Matricea lambda

Matricea Lambda ( λ-matrice , matricea polinoamelor ) este o matrice pătrată ale cărei elemente sunt polinoame peste un câmp numeric . Dacă există un element de matrice care este un polinom de grad , și nu există elemente de matrice de grad mai mare decât , atunci este gradul matricei λ. $\l$ $\l$ $\l$

A\left(\lambda \right)={\begin{bmatrix}a_{11}(\lambda )&a_{12}(\lambda )&\cdots &a_{1n}(\lambda )\\a_{ 21}(\lambda )&a_{22}(\lambda )&\cdots &a_{2n}(\lambda )\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}(\lambda )&a_{ n2}(\lambda )&\cdots &a_{nn}(\lambda )\end{bmatrix}},\qquad a_{ij}(\lambda )=a_{ij}^{(l)}\lambda ^{l }+a_{ij}^{(l-1)}\lambda ^{l-1}+\cdots +a_{ij}^{(1)}\lambda +a_{ij}^{(0)}.

Folosind operațiile uzuale pe matrice , orice matrice λ poate fi reprezentată ca:

A\left(\lambda \right)=A_{l}\lambda ^{l}+A_{l-1}\lambda ^{l-1}+\cdots +A_{1}\lambda +A_ {0}.

Dacă determinantul matricei este diferit de zero, atunci matricea λ se numește regulată. $\A_{l)$

Un exemplu de matrice λ neregulată:

A\left(\lambda \right)={\begin{bmatrix}\lambda ^{4}+\lambda ^{2}+\lambda -1&\lambda ^{3}+\lambda ^{2} +\lambda +2\\2\lambda ^{3}-\lambda &2\lambda ^{2}+2\lambda \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix} }\lambda ^{4}+{\begin{bmatrix}0&1\\2&0\end{bmatrix}}\lambda ^{3}+{\begin{bmatrix}1&1\\0&2\end{bmatrix}}\lambda ^ {2}+{\begin{bmatrix}1&1\\-1&2\end{bmatrix}}\lambda +{\begin{bmatrix}-1&2\\0&0\end{bmatrix}}.

Algebra matricelor λ

Adunarea și înmulțirea

Matricele λ de același ordin pot fi adăugate și multiplicate între ele în mod obișnuit, iar rezultatul este o altă matrice λ.

Fie și λ-matrice de ordine și , respectiv, și , atunci $A\stanga(\lambda\right)$ $B\stanga(\lambda\right)$ $\l$ $\m$ $\k=max(l,m)$

A\left(\lambda \right)=A_{k}\lambda ^{k}+A_{k-1}\lambda ^{k-1}+\cdots +A_{1}\lambda +A_ {0}

;

B\left(\lambda \right)=B_{k}\lambda ^{k}+B_{k-1}\lambda ^{k-1}+\cdots +B_{1}\lambda +B_ {0}

unde cel puțin una dintre matrice este diferită de zero, avem $\A_{k},B_{k)$

A\left(\lambda \right)+B\left(\lambda \right)=(A_{k}+B_{k})\lambda ^{k}+(A_{k-1}+B_ {k-1})\lambda ^{k-1}+\cdots +(A_{1}+B_{1})\lambda +(A_{0}+B_{0})

;

A\left(\lambda \right)B\left(\lambda \right)=A_{k}B_{k}\lambda ^{2k}+(A_{k}B_{k-1}+A_ {k-1}B_{k})\lambda ^{2k-1}+\cdots +(A_{1}B_{0}+A_{0}B_{1})\lambda +(A_{0}B_ {0})

;

Divizia

Să presupunem că este o matrice λ obișnuită și că există matrice λ cu sau cu un grad mai mic decât un grad astfel încât $\ B(\lambda )$ $\Q(\lambda),R(\lambda)$ $\R(\lambda)\equiv 0$ $\ R(\lambda )$ $\ B(\lambda )$

\A(\lambda)=Q(\lambda)B(\lambda)+R(\lambda)

În acest caz, se numește câtul drept atunci când este împărțit la , și - restul drept . În mod similar, și este câtul din stânga și restul din stânga atunci când este împărțit la dacă $\ Q(\lambda )$ $\ A(\lambda )$ $\ B(\lambda )$ $\ R(\lambda )$ ${\hat {Q}}(\lambda )$ ${\hat {R}}(\lambda )$ $\ A(\lambda )$ $\ B(\lambda )$

A(\lambda )=B(\lambda ){\hat {Q}}(\lambda )+{\hat {R}}(\lambda )

și sau grad mai mic decât grad . ${\hat {R}}(\lambda )\equiv 0$ ${\hat {R}}(\lambda )$ $\ B(\lambda )$

