Aporia Zeno

Aporii „Dihotomie” și „Săgeată” amintesc de următoarele aforisme paradoxale atribuite principalului reprezentant al vechii „școli a numelor” chinezești ( ming jia ) Gongsun Long (mijlocul secolului al IV-lea î.Hr.  – mijlocul secolului al III-lea î.Hr. ):

• „În [zborul] rapid al unei săgeți, există un moment de absență atât a mișcării, cât și a opririi.”
• „Dacă un băț [lungime] de un chi este luat în fiecare zi la jumătate, acesta nu va fi finalizat nici după 10.000 de generații.”

Critica lui Aristotel la adresa aporiei

Aristotel ( secolul al IV-lea î.Hr. ) a considerat materia ca fiind continuă și divizibilă la infinit. În cărțile IV (capitolele 2, 3), VI (capitolele 2, 9) și VIII (capitolul 8) din „Fizica” sa analizează și respinge argumentele lui Zenon [23] . În ceea ce privește aporii de mișcare, Aristotel subliniază că, deși un interval de timp poate fi împărțit la infinit, el nu poate fi compus din puncte-momente izolate și este imposibil să se coreleze timpul infinit cu această divizibilitate infinită:

Zeno greșește. Dacă întotdeauna - spune el - fiecare [corp] este în repaus atunci când este într-un loc egal [cu el însuși], iar un [corp] în mișcare în momentul "acum" este întotdeauna [într-un loc egal cu el însuși], atunci săgeata zburătoare este nemișcată. Dar acest lucru nu este adevărat, pentru că timpul nu este alcătuit din „acum” indivizibil și nici o altă cantitate.
Există patru raționamente ale lui Zenon despre mișcare, care dau mare dificultate celor care încearcă să le rezolve. Prima este despre inexistența mișcării pe motiv că [corpul] în mișcare trebuie să ajungă la jumătate înainte de a ajunge la capăt.<...> A doua este așa-numitul „Achile”: constă în faptul că cel mai lent [ creatura] nu poate fi niciodată depășită în fugă de către cel mai rapid, căci urmăritorul trebuie să vină mai întâi în locul din care evadatorul s-a deplasat deja, astfel încât cel mai lent va trebui să fie întotdeauna înaintea [urmăritorului] cu o anumită [distanță]. ]. Iar acest raționament se bazează pe împărțirea la jumătate, dar diferă [de cel precedent] prin aceea că valoarea luată nu este împărțită în două părți egale.<...>
Al treilea, care tocmai a fost menționat, este că săgeata zburătoare. sta pe loc; rezultă din presupunerea că timpul este alcătuit din „acum” [separate]; dacă acest lucru nu este recunoscut, silogismul va eșua.

Diogene relatează că Aristotel și Heraclide din Pont aveau scrieri numite „Împotriva învățăturilor lui Zenon”, dar nu au supraviețuit.

Părerile istoricilor și comentatorilor asupra argumentelor lui Aristotel erau împărțite: unii le considerau suficiente, alții le criticau pentru că sunt neconvingătoare și lipsite de profunzime. În special, Aristotel nu a explicat cum o perioadă finită de timp poate consta dintr-un număr infinit de părți [16] . V. Ya. Komarova scrie [24] :

Poziția lui Aristotel este clară, dar nu ireproșabilă – și mai ales pentru că el însuși nu a reușit să detecteze erori logice în dovezi și nici să dea o explicație satisfăcătoare pentru paradoxuri... Aristotel nu a reușit să infirme argumentele din simplul motiv că dovezile lui Zenon sunt logic impecabil.

Abordare atomistă

Primul atomist grec antic , Leucip , a fost un elev al lui Zenon și unul dintre profesorii unui alt atomist important, Democrit . Cea mai detaliată expunere a atomismului antic este sistemul lui Epicur , secolele IV - III î.Hr. e.  - a venit la noi în prezentarea lui Lucretius Cara . Spre deosebire de Aristotel, Epicur considera lumea discretă , constând din atomi indivizibili în mișcare veșnic și gol. Un interes deosebit este conceptul epicurian de izotahie , conform căruia toți atomii se mișcă cu aceeași viteză [25] . Având în vedere că în lumea lui Epicur este imposibil să măsori ceva mai puțin decât un atom, rezultă că există și cel mai mic interval de timp măsurabil. Idealizarea matematică a acestui model a reprezentat orice corp, figură sau linie ca o unire a unui număr infinit de indivizibili infinit de mici (această abordare ca „ metoda indivizibililor ” a fost dezvoltată în special în secolele XVI - XVII ).

În consecință, mișcarea observată din continuu devine bruscă. Alexandru de Afrodisia , un comentator al lui Aristotel, a rezumat punctele de vedere ale susținătorilor lui Epicur în acest fel: „Afirmând că atât spațiul, cât și mișcarea și timpul constau din particule indivizibile, ei afirmă, de asemenea, că un corp în mișcare se mișcă în spațiu, constând a părților indivizibile, iar pe fiecare nu există părți indivizibile ale mișcării, ci doar rezultatul mișcării” [26] . O astfel de abordare devalorizează imediat paradoxurile lui Zeno, deoarece îndepărtează toate infinititățile de acolo.

Discuție în timpurile moderne

Controversa în jurul aporii zenoniene a continuat până în timpurile moderne. Până în secolul al XVII-lea, nu a existat niciun interes pentru aporie, iar evaluarea lor aristotelică a fost în general acceptată. Primul studiu serios a fost întreprins de gânditorul francez Pierre Bayle , autor al celebrului Dicționar istoric și critic ( 1696 ). Într-un articol despre Zenon, Bayle a criticat poziția lui Aristotel și a ajuns la concluzia că Zeno avea dreptate: conceptele de timp, extindere și mișcare sunt asociate cu dificultăți de netrecut pentru mintea umană [27] .

Subiecte similare cu aporii sunt atinse în antinomiile lui Kant . Hegel a subliniat în Istoria filozofiei că dialectica materiei a lui Zenon „nu a fost respinsă până astăzi” ( ist bis auf heutigen Tag unwiderlegt ) [2] . Hegel l-a lăudat pe Zenon drept „părintele dialecticii” nu numai în sensul antic, ci și în sensul hegelian al cuvântului dialectică . El a observat că Zeno distinge între mișcarea percepută senzual și cea imaginabilă . Pe acesta din urmă, conform filozofiei sale, Hegel l-a descris ca o combinație și conflict de contrarii, ca o dialectică a conceptelor [28] . Hegel nu răspunde la întrebarea cum se aplică această analiză mișcării reale, limitându-se la concluzia: „Zeno a realizat definițiile conținute în ideile noastre despre spațiu și timp și a descoperit contradicțiile conținute în ele” [29]

În a doua jumătate a secolului al XIX-lea, mulți oameni de știință s-au angajat în analiza paradoxurilor lui Zenon, exprimând o varietate de puncte de vedere. Printre acestea [2] :

• filozoful german Eduard Zeller ;
• istoricul francez al științei Paul Tannery , care a considerat paradoxurile lui Zenon drept un argument în critica pitagorismului [30] ;
• istoricul francez Victor Brochard , conform căruia logica lui Zeno este impecabilă;

și multe altele.

Interpretare modernă

Destul de des au existat (și continuă să apară) încercări de a respinge matematic raționamentul lui Zeno și, prin urmare, de a „închide subiectul”. De exemplu, construind o serie de intervale descrescătoare pentru aporia „Achile și broasca țestoasă”, se poate demonstra cu ușurință că aceasta converge, astfel încât Ahile va depăși țestoasa. În aceste „refutări”, însă, esența litigiului este substituită. În aporii lui Zenon, nu vorbim despre un model matematic, ci despre mișcarea reală și, prin urmare, este inutil să limităm analiza paradoxului la raționamentul intra-matematic - la urma urmei, Zeno doar pune la îndoială aplicabilitatea conceptelor matematice idealizate la real. mișcare [16] [31] . Despre problema adecvării mișcării reale și a modelului ei matematic, vezi secțiunea următoare a acestui articol.

D. Hilbert și P. Bernays în monografia „Fundamentals of Mathematics” ( 1934 ) remarcă despre aporia „Achilles and the broaise” [32] :

De obicei, oamenii încearcă să ocolească acest paradox argumentând că suma unui număr infinit al acestor intervale de timp converge și, astfel, dă un interval de timp finit. Totuși, acest raționament nu atinge în mod absolut un moment esențial paradoxal, și anume paradoxul, care constă în faptul că o succesiune infinită de evenimente se succed una după alta, succesiune a cărei desăvârșire nici nu ne putem imagina (nu doar fizic, ci cel puțin în principiu) , de fapt, tot ar trebui să se termine .

Studii serioase ale aporii lui Zenon iau în considerare modelele fizice și matematice împreună. R. Courant și G. Robbins consideră că, pentru a rezolva paradoxurile, este necesar să ne aprofundăm semnificativ înțelegerea mișcării fizice [33] . De-a lungul timpului, un corp în mișcare trece succesiv de toate punctele traiectoriei sale, totuși, dacă pentru orice interval de spațiu și timp diferit de zero nu este dificil să se indice intervalul care îl urmează, atunci pentru un punct (sau moment) este imposibil să indicați punctul care îl urmează, iar acest lucru încalcă secvența. „Rămâne o divergență inevitabilă între ideea intuitivă și limbajul matematic precis conceput pentru a-și descrie liniile principale în termeni științifici, logici. Paradoxurile lui Zenon dezvăluie în mod viu această discrepanță.

Gilbert și Bernays exprimă opinia că esența paradoxurilor constă în inadecvarea unui model matematic continuu, infinit divizibil, pe de o parte, și a materiei fizice discrete, pe de altă parte [34] : „nu trebuie neapărat să credem că mișcarea de reprezentare matematică spațiu-timp are o semnificație fizică pentru intervale arbitrar mici de spațiu și timp. Cu alte cuvinte, paradoxurile apar din cauza aplicării incorecte la realitate a conceptelor idealizate de „punct de spațiu” și „moment de timp”, care nu au analogi în realitate, deoarece orice obiect fizic are dimensiuni nenule, non-nule. durata și nu poate fi divizibil la infinit.

Puncte de vedere similare pot fi găsite în Henri Bergson și Nicolas Bourbaki . Potrivit lui Henri Bergson [35] :

Contradicțiile semnalate de școala eleatică privesc nu atât mișcarea în sine ca atare, cât transformarea artificială a mișcării pe care mintea noastră o realizează.

Bergson credea că există o diferență fundamentală între mișcare și distanța parcursă. Distanța parcursă poate fi împărțită în mod arbitrar, în timp ce mișcarea nu poate fi împărțită arbitrar. Fiecare pas al lui Ahile și fiecare pas al țestoasei trebuie considerate indivizibile. Același lucru este valabil și pentru zborul unei săgeți:

Adevărul este că, dacă o săgeată părăsește punctul A și lovește punctul B, atunci mișcarea ei AB este la fel de simplă, pe atât de necompusă - pentru că este mișcare - ca și tensiunea arcului care o trage.

Potrivit lui Nicolas Bourbaki [36] :

Întrebarea divizibilității infinite a spațiului (pusă, fără îndoială, de primii pitagoreici) a condus, după cum știți, la dificultăți semnificative în filosofie: de la eleatici la Bolzano și Cantor , matematicienii și filozofii au fost incapabili să rezolve paradoxul - cum o valoare finită poate consta dintr-un număr infinit de puncte, fără dimensiune.

Remarca lui Bourbaki înseamnă că este necesar să explicăm modul în care un proces fizic ia infinit de multe stări diferite într-un timp finit. O posibilă explicație este că spațiu-timp este de fapt discret , adică există porțiuni minime ( quanta ) atât din spațiu, cât și din timp [37] . Dacă este așa, atunci toate paradoxurile infinitului din aporii dispar. Richard Feynman a declarat [38] :

Teoria că spațiul este continuu mi se pare greșită, pentru că [în mecanica cuantică] duce la cantități infinit de mari și alte dificultăți. În plus, nu răspunde la întrebarea ce determină dimensiunea tuturor particulelor. Bănuiesc cu tărie că reprezentările simple ale geometriei, extinse pe zone foarte mici din spațiu, sunt greșite.

Discretul spațiu-timp a fost discutat activ de fizicieni încă din anii 1950,  în special, în legătură cu proiectele unei teorii unificate a câmpului [39] , dar nu s-au făcut progrese semnificative pe această cale.

S. A. Vekshenov consideră că, pentru a rezolva paradoxurile, este necesar să se introducă o structură numerică care să fie mai consistentă cu conceptele fizice intuitive decât continuul punctului Cantor [40] . Un exemplu de teorie a mișcării non-continuu a fost propus de Sadeo Shiraishi [41] .

Maurice Kline , în comentariile sale despre aporii lui Zenon, scrie: „Este important să ne dăm seama că natura și descrierea matematică a naturii nu sunt același lucru, iar diferența se datorează nu numai faptului că matematica este o idealizare... Natura, poate, este incomparabil mai complexă, sau structura ei nu are o regularitate deosebită” [42] .

„ Dicționarul Enciclopedic Matematic ” consideră că esența aporiei este destul de profundă și ia în considerare diferite modalități de rezolvare a problemei [43] :

Este posibil să se contestă comoditatea sau caracterul adecvat al mișcării efective a unui model matematic utilizat în mod obișnuit. Pentru a studia conceptul de cantități fizice infinitezimale și infinit de mari, s-au încercat în mod repetat construirea unei teorii a numerelor reale în care axioma lui Arhimede nu este valabilă. În orice caz, teoria câmpurilor ordonate non-Arhimedian este o parte foarte semnificativă a algebrei moderne.

Următoarea secțiune a acestui articol conține o discuție mai detaliată a acestui subiect.

Adecvarea teoriei analitice a mișcării

Teoria generală a mișcării cu viteză variabilă a fost dezvoltată la sfârșitul secolului al XVII-lea de către Newton și Leibniz . Baza matematică a teoriei este analiza matematică , bazată inițial pe conceptul de mărime infinitezimală . În discuția despre ceea ce constituie un infinitezimal, două abordări antice au fost din nou reînviate [44] [45] .

• Prima abordare, pe care a luat-o Leibniz, a dominat întregul secol al XVIII-lea . Similar atomismului antic, el consideră infinitezimale ca un tip special de numere (mai mari decât zero, dar mai mici decât orice număr pozitiv obișnuit). O justificare riguroasă pentru această abordare (așa-numita analiză non-standard ) a fost dezvoltată de Abraham Robinson în secolul al XX-lea . Baza analizei lui Robinson este un sistem numeric extins ( numere hiperreale ). Desigur, infinitezimalele lui Robinson seamănă puțin cu atomii antici, fie doar pentru că sunt infinit divizibili, dar ne permit să considerăm corect o curbă continuă în timp și spațiu ca fiind formată dintr-un număr infinit de secțiuni infinit de mici.
• A doua abordare a fost propusă de Cauchy la începutul secolului al XIX-lea . Analiza sa este construită pe numere reale obișnuite , iar conceptul de limită este folosit pentru a analiza dependențe continue . Newton , D'Alembert și Lagrange au susținut o opinie similară cu privire la justificarea analizei , deși nu au fost întotdeauna consecvenți în această opinie.

Ambele abordări sunt practic echivalente, dar din punct de vedere al fizicii, prima este mai convenabilă; Manualele de fizică conțin adesea expresii precum „să fie dV  un volum infinitezimal...”. Pe de altă parte, întrebarea care dintre abordări este mai aproape de realitatea fizică nu a fost rezolvată. În prima abordare, nu este clar ce numere infinitezimale corespund în natură. În al doilea caz, adecvarea modelului fizic și matematic este împiedicată de faptul că operația de trecere la limită este o tehnică instrumentală de cercetare care nu are analog natural. În special, este dificil să vorbim despre adecvarea fizică a serii infinite, ale căror elemente se referă la intervale arbitrar mici de spațiu și timp (deși astfel de modele sunt adesea și cu succes folosite ca model aproximativ al realității) [5] [46 ]. ] . În cele din urmă, nu s-a dovedit că timpul și spațiul sunt aranjate în vreun fel similar structurilor matematice ale numerelor reale sau hiperreale [40] .

O complexitate suplimentară a fost introdusă în întrebare de mecanica cuantică , care a arătat că rolul discretității este mult crescut în microlume. Astfel, discuțiile despre structura spațiului, timpului și mișcării, inițiate de Zenon, sunt activ în derulare și departe de a fi încheiate.

Alte aporii ale lui Zenon

Aporii de mai sus (cele mai faimoase) ale lui Zenon priveau aplicarea conceptului de infinit la mișcare, spațiu și timp. În alte aporii, Zenon demonstrează alte aspecte, mai generale, ale infinitului. Totuși, spre deosebire de cele trei celebre aporii despre mișcarea fizică, alte aporii sunt mai puțin clar formulate și privesc în principal aspecte pur matematice sau filozofice generale. Odată cu apariția teoriei matematice a mulțimilor infinite , interesul pentru ele a scăzut semnificativ.

Stadion

Aporia „Stadionul” (sau „Rundele”) din Aristotel („Fizica”, Z, 9) nu este foarte clar formulat:

Al patrulea [argument] este despre corpuri egale care se deplasează în jurul stadionului în direcții opuse paralele cu [corpuri] egale; unii [deplasându-se] de la capătul etapei, alţii de la mijloc cu viteză egală, de unde, după cum crede el, rezultă că jumătate din timp este dublu.

Cercetătorii au oferit diferite interpretări ale acestei aporii. L. V. Blinnikov a formulat-o astfel [47] :

S. A. Yanovskaya oferă o interpretare diferită bazată pe premise atomiste [48] :

Lăsați timpul să fie format din atomi extinși indivizibili. Să ne imaginăm doi alergători la capete opuse ale cursei, atât de repede încât fiecare dintre ei are nevoie doar de un atom de timp pentru a alerga de la un capăt la altul al cursei. Și lăsați-le pe ambele să se scurgă în același timp din capete opuse. Când se întâlnesc, atomul indivizibil al timpului va fi împărțit în jumătate, adică corpurile nu se pot deplasa în atomii timpului, așa cum se presupunea în aporia „Săgeată”.

Potrivit altor interpretări, ideea acestei aporii este similară cu paradoxul lui Galileo sau „roata lui Aristotel” : un set infinit poate fi echivalent cu partea sa [49] .

Pluralitatea

O parte din aporii este dedicată discuției despre chestiunea unității și pluralității lumii [17] .

Întrebări similare sunt discutate în dialogul lui Platon Parmenide [50] , unde Zenon și Parmenide își explică în detaliu poziția. În limbajul modern, acest raționament al lui Zenon înseamnă [17] că ființa multiplă nu poate fi de fapt infinită și, prin urmare, trebuie să fie finită, dar lucruri noi pot fi întotdeauna adăugate lucrurilor existente, ceea ce contrazice finitudinea. Concluzie: a fi nu poate fi plural.

Comentatorii acordă atenție faptului că această aporie, în schema ei, amintește extrem de antinomiile teoriei mulțimilor descoperite la cumpăna dintre secolele XIX - XX [17] [51] , în special paradoxul lui Cantor : pe de o parte, cardinalitatea mulțimii tuturor mulțimilor este mai mare decât cardinalitatea oricărei alte mulțimi, dar, pe de altă parte, pentru orice mulțime nu este dificil să specificați o mulțime de cardinalitate mai mare ( teorema lui Cantor ). Această contradicție, destul de în spiritul aporiei lui Zenon, este rezolvată fără ambiguitate: abstractizarea mulțimii tuturor mulțimilor este recunoscută ca inacceptabilă și inexistentă ca concept științific.

Măsură

Simplicius descrie această aporie după cum urmează [14] .

Cu alte cuvinte, dacă împărțirea unui lucru în jumătate își păstrează calitatea, atunci în limită obținem că lucrul este atât infinit de mare (deoarece este infinit divizibil) și infinit de mic. În plus, nu este clar cum un lucru existent poate avea dimensiuni infinit de mici.

Mai detaliat, aceleași argumente sunt prezente în comentariile lui Philopon [52] . De asemenea, un raționament similar al lui Zenon este citat și criticat de Aristotel în „Metafizica” [53] :

Dacă unul în sine este indivizibil, atunci, după poziția lui Zenon, trebuie să fie nimic. Într-adevăr, dacă adăugarea unui lucru nu-l face mai mare și îndepărtarea lui nu-l micșorează, atunci, spune Zenon, acest ceva nu se referă la existent, crezând în mod clar că existentul este o mărime, și întrucât mărimea, la fel este ceva corporal: la urma urmei, corporal este o ființă în deplină măsură; totuși, alte cantități, cum ar fi planul și linia, dacă sunt adăugate, cresc într-un caz, dar nu în celălalt; punctul și unitatea nu fac asta în niciun fel. Și din moment ce Zenon argumentează grosolan și din moment ce ceva indivizibil poate exista și, mai mult, în așa fel încât să fie protejat într-un fel de raționamentul lui Zenon (căci dacă se adaugă un astfel de indivizibil, chiar nu crește, ci se înmulțește) , atunci se întreabă cum de la un astfel de singur sau mai multe va obține valoarea? A presupune acest lucru este ca și cum ai spune că o linie este alcătuită din puncte.

Despre loc

În prezentarea lui Aristotel, aporia afirmă: dacă tot ceea ce există este plasat într-un spațiu cunoscut ( loc , topos grecesc ), atunci este clar că va exista un spațiu al spațiului, și așa se duce la infinit [54] . Aristotel remarcă la aceasta că un loc nu este un lucru și nu are nevoie de un loc propriu. Această aporie permite o interpretare extinsă, întrucât eleacii nu recunoșteau spațiul separat de corpurile aflate în el, adică identificau materia și spațiul ocupat de aceasta [16] . Deși Aristotel respinge raționamentul lui Zenon, în „Fizica” sa el ajunge în esență la aceeași concluzie ca și eleacii: un loc există doar în raport cu corpurile din el. În același timp, Aristotel trece în tăcere întrebarea firească a modului în care se produce schimbarea locului atunci când un corp se mișcă [55] .

boabe medimne

Formularea lui Zenon a fost criticată, deoarece paradoxul este ușor de explicat prin referire la pragul de percepție a sunetului  - un bob individual nu cade tăcut, ci foarte liniștit, astfel încât sunetul căderii nu se aude. Sensul aporiei este de a demonstra că partea nu este ca întregul (diferită calitativ de acesta) și, prin urmare, divizibilitatea infinită este imposibilă [57] . Paradoxuri similare au fost propuse în secolul al IV-lea î.Hr. e. Eubulide  - paradoxuri „Chel” și „ Hap ”: „un bob nu este o grămadă, adăugarea unui bob nu schimbă lucrurile, cu câte boabe începe o grămadă?”

Semnificația istorică a aporilor lui Zenon

„Zeno a dezvăluit contradicțiile în care se încadrează gândirea atunci când încearcă să înțeleagă infinitul în concepte. Aporii sale sunt primele paradoxuri care au apărut în legătură cu conceptul de infinit . Distincția clară a lui Aristotel între infinitul potențial și actual este în mare măsură rezultatul înțelegerii aporii lui Zenon. Alte merite istorice ale paradoxurilor eleatice:

• „Raționamentul lui Zeno, expus în proză precisă și clară, este primul exemplu de dovezi pur logice din istorie. Acesta este ceea ce determină locul excepțional de important al lui Zenon în istoria științei” [58] . Raționamentul prin analogie și fanteziile poetice, caracteristice filosofilor generației precedente, au fost înlocuite de o logică deductivă strictă.
• Un indiciu clar că înțelegerea noastră a realității (inclusiv matematică) poate fi inadecvată acestei realități [59] ; Ulterior, știința a întâlnit numeroase exemple de validitate a acestei teze.
• Afirmarea faptului că împărțirea continuității în puncte (momente) separate, adică un amestec de continuitate și discretitate, este o contradicție [7] .

După cum sa menționat mai sus, formarea atomismului antic a fost o încercare de a răspunde la întrebările puse de aporii. În viitor, în studiul problemei au fost implicate analiza matematică , teoria mulțimilor , noi abordări fizice și filozofice ; niciuna dintre ele nu a devenit o soluție general acceptată a problemei, dar însuși faptul că interesul continuu și aprins pentru o problemă veche arată fecunditatea ei euristică.

Diferite puncte de contact ale aporii lui Zenon cu știința modernă sunt discutate în articolul lui Zurab Silagadze [46] . La sfârșitul acestui articol, autorul conchide:

Problemele puse în urmă cu două milenii și jumătate și de atunci studiate în mod repetat nu au fost încă epuizate. Paradoxurile lui Zenon ating aspectele fundamentale ale realității - localizare, mișcare, spațiu și timp. Din când în când, fațete noi și neașteptate ale acestor concepte sunt descoperite și fiecare secol consideră că este util să se întoarcă iar și iar la Zenon. Procesul de a ajunge la rezoluția lor finală pare a fi nesfârșit, iar înțelegerea noastră despre lumea din jurul nostru este încă incompletă și fragmentată.

Aporii lui Zenon în literatură și artă

A. S. Pușkin a dedicat poemul „Mișcarea” ( 1825 ) paradoxurilor lui Zenon [60] .

În această anecdotă istorică, „înțeleptul cu barbă” este un susținător al lui Zenon (comentatorul Elius, după cum s-a menționat mai sus, a atribuit argumentul lui Zenon însuși [3] ), iar adversarul său în diferite versiuni ale anecdotei este Diogene sau Antisthenes (ambele dintre ei au trăit mult mai târziu decât Zenon, așa că nu se putea certa cu el). O versiune a anecdotei, menționată de Hegel , spune că atunci când Eleatus a recunoscut argumentul lui Diogene ca fiind convingător, Diogene l-a bătut cu un băț pentru că s-a bazat prea mult pe dovezi [61] .

Lewis Carroll a scris un dialog de puzzle logic intitulat „Ce i-a spus țestoasa lui Ahile?” [62] .

Lev Tolstoi în cel de-al treilea volum al epicului „ Război și pace ” (începutul părții a 3-a) povestește paradoxul despre Ahile și broasca țestoasă și oferă propria sa interpretare: nu poți împărți mișcarea continuă în „unități separate”, în schimb ai nevoie de să folosească aparatul de „cantități infinit de mici” sumabile. Mai mult, Tolstoi notează: „în căutarea legilor mișcării istorice, se întâmplă exact același lucru” și critică încercările de a considera cursul continuu al istoriei ca având loc la arbitrariul unor personalități istorice influente individuale sau de a reduce istoria la majoritate individuală. evenimente istorice.

Paul Valéry în poezia sa „Cimitirul de lângă mare” ( Le Cimetiere Marin , 1920) a scris [63] :

Intriga poveștii fantastice a lui F. Dick „Despre broasca neobosită” se bazează pe aporia „Dichotomie”.

Aporia despre Ahile este menționată în mod repetat în lucrările lui Borges . Situaţia paradoxală descrisă în ea a fost reflectată şi în diverse lucrări umoristice . Takeshi Kitano a regizat Achilles and the Tortoise în 2008 .

Vezi și

• Antinomie
• Efect cuantic Zeno
• Mașină Zeno
• Paradoxul mormanului

Note

1. ↑ Istoria matematicii, 1970 , p. 90.
2. ↑ 1 2 3 Makovelsky A. O., 1999 , partea 14.
3. ↑ 1 2 Fragmente ale filosofilor greci timpurii, 1989 , p. 302.
4. ↑ Komarova, 1988 , p. 15-16.
5. ↑ 1 2 3 Yanovskaya S. A., 1963 , p. 116-118.
6. ↑ Ivin A. A. Conform legilor logicii . - M . : Gardă tânără, 1983. - 208 p. - ( "Eureka" ). Copie arhivată (link indisponibil) . Preluat la 7 martie 2010. Arhivat din original la 19 noiembrie 2007. (nedefinit) 
7. ↑ 1 2 Rozhansky I. D. Știința antică. - M. : Nauka, 1980. - S. 52. - 198 p. — (Istoria științei și tehnologiei).
8. ↑ 1 2 Marea Enciclopedie Sovietică // Aporia. - Ed. a II-a. - T. 2.
9. ↑ A. V. Lebedev. Parmenide  // Noua Enciclopedie Filosofică  : în 4 volume  / prev. științific-ed. sfatul lui V. S. Stepin . — Ed. a II-a, corectată. si suplimentare - M .  : Gândirea , 2010. - 2816 p.
10. ↑ A. V. Lebedev. Şcoala Eleatică  // Noua Enciclopedie Filosofică  : în 4 volume  / prev. științific-ed. sfatul lui V. S. Stepin . — Ed. a II-a, corectată. si suplimentare - M .  : Gândirea , 2010. - 2816 p.
11. ↑ 1 2 Rozhansky I. D. Filosofia greacă timpurie // Fragmente ale filozofilor greci timpurii
12. ↑ Makovelsky A. O., 1999 , partea 16.
13. ↑ Losev A.F. Zenon din Elea // Philosophical Encyclopedia . - M . : Enciclopedia Sovietică, 1962. - T. 2.
14. ↑ 1 2 3 Gaidenko P.P., 1980 .
15. ↑ Şcoala Asmus V.F. Elean // Filosofie antică. - M . : Şcoala superioară, 2005. - 408 p. — ISBN 5-06-003049-0 .
16. ↑ 1 2 3 4 5 6 Makovelsky A. O., 1999 , partea 15.
17. ↑ 1 2 3 4 5 Aporia lui Zeno (Enciclopedia filozofică), 1962 .
18. ↑ Zeno din Elea // Stanford Encyclopedia of Philosophy.
19. ↑ Komarova, 1988 , p. 50-52.
20. ↑ Diogenes Laertes. Viața, învățăturile și spusele unor filosofi celebri, capitolul „Pitagora” .
21. ↑ Kuznețov B. G., 1961 , p. 18-20.
22. ↑ Komarova, 1988 , p. 21.
23. ↑ „Fizica” de Aristotel.
24. ↑ Komarova, 1988 , p. 29-30.
25. ↑ Kuznețov B. G., 1961 , p. 38.
26. ↑ Lurie S. Eseuri din istoria științei antice. — M. — L .: Ed. AN SSSR, 1947. - S. 181. - 403 p.
27. ↑ Komarova, 1988 , p. 31-35.
28. ↑ Komarova, 1988 , p. 35-41.
29. ↑ Hegel G. V. F. Lucrări în 14 voi. - M . : Sotsekgiz, 1959. - T. IX. - S. 244.
30. ↑ Tannery P. Primii pași ai științei grecești antice. - Sankt Petersburg. , 1902.
31. ↑ Papa-Grimaldi, Alba. De ce soluțiile matematice ale paradoxurilor lui Zenon pierd ideea: relația unu și mulți a lui Zenon și interzicerea lui Parmenide . Recenzia metafizicii . Preluat la 17 august 2011. Arhivat din original la 28 august 2011. (nedefinit)
32. ↑ Hilbert D., Bernays P. Foundations of mathematics. Calcul logic și formalizarea aritmeticii. - M. , 1979. - S. 40.
33. ↑ Courant R, Robbins G. Ce este matematica . - Ed. a 3-a. - M. : MTSNMO, 2001. - S. 353. - 568 p. - ISBN 5-900916-45-6 .
34. ↑ Istoria matematicii, 1970 , p. 93.
35. ↑ Citat. Citat din: Danzig, Tobias. Numerele sunt limbajul științei . - M . : Technosfera, 2008. - S.  111 . - ISBN 978-5-94836-172-7 .
36. ↑ Nicolas Bourbaki . Arhitectura matematicii. Eseuri despre istoria matematicii. - M . : Literatură străină, 1963. - P. 38.
37. ↑ van Bendegem, Jean Paul. Discuție: Paradoxurile lui Zeno și argumentul țiglă  // Filosofia științei. - Belgia, 1987. - T. 54 . - S. 295-302 .
38. ↑ Feynman R. Natura legilor fizice . - Ed. al 2-lea. - M . : Nauka, 1987. - S.  152 -153. — 160 s. - (Bibl. Quantum, numărul 62).
39. ↑ Kuznetsov B. G. Einstein. Viaţă. Moarte. Nemurire. - Ed. a 5-a, revizuită. si suplimentare - M . : Nauka, 1980. - S. 368-374.
40. ↑ 1 2 Vekshenov, 2008 .
41. ↑ Shiraishi, 1954 .
42. ↑ Kline M. Matematică. Pierderea certitudinii . - M . : Mir, 1984. - S. 401-402. Copie arhivată (link indisponibil) . Data accesului: 15 martie 2010. Arhivat din original la 12 februarie 2007. (nedefinit) 
43. ↑ Dragalin A. G. Antinomie // Dicţionar Enciclopedic Matematic. - M . : Enciclopedia Sovietică, 1988. - S. 73-75. — 847 p.
44. ↑ Uspensky V. A. Ce este analiza non-standard. — M .: Nauka, 1987.
45. ↑ Gaidenko P.P. Conceptul de timp și problema continuumului . Preluat: 10 ianuarie 2011. (nedefinit)
46. ↑ 1 2 Silagadze , ZK Zeno întâlnește știința modernă  . Consultat la 30 decembrie 2010. Arhivat din original la 14 august 2011.
47. ↑ Blinnikov L.V. Brief Dictionary of Philosophical Personalities . Preluat: 30 aprilie 2010. (nedefinit)
48. ↑ Yanovskaya S. A., 1963 , p. 127.
49. ↑ Bogomolov S. A. Actual infinity (Zeno din Elea, Is. Newton, G. Kantor). - L.-M.: ONTI, 1934. - S. 53. - 78 p.
50. ↑ Parmenide, 1968-1972 .
51. ↑ Paradoxurile lui Zeno , Stanford Encyclopedia of Philosophy.
52. ↑ Zenon din Elea . - Enciclopedia în jurul lumii. Consultat la 30 decembrie 2010. Arhivat din original la 14 august 2011. (nedefinit)
53. ↑ Aristotel. Metafizica , Cartea I, Capitolul IV.
54. ↑ Aristotel. Fizica, IV, 1, 209a.
55. ↑ Komarova, 1988 , p. 124-129.
56. ↑ Ivin A. A. Logic. Tutorial, capitolul 7 .
57. ↑ Komarova, 1988 , p. 122-124.
58. ↑ Fragmente din filozofii greci timpurii, 1989 , p. 27.
59. ↑ Istoria matematicii, 1970 , p. 89.
60. ↑ MIȘCARE.
61. ↑ Kuznețov B. G., 1961 , p. 19.
62. ↑ Carroll, Lewis. Invenție în două părți sau ceea ce țestoasa i-a spus lui Ahile // Cunoașterea este putere .  - 1991. - Nr 9. - S. 6-12.
63. ↑ Valerie, Paul. Cimitir pe malul mării.

Literatură

Autorii antici

• Filosofii antici despre Zenon . Preluat: 21 decembrie 2010. (nedefinit)
• Aristotel. Fizica . — În colecția: Filozofii Greciei. Fundamentele fundamentale: logica, fizica, etica. - Harkov: EKSMO, 1999. - 1056 p. - ISBN 5-04-003348-6 .
• Platon. Parmenide . - În colecția: Platon, Opere în trei volume. - M . : Gândirea, 1968-1972. — ( Moștenirea filozofică ).
• Fragmente ale filosofilor greci timpurii. Partea I. De la teocosmogonii epice la ascensiunea atomismului . — M .: Nauka, 1989. — 576 p. Arhivat pe 23 decembrie 2008 la Wayback Machine

Cărți ale autorilor contemporani

• Asmus VF Istoria filosofiei antice. - M . : Liceu, 1965. - S. 40-45.
• Gaidenko P. P. Evoluția conceptului de știință (formarea și dezvoltarea primelor programe științifice). Capitolul „ȘCOALA ELEAAN ȘI PRIMA DECLARAȚIE A PROBLEMEI INFINITULUI” și nu numai . - M . : Nauka, 1980. Copie de arhivă din 21 decembrie 2016 la Wayback Machine
• Istoria matematicii / Editat de A. P. Yushkevich , în trei volume. - M . : Nauka, 1970. - T. I. - S. 88-93.
• Komarova V. Ya. Învățăturile lui Zenon din Elea: o încercare de a reconstrui sistemul de argumente // Buletinul Universității de Stat din Leningrad. - L. , 1988.
• Kuznetsov BG Istoria filozofiei pentru fizicieni și matematicieni. — M .: Nauka , 1974. — 352 p. — (Istoria culturii mondiale). — 20.000 de exemplare.
• Kuznetsov B.G. Evoluția imaginii lumii. - Ed. I. (ediția a II-a: URSS, 2010). - M . : Editura Academiei de Științe a URSS, 1961. - 352 p. — (Din moștenirea gândirii filozofice mondiale: filosofia științei). - ISBN 978-5-397-01479-3 .
• Makovelsky A. O. Presocratici . În 3 volume . - Minsk: Harvest, 1999. - 784 p. — (Gândire filozofică clasică).
• Smorodinov R. A. Filosofia îndoielii consistente. - Volgograd: Print, 2006. - S. 41-68.
• Grünbaum A. Știința modernă și paradoxurile lui Zenon. - Allen & Unwin, 1968. - 153 p. — ISBN 978-0045130047 .
• Guenon R. Les Principes du Calcul infinitezimal. - Gallimard, 1946 și numeroase retipăriri.  — „Principii de calcul al infinitezimale”.
• Salmon WC (editor). Paradoxurile lui Zenon. — Ed. a II-a. — Indianapolis: Hackett Publishing Co. Inc., 2001. - 320 p. - ISBN 978-0872205604 .

Scurtă bibliografie a articolelor științifice cu analiza aporii

Literatura este listată în ordine cronologică.

