Formalism post-newtonian parametrizat

Formalismul post-newtonian parametrizat ( formalismul PPN ) este o versiune a formalismului post-newtonian aplicabil nu numai relativității generale , ci și altor teorii metrice ale gravitației , atunci când mișcările corpurilor satisfac principiul de echivalență al lui Einstein . În această abordare, toate dependențele posibile ale câmpului gravitațional de distribuția materiei sunt scrise în mod explicit până la ordinea corespunzătoare a pătratului invers al vitezei luminii (mai precis, viteza gravitației, în timp ce de obicei este limitată la primul ordin). ) iar expresia cea mai generală este compilată pentru rezolvarea ecuațiilor câmpului gravitațional și a mișcării materiei. În același timp, diferite teorii ale gravitației prezic valori diferite ale coeficienților - așa-numiții parametri PLT - în termeni generali. Acest lucru duce la efecte potențial observabile, restricțiile experimentale ale căror amploare conduc la restricții asupra parametrilor PNP și, în consecință, la restricții asupra teoriei gravitației care le prezice. Se poate spune că parametrii PPN descriu diferențele dintre teoria gravitațională newtoniană și cea descrisă. Formalismul PPN este aplicabil atunci când câmpurile gravitaționale sunt slabe, iar vitezele de mișcare ale corpurilor care le formează sunt mici în comparație cu viteza luminii (mai precis, viteza gravitației) - exemple canonice de aplicare sunt mișcarea sistemului solar și sisteme de pulsari dubli . [1] [2] $c^{{-2}}$

Istorie

Prima parametrizare a aproximării post-newtoniene îi aparține lui Eddington (Eddington, 1922 [3] ). A luat în considerare, însă, doar câmpul gravitațional în vid în jurul unui corp static sferic simetric [4] . Nordtvedt (Nordtvedt, 1968 [5] , 1969 [6] ) a extins formalismul la 7 parametri, iar Will (1971 [7] ) a introdus în el descrierea corpurilor cerești ca distribuții extinse ale tensorului energie-impuls [ 4] .

Cele mai frecvent utilizate versiuni ale formalismului descris mai jos se bazează pe lucrările lui Ni (Ni, 1972 [8] ), Will și Nordtvedt (Will & Nordtvedt, 1972 [9] ), Misner , Thorn și Wheeler Gravity [ 10] și Will [1] [2] și au 10 parametri.

Notație beta-delta

Zece parametri post-newtonieni (parametri PPN) caracterizează complet comportamentul marii majorități a teoriilor metrice ale gravitației în limita unui câmp slab [11] . Formalismul PPN sa dovedit a fi un instrument valoros pentru testarea relativității generale [12] . În notația lui Will (Will, 1971 [7] ), Ni (Ni, 1972 [8] ) și Misner, Thorne și Wheeler (Misner și colab., 1973 [10] ), parametrii PPN au următoarea semnificație convențională [ 13] :

$\gamma$	Cât de puternică este curbura spațială generată de o unitate de masă în repaus? $g_{ij}$
$\beta$	Cât de mare este neliniaritatea în adăugarea câmpurilor gravitaționale? $g_{{00}}$
$\beta_{1}$	Câtă gravitație este produsă de o unitate de energie cinetică ? $g_{{00}}$ $\textstyle\frac12\rho_0v^2$
$\beta _{2}$	Câtă gravitație este produsă de o unitate de energie potențială gravitațională ? $g_{{00}}$ $\rho_0/U$
$\beta_3$	Cât de multă gravitație este produsă de o unitate de energie internă a corpului ? $g_{{00}}$ $\rho_0\Pi$
$\beta_4$	Câtă gravitație este produsă de o unitate de presiune ? $g_{{00}}$ $p$
$\zeta$	Diferența dintre manifestarea energiei cinetice radiale și transversale în gravitație în $g_{{00}}$
$\eta$	Diferența dintre manifestarea tensiunilor radiale și transversale în gravitație în $g_{{00}}$
$\Delta_1$	Câtă rezistență în cadrele de referință inerțiale este produsă de o unitate de impuls ? $g_{0j}$ $\rho_0v$
$\Delta_2$	Diferența dintre gradul de rezistență al cadrelor de referință inerțiale în direcția radială și transversală

$g_{\mu \nu }$ este un tensor metric simetric 4 pe 4, iar indicii spațiali și variază de la 1 la 3. $i$ $j$

În teoria lui Einstein, acești parametri corespund faptului că (1) gravitația newtoniană este restabilită pentru viteze mici de mișcare a corpurilor și a maselor lor, (2) legile conservării energiei, masei, momentului și momentului unghiular sunt îndeplinite și (3) ecuațiile teoriei nu depind de cadrul de referință. Într-o astfel de notație, teoria generală a relativității are parametrii PPN

\gamma=\beta=\beta_1=\beta_2=\beta_3=\beta_4=\Delta_1=\Delta_2=1

și [13] .

\zeta =\eta =0

Notație alfa-zeta

O versiune mai modernă (Will & Nordtvedt, 1972 [9] ), folosită și de Will (1981 [2] , 2014 [1] ), folosește un set echivalent diferit de 10 parametri PST.

\gamma=\gamma

\beta=\beta

\alpha_1=7\Delta_1+\Delta_2-4\gamma-4

\alpha_2=\Delta_2+\zeta-1

\alpha_3=4\beta_1-2\gamma-2-\zeta

\zeta_1=\zeta

\zeta_2=2\beta+2\beta_2-3\gamma-1

\zeta_3=\beta_3-1

\zeta_4=\beta_4-\gamma

\xi

se obtine din .

3\eta=12\beta-3\gamma-9+10\xi-3\alpha_1+2\alpha_2-2\zeta_1-\zeta_2

Semnificația parametrilor , și în același timp - gradul de manifestare a efectelor cadrului de referință preferat ( eter ) [14] . , , , și măsurați gradul de încălcare a legilor conservării energiei, momentului și momentului unghiular [15] . $\alpha_{1}$ $\alpha_2$ $\alpha _{3}$ $\zeta_{1}$ $\zeta _{2}$ $\zeta _{3}$ $\zeta _{4}$ $\alpha _{3}$

În aceste notații PPN, parametrii GR sunt

\gamma=\beta=1

și [16] .

\alpha _{1}=\alpha _{2}=\alpha _{3}=\zeta _{1}=\zeta _{2}=\zeta _{3}=\zeta _{4 }=\xi=0

Tipul de măsură alfa-zeta a variantei:

\begin{matrix}g_{00} = -1+2U-2\beta U^2-2\xi\Phi_W+(2\gamma+2+\alpha_3+\zeta_1-2\xi)\Phi_1 +2(3\ gamma-2\beta+1+\zeta_2+\xi)\Phi_2 \\ \ +2(1+\zeta_3)\Phi_3+2(3\gamma+3\zeta_4-2\xi)\Phi_4-(\zeta_1- 2\xi)A-(\alpha_1-\alpha_2-\alpha_3)w^2U \\ \ -\alpha_2w^iw^jU_{ij}+(2\alpha_3-\alpha_1)w^iV_i+O(\varepsilon^ 3) \end{matrice}

g_{0i}=-\textstyle\frac12(4\gamma+3+\alpha_1-\alpha_2+\zeta_1-2\eta)V_i-\textstyle\frac12(1+\alpha_2-\zeta_1+2\xi)W_i - \textstyle\frac12(\alpha_1-2\alpha_2)w^iU-\alpha_2w^jU_{ij}+O(\varepsilon^{\frac52})\;,

g_{ij}=(1+2\gamma U)\delta _{ij}+O(\varepsilon ^{2})\;

unde se presupune sumarea peste indici repeți, este definită ca valoarea maximă a potențialului newtonian din sistem , pătratul vitezei materiei sau cantități similare (toate au același ordin de mărime), este viteza coordonatei PPN-ul sistemului relativ la cadrul de repaus selectat, este pătratul acestei viteze, iar dacă și în caz contrar, simbolul Kronecker [17] . $\varepsilon^2$ $U$ $w^i$ $w^2=w^iw^j\delta_{ij}$ $\delta_{ij}=1$ $i=j$ $0$

Există doar zece potențiale metrice simple: , , , , , , , , și [18] , cât sunt parametrii PPN, ceea ce garantează unicitatea soluției PNP pentru fiecare teorie a gravitației [17] . Forma acestor potențiale seamănă cu potențialul gravitațional al teoriei newtoniene - ele sunt egale cu anumite integrale pe distribuția materiei, de exemplu [18] , $U$ $U_{ij}$ $\Phi_W$ $A$ $\Phi _{1}$ $\Phi _{2}$ $\Phi_3$ $\Phi_4$ $V_i$ $W_i$

U(\mathbf{x},t)=\int{\rho_0\over|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}d^3x'.

Pentru o listă completă a definițiilor potențialelor metrice, a se vedea Misner, Thorn, Wheeler (Misner și colab., 1973 [19] ), Will (1981 [18] , 2014 [20] ) și alții.

Procedura de derivare a parametrilor PPN din teoria gravitatiei

Exemple de analiză pot fi găsite în Will, 1981 [2] . Procesul constă din nouă etape [21] :

Pasul 1: Definirea variabilelor: (a) variabile gravitaționale dinamice, cum ar fi metric , scalar gravitațional , câmp vectorial și/sau tensor etc.; (b) variabilele de geometrie preferate, cum ar fi metrica de fond plat , timpul cosmologic etc.; (c) variabile ale câmpurilor materiale (negravitaționale). $g_{\mu \nu }$ $\phi$ $K_{\mu }$ $B_{\mu \nu )$ $\eta _{{\mu \nu ))$ $t$

Pasul 2: Stabilirea condițiilor cosmologice la limită: presupunând un univers Friedmann (omogen și izotrop), introducem coordonate izotrope în cadrul de repaus al Universului (nu este întotdeauna necesară o soluție cosmologică completă pentru aceasta). Câmpurile cosmologice de fond obținute se numesc , , , . $g_{\mu \nu }^{(0)}={\mbox{diag}}(-c_{0},c_{1},c_{1},c_{1})$ $\phi _{0}$ $K_{\mu }^{(0))$ $B_{\mu \nu }^{(0))$

Pasul 3: Introducem noi variabile , iar dacă este necesar, de asemenea , , . $h_{\mu \nu }=g_{\mu \nu }-g_{\mu \nu }^{(0))$ $\phi -\phi _{0)$ $K_{\mu }-K_{\mu }^{(0))$ $B_{\mu \nu }-B_{\mu \nu }^{(0))$

Pasul 4: Înlocuim expresiile obținute și tensorul energie-impuls al materiei (de obicei un fluid ideal) în ecuațiile câmpului gravitațional și aruncăm termeni de ordin prea înalt și pentru alte variabile gravitaționale dinamice. $h_{\mu \nu )$

Pasul 5: Rezolvați ecuații pentru până la . Presupunând că această cantitate tinde spre zero departe de sistem , obținem forma Metrica newtoniană are forma , , . Să trecem la unitățile în care „constanta” gravitațională, măsurată acum departe de materia gravitativă, este egală cu unu . $h_{00)$ $O(2)$ $h_{00}=2\alpha U$ $U$ $\alfa$ $G$ $g_{00}=-c_{0}+2\alpha U$ $g_{0j}=0$ $g_{ij}=\delta _{ij}c_{1)$ $G_{\mbox{azi}}=\alpha /c_{0}c_{1}=1$

Pasul 6: Din versiunea liniarizată a ecuațiilor de câmp, obținem până la și până la . $h_{ij)$ $O(2)$ $h_{0j)$ $O(3)$

Pasul 7: Găsiți până la . Aceasta este etapa cea mai dificilă, deoarece ecuațiile de aici devin neliniare. Tensorul energie-impuls trebuie, de asemenea, extins la ordinea dorită. $h_{00)$ $O(4)$

Pasul 8: Treceți la calibrarea DPL standard.

Pasul 9: Comparând metrica rezultată cu expresia PST cunoscută, determinați parametrii PST ai teoriei. $g_{\mu \nu }$

Comparația teoriilor gravitației

Un tabel care prezintă parametrii PNP ai 23 de teorii ale gravitației se găsește în articolul „ Teorii alternative ale gravitației ”.

Majoritatea teoriilor metrice pot fi împărțite în mai multe categorii. Teoriile scalare ale gravitației includ teorii conform plane și teorii stratificate cu secțiuni spațiale strict ortogonale cu direcția timpului.

În teoriile conform plate, cum ar fi teoriile Nordström , metrica este egală cu și, prin urmare , , ceea ce este absolut incompatibil cu observațiile. În teoriile stratificate, cum ar fi teoria Yilmaz , metrica este și, prin urmare, , ceea ce contrazice din nou observațiile. $\mathbf {g} =f{\boldsymbol {\eta })$ $\gamma =-1$ $\mathbf {g} =f_{1}\mathbf {d} t\otimes \mathbf {d} t+f_{2}{\boldsymbol {\eta ))$ $\alpha _{1}=-4(\gamma +1)$

O altă clasă de teorii sunt teoriile cvasi-liniare de tip Whitehead . Pentru ei . Deoarece amplitudinile relative ale armonicilor mareelor pământului depind de și , măsurătorile lor fac posibilă respingerea tuturor acestor teorii, excluzând o valoare atât de mare de . $\xi =\beta$ $\xi$ $\alpha_2$ $\xi$

O altă clasă de teorii este teoriile bimetrice . Pentru ei nu este egal cu 0. Din datele de precesiune a axei de spin pentru pulsarii în milisecunde știm că , iar acest lucru respinge efectiv teoriile bimetrice. $\alpha_2$ $|\alpha _{2}|<2\cdot 10^{-9)$

Urmează teoriile scalar-tensorilor , de exemplu, teoria Brans-Dicke . Pentru astfel de teorii în prima aproximare . Limita dă un foarte mic , care caracterizează gradul de interacțiune gravitațională „scalară”, iar pe măsură ce datele experimentale sunt rafinate, limita pentru tot continuă să crească, astfel încât astfel de teorii devin din ce în ce mai puțin probabile. $\gamma =\textstyle {\frac {1+\omega }{2+\omega }}$ $\gamma -1<2,3\times 10^{-5)$ $1/\omega$ $\omega$

Ultima clasă de teorii este teoriile vector-tensorilor . Pentru ei, „constantea” gravitațională se modifică în timp și nu este egală cu 0. Distingerea cu laser a Lunii limitează sever variația „constantei” gravitaționale și , așa că nici aceste teorii nu par de încredere. $\alpha_2$ $|\alpha _{2}|<2\cdot 10^{-9)$

Unele teorii metrice nu se încadrează în categoriile de mai sus, dar au probleme similare.

Limite experimentale ale parametrilor PPN

Valori preluate din recenzia lui Will, 2014 [23]

Parametru	Frontiere	efecte	Experiment
$\gamma-1$	$2,3\cdot 10^{-5)$	Efectul Shapiro , Deviația gravitațională a luminii	Traiectoria Cassini-Huygens
$\beta-1$	$8\cdot 10^{-5}$	Efectul Nordtvedt , schimbarea periheliului	Distanța cu laser a Lunii , mișcări planetare în sistemul solar
$\xi$	$4\cdot 10^{-9}$	Precesia axei de rotație	Pulsarii de milisecunde
$\alpha_{1}$	$4\cdot 10^{-5}$	Deplasarea planului orbital	Distanța cu laser a Lunii , pulsarul J1738+0333
$\alpha_2$	$2\cdot 10^{-9}$	Precesia axei de rotație	Pulsarii de milisecunde
$\alpha _{3}$	$4\cdot 10^{-20}$	autoaccelerare	Statistici de decelerație Pulsar
$\zeta_{1}$	$0,02$	-	Limită combinată a diferitelor experimente
$\zeta _{2}$	$4\cdot 10^{-5}$	Accelerația pulsarilor dubli	PSR 1913+16
$\zeta _{3}$	$10^{{-8}}$	a treia lege a lui Newton	Accelerația lunii
$\zeta _{4}$	$0,006$ ‡	-	Nu este independent

‡ Bazat pe Will (1976 [24] , 2014 [1] ). Teoretic, în unele teorii ale gravitației, este posibil să se ocolească această limitare, atunci se va aplica limita mai slabă din lucrarea lui Nee (1972 [8] ). $6\zeta_4=3\alpha_3+2\zeta_1-3\zeta_3$ $|\zeta_4|< 0,4$

Note

↑ 1 2 3 4 Will, 2014 .
↑ 1 2 3 4 5 Will, 1985 .
↑ Eddington, 1934 .
↑ 1 2 MTU, 1977 , Volumul 3, p. 315.
↑ Nordtvedt, 1968 .
↑ Nordtvedt, 1969 .
↑ 12 Will , 1971 .
↑ 1 2 3 Ni, 1972 .
↑ 1 2 Will & Nordtvedt, 1972 .
↑ 1 2 MTU, 1977 .
↑ MTU, 1977 , Volumul 3, p. 313.
↑ MTU, 1977 , Volumul 3, p. 314.
↑ 1 2 MTU, 1977 , Volumul 3, p. 317-318.
↑ Will, 1985 , p. 90-91.
↑ Will, 1985 , p. 99-100.
↑ Will, 1985 , 5.2. Teoria generală a relativității.
↑ 1 2 Will, 1985 , p. 87.
↑ 1 2 3 Will, 1985 , 4.1. Limita post-newtoniana. d. Potențiale post-newtoniene ..
↑ MTU, 1977 , Volumul 3. § 39.8. PPN-coeficienți metrici.
↑ Will, 2014 , p. 32-33, Caseta 2.
↑ Will, 1985 , 5.1. Metoda de calcul..
↑ Will, 2014 , 3.3 Teorii concurente ale gravitației..
↑ Will, 2014 , p. 46.
↑ Will, 1976 .

Literatură

Principal

Will K. Teoria și experimentul în fizica gravitațională: Per. din engleza. - M. : Energoatomizdat, 1985. - 296 p. — Tradus de Will, CM Theory and Experiment in Gravitational Physics. - Cambridge University Press, 1981, 1993. - ISBN 0-521-43973-6 .
Will CM Confruntarea dintre relativitatea generală și experiment // Recenzii vii în relativitate. - 2014. - Vol. 17 , nr. 4 . - doi : 10.12942/lrr-2014-4 . — . - arXiv : 1403,7377 . Arhivat din original pe 19 martie 2015.

Adiţional

Misner, C., Thorn K., Wheeler J. Gravity. În 3 vol . - M . : Mir, 1977. - Traducere de Misner, CW, Thorne, KS & Wheeler, JA Gravitation. - W. H. Freeman and Co., 1973.
Eddington A. S. Teoria relativității . - L.-M.: GTTI, 1934. - Traducere de Eddington, AS The Mathematical Theory of Relativity . — Cambridge University Press, 1922.
Ni W.-T. Cadre teoretice pentru testarea gravitației relativiste.IV. un compendiu de teorii metrice ale gravitației și limitele lor POST newtoniene // The Astrophysical Journal . - Editura IOP , 1972. - Vol. 176 . — P. 769 . - doi : 10.1086/151677 . - .
Nordtvedt K. Principiul echivalenței pentru corpuri masive. II. Teorie (engleză) // Revista fizică. - 1968. - Vol. 169 . - P. 1017-1025 . - doi : 10.1103/PhysRev.169.1017 . - .
Nordtvedt K. Principiul de echivalență pentru corpuri masive, inclusiv energia de rotație și presiunea radiațiilor // Revizuire fizică. - 1969. - Vol. 180 . - P. 1293-1298 . - doi : 10.1103/PhysRev.180.1293 . - .
Will CM Cadre teoretice pentru testarea gravitației relativiste. II. Hidrodinamica post-newtoniană parametrizată și efectul Nordtvedt // The Astrophysical Journal . - Editura IOP , 1971. - Vol. 163 . — P. 611 . - doi : 10.1086/150804 . - .
Will CM Masa activă în gravitația relativistă - Interpretarea teoretică a experimentului Kreuzer // The Astrophysical Journal . - Editura IOP , 1976. - Vol. 204 . - P. 224-234 . - doi : 10.1086/154164 . - .
Will CM , Nordtvedt Jr., K. Conservation Laws and Preferred Frames in Relativistic Gravity. I. Teorii ale cadrului preferat și un formalism PPN extins // The Astrophysical Journal . - Editura IOP , 1972. - Vol. 177 . — P. 757 . - doi : 10.1086/151754 . - .