Dacă restul din dreapta (stânga) este 0, atunci se numește divizor dreapta (stânga) atunci când este împărțit la . $\ Q(\lambda )$ $({\hat {Q}}(\lambda ))$ $\ A(\lambda )$ $\ B(\lambda )$

Dacă este regulat, atunci câtul din dreapta (stânga) și restul din dreapta (stânga) atunci când sunt împărțite la există și sunt unice. $\ B(\lambda )$ $\ A(\lambda )$ $\ B(\lambda )$

λ-matrice cu argumente matrice

Datorită necomutativității înmulțirii matricei, spre deosebire de proprietățile unui polinom obișnuit, pentru o matrice λ este imposibil să scrieți o egalitate similară cu

a_{l}\lambda ^{l}+a_{l-1}\lambda ^{l-1}+\cdots +a_{1}\lambda +a_{0}=\lambda ^{l} a_{l}+\lambda ^{l-1}a_{l-1}+\cdots +\lambda a_{1}+a_{0}

deci definim valoarea corectă a matricei λ în matrice ca $\ A(B)$ $\ A(\lambda )$ $\ B$

A\left(B\right)=A_{l}B^{l}+A_{l-1}B^{l-1}+\cdots +A_{1}B+A_{0)

, dacă ;

A\left(\lambda \right)=A_{l}\lambda ^{l}+A_{l-1}\lambda ^{l-1}+\cdots +A_{1}\lambda +A_ {0}

și valoarea lăsată” ca: ${\hat {A}}(B)$

{\hat {A}}\left(B\right)=B^{l}A_{l}+B^{l-1}A_{l-1}+\cdots +BA_{1}+ A_{0}

si in general . $A(B)\neq {\hat {A}}(B)$

Teorema lui Bezout pentru λ-matrice

Pentru matricele λ, există o proprietate similară cu teorema lui Bezout pentru polinoame: resturile din dreapta și din stânga după împărțirea matricei λ la , unde — matricea de identitate este și respectiv. $\ A(\lambda )$ $\ \lambda EB$ $\E$ $\ A(B)$ ${\hat {A}}(B)$

Proprietatea este demonstrată prin factorizare:

\ \lambda ^{j}EB^{j}=(\lambda ^{j-1}E+\lambda ^{j-2}B+\cdots +\lambda B^{j-2}+B^ {j-1})(\lambdaEB)

când înmulțim ambele părți ale acestei egalități cu partea stângă și adunăm toate egalitățile obținute pentru , partea dreaptă va arăta ca , unde este o matrice λ. Partea stângă a egalității: $\A_{j)$ $\j=1,\cdots ,l$ $\ C(\lambda )(\lambda EB)$ $\ C(\lambda )$

\sum _{j=1}^{l}\lambda ^{j}A_{j}-\sum _{j=1}^{l}A_{j}B^{j}=\sum _{j=0}^{l}\lambda ^{j}A_{j}-\sum _{j=0}^{l}A_{j}B^{j}=A(\lambda )-A (B)

În acest fel:

\A(\lambda)=C(\lambda)(\lambda EB)+A(B)

Rezultatul rezultă acum din unicitatea restului drept. Enunțul pentru restul din stânga se obține inversând factorii din descompunerea inițială, înmulțind rezultatul cu dreapta și însumând. $\A_{j)$

Corolar: pentru ca o matrice λ să fie divizibilă la dreapta (la stânga) fără rest, este necesar și suficient ca . $\ A(\lambda )$ $\ \lambda EB$ $\ A(B)=0$ $\left({\hat {A}}(B)=0\right)$

Literatură

Gantmakher F. R. Teoria matricei. - Ed. a II-a - M .: Nauka , 1966.
Lancaster P. Teoria Matricei. — M .: Nauka, 1973.

Vectori și matrici

Vectori

Noțiuni de bază	Vector în geometrie Bază Baza ortogonala Coordonatele vectoriale Coliniaritate Ortogonalitatea Dependență liniară Spațiu coloane
Tipuri de vectori	Vector unitar Vector axial vector izotrop Normal Coliniaritate Vector zero Vector rază Vector propriu
Operații pe vectori	Produs scalar produs vectorial produs mixt Produs pseudoscalar Produs dublu cruce
Tipuri de spațiu	spațiu vectorial spatiu afin Spațiul euclidian Spațiul pseudo-euclidian Spațiu normat Spațiul Minkowski

matrici

Noțiuni de bază	Înmulțirea matricei Matrice transpusă Matricea conjugată hermitiană Matricea simetrică matrice inversă Valoare proprie Polinom caracteristic al unei matrice
Matrici speciale	Matrice de identitate Matrice zero Matricea diagonală matricea lambda
Descompuneri de matrice	descompunerea LU Descompunerea Cholesky Descompunerea QR Descompunerea LUP descompunerea unei valori singulare Descompunerea spectrală a unei matrice

Alte