• Paradoxul lui Svatkovsky V.P. Zeno despre o săgeată zburătoare // Jurnalul Ministerului Educației Naționale . - 1888. - Nr 4 dep. 5 . - S. 203-239 .
• Khersonsky N. Kh. La originile teoriei cunoașterii. Referitor la argumentele lui Zeno împotriva mișcării // Jurnalul Ministerului Educației Naționale. - 1911. - Nr XXXIV (august) dep. 2 . - S. 207-221 .
• Bolzano B. Paradoxurile infinitului . - Odesa, 1911.
• Bogomolov S. A. Argumentele lui Zenon din Elea în lumina doctrinei infinitului actual // Jurnalul Ministerului Educaţiei Naţionale. - 1915, serie nouă. - Nr. LVI (aprilie) . - S. 289-328 .
• Dmitriev G. Încă o dată despre paradoxul lui Zenon „Achile și broasca țestoasă” și confuzia lui V. Friedman // Sub steagul marxismului. - 1928. - Nr 4 .
• Bogomolov S.A. Infinitul actual: Zeno din Elea, Isaac Newton și Georg Kantor. - L.-M., 1934.
• Yanovskaya S. A. Aporia lui Zeno // Enciclopedia filozofică . - M . : Enciclopedia Sovietică, 1962. - T. 2.
• Yanovskaya S.A. A depășit știința modernă dificultățile cunoscute sub numele de „aporii lui Zeno”? // Probleme de logică. - M. , 1963. - S. 116-136 .
• Bogomolov A.S. „Săgeata zburătoare” și legea contradicției // Științe filozofice. - 1964. - Nr 6 .
• Narsky I.S. La întrebarea reflectării dialecticii mișcării în concepte: (încă o dată despre paradoxul „Săgeată zburătoare”) // Logica formală și metodologia științei. - M. , 1964. - S. 3-51 .
• Tsekhmistro I. Z. Aporia lui Zenon prin ochii secolului XX  // Questions of Philosophy. - 1966. - Nr 3 . (Rusă)
• Aporii lui Panchenko AI Zeno și filosofia modernă  // Questions of Philosophy. - 1971. - Nr 7 . (Rusă)
• Maneev A. K. Analiza filozofică a aporielor lui Zenon. - Minsk, 1972.
• Kuznetsov G. A. Continuitatea și paradoxurile lui Zeno „Achile” și „Dihotomie” // Teoria inferenței logice. — M .: Nauka, 1973.
• Aporii lui Smolenov H. Zeno ca euristică a atomismului și dialecticii // Analiza logică și metodologică a cunoștințelor științifice. - M. , 1979. - S. 76-90.
• Shirokov V.S. Jean Buridan despre aporii lui Zenon // Științe filozofice. - 1982. - Nr 4 . - S. 94-101 .
• Koire A. Note despre paradoxurile lui Zenon // Eseuri de istoria gândirii filozofice. Asupra influenței conceptelor filozofice asupra dezvoltării teoriilor științifice. — M .: Progres, 1985.
• Solodukhina A. O. Aidukevich a rezolvat aporia lui Zenon „Săgeată”? // Conferința științifică „Logica modernă: probleme de teorie, istorie și aplicare în știință”. - Sankt Petersburg. , 1996.
• Aporii lui Anisov A. M. Zeno și problema mișcării // Lucrările seminarului de cercetare al Centrului logic al Institutului de Fizică al Academiei Ruse de Științe, vol. XIV . - M. , 2000. - S. 139-155.
• Smirnov A. V. Fundamentele raționalității sunt comparabile în diferite tradiții filozofice? Studiu comparativ al aporii și învățăturilor zenoniene ale kalamului timpuriu // Filosofie comparată. - M. , 2000. - S. 167-212.
• Vilesov Yu. V. Aporii lui Zeno și relația de incertitudine a lui Heisenberg  // Buletinul Universității de Stat din Moscova, seria 7 (filozofie). - M. , 2002. - Nr. 6 . - S. 20-28 . Arhivat din original pe 9 noiembrie 2019.
• Vekshenov S. A. Matematica și fizica continuumului spațiu-timp  // Fundamentele fizicii și geometriei. - M . : Editura Universității Ruse de Prietenia Popoarelor, 2008. - S. 89-118 . Arhivat din original pe 13 mai 2012.

• Shiraishi, Sadeo. Structura continuității experiențelor psihologice și a lumii fizice // Știința gândirii. - Tokyo, 1954. - Nr. 1 . - P. 12-24.
• Chambers, Connor J. Zeno din Elea și teza neglijată a lui Bergson // Journal of the History of Philosophy. - 1974. - Vol. 12, nr. 1 (ianuarie) . - P. 63-76.
• Vlastos GA Mărturia lui Platon despre Zenon din Elea // Journal of the History of Ideas (New York. - 1975. - Vol. XLV. - P. 136-162.
• Vlastos GA O notă a săgeții lui Zeno // Phronesis. - 1996. - Vol. XI. - P. 3-18.
• Smirnov A. Corespund fundamentele raționalității în diferite tradiții filozofice? Un studiu comparat al paradoxurilor și învățăturilor lui Zeno de la începutul Kalām // Islamul - Dialogul filosofic occidental: lucrările prezentate la Congresul mondial despre Mulla Sadra (1999). - Teheran: Sadra Islamic Philosophy Research Institute, 2004. - P. 109-120.

Link -uri

• Silogism chel // Micul Dicționar Enciclopedic al lui Brockhaus și Efron  : în 4 volume - Sankt Petersburg. , 1907-1909.
• Aporia lui Zenon . la warrax.net. Preluat: 21 decembrie 2010. (nedefinit)
• Zenon din Elea . - Enciclopedia în jurul lumii. Consultat la 30 decembrie 2010. Arhivat din original la 14 august 2011. (nedefinit)
• Khazarzar, Ruslan. Aporia lui Zenon . Preluat: 21 decembrie 2010. (nedefinit)
• Dowden, Bradley. Paradoxurile  lui Zenon . — Enciclopedia Internet de Filosofie. Consultat la 21 decembrie 2010. Arhivat din original la 14 august 2011.
• Huggett, Nick. Paradoxurile  lui Zenon . — Enciclopedia Stanford de Filosofie. Consultat la 30 decembrie 2010. Arhivat din original la 14 august 2011.
• Silagadze ZK Zeno întâlnește știința modernă  (engleză) . Consultat la 30 decembrie 2010. Arhivat din original la 14 august 2011.

Dicționare și enciclopedii	Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	BNF : 12135409n SUDOC : 029806550