{1}}\cdot 3^{a_{2}}\cdot 5^{a_{3}}\cdot 7^{a_{4}}\cdot 11^{a_{ 5}}\cdot 13^{a_{6}}\cdot ...\cdot P_{r}^{a_{r}},

unde P r este primul r , definim

F_{N}(n)=a_{1}F_{N}(n-1)+a_{2}F_{N}(n-2)+a_{3}F_{N}(n- 3)+a_{4}F_{N}(n-4)+a_{5}F_{N}(n-5)+...

Dacă , presupunem , iar în caz , presupunem . $n=r-1$ $F_{N}(n)=1$ $n<r-1$ $F_{N}(n)=0$

Urmare	N	secvența OEIS
Secvența Fibonacci	6	A000045
Secvența Pell	12	A000129
secvența Jacobsthal	optsprezece	A001045
Secvența Tribonacci	treizeci	A000073
secvența Tetranacci	210	A000288
Secvența Padovan	cincisprezece	A000931

Secvența semi-Fibonacci

Secvența semi-fibbonaciană ( A030067 ) este definită prin aceeași formulă recursivă pentru termeni cu indici impari și , dar pentru indici pari este nevoie de , . Termenii impari distinși ( A030068 ) satisfac ecuația și sunt strict crescători. Ele dau o mulțime de numere semi-fibonacci $a(2n+1)=a(2n)+a(2n-1)$ $a(1)=1$ $a(2n)=a(n)$ $n\geqslant 1$ $s(n)=a(2n-1)$ $s(n+1)=s(n)+a(n)$

1, 2, 3, 5, 6, 9, 11, 16, 17, 23, 26, 35, 37, 48, 53, 69, 70, 87, 93, 116, 119, 145, 154, ... secvență A030068 în OEIS _

pentru care formula este adevărată . $s(n)=a(2^{k}(2n-1)),k=0,1,...$

Note

↑ Ce este un număr Fibonacci?
↑ Pravin Chandra, Eric W. Weisstein . Numărul Fibonacci (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
↑ Morrison, 1980 , p. 134–136.
↑ Gardner, 1961 , p. 101.
↑ Simon Plouffe, 1993 . Preluat la 20 iulie 2022. Arhivat din original la 11 iulie 2022. (nedefinit)
↑ 1 2 3 4 5 Wolfram, 1998 .
↑ Du, Zhao Hui, 2008
↑ Eric W. Weisstein Aruncarea monedelor la Wolfram MathWorld .
↑ Hoggatt, Bicknell-Johnson, 1977 , p. 117-122.
↑ Sloane's A001629 Arhivat la 12 octombrie 2017 la Wayback Machine . Enciclopedia on-line a secvențelor întregi . Fundația OEIS.

Literatură

Morrison DR O matrice Stolarsky de perechi Wythoff // O colecție de manuscrise legate de secvența Fibonacci . - Santa Clara, CA: Asociația Fibonacci, 1980. - S. 134-136. Arhivat pe 4 martie 2016 la Wayback Machine
Martin Gardner. The Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions, Vol. II. - Simon și Schuster, 1961. - P. 101.
Wolfram DA Rezolvarea recurențelor Fibonacci generalizate // Fib. Quart .. - 1998. - T. 36 , nr. 2 .
Hoggatt VE Jr., Bicknell-Johnson M. Secvențe de convoluție Fibonacci // Fib. Quart. - 1977. - T. 15 .

Link -uri

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), numărul Tribonacci , Enciclopedia matematicii , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4

Fibonacci
Cărți	Cartea abacului (1202) Cartea pătratelor (1225)
teorii	numerele Fibonacci Algoritm lacom pentru fracțiile egiptene
subiecte asemănătoare	Numerele Fibonacci în cultură Lista obiectelor numite după Fibonacci Generalizarea numerelor Fibonacci Asociația Fibonacci trimestrial