Teorii alternative ale gravitației

Se obișnuiește să se numească teorii alternative ale gravitației teorii ale gravitației care există ca alternative la teoria generală a relativității (GR) sau o schimbă semnificativ (cantitativ sau calitativ). Teoriile alternative ale gravitației includ adesea în general orice teorie care nu coincid cu teoria generală a relativității, cel puțin în detaliu, sau o generalizează cumva. Cu toate acestea, adesea teoriile gravitației, în special cele cuantice , care coincid cu teoria generală a relativității în limita energiei joase, nu sunt numite „alternative”.

Clasificarea teoriilor alternative ale gravitației

În fizica secolelor XVII-XIX, teoria lui Newton a fost teoria dominantă a gravitației. În prezent, majoritatea fizicienilor consideră că teoria generală a relativității (GR) este principala teorie a gravitației, deoarece întregul corp existent de experimente și observații este în concordanță cu aceasta (vezi Teste de relativitate generală ). Cu toate acestea, relativitatea generală are o serie de probleme semnificative, ceea ce duce la încercări de modificare a relativității generale sau la prezentarea de noi teorii. Teoriile moderne ale gravitației pot fi împărțite în următoarele clase principale:

Teorii metrice. Acestea includ relativitatea generală, teoria relativistă a gravitației (RTG) a lui Logunov și altele.
Teorii nonmetrice precum teoria Einstein-Cartan.
Teorii vectoriale.
Teorii scalare-tensoare. Aceasta este, în special, teoria Jordan-Brans-Dicke.
Teorii alternative la teoria clasică a lui Newton. Teoriile notabile sunt gravitația Le Sage și dinamica newtoniană modificată (MOND).
Teorii ale gravitației cuantice, reprezentate de o serie întreagă de varietăți.
Teorii ale unificării diverselor interacțiuni fizice. Aici puteți specifica teoria supergravitației și teoria corzilor.

O listă generală a teoriilor gravitaționale cu legături este dată mai jos.

Teorii ale gravitației

Teorii standard ale gravitației

Teorii alternative ale gravitației

Teorii cuantice ale gravitației

Teorii unificate de câmp

fizica clasica

Teoria gravitației lui Newton

Fizica relativistă

Teoria generală a relativității
- Formulare matematică
- Formulare hamiltoniană

Principii

Clasic

Relativistă

Multidimensional

Siruri de caractere

Alte

Teoria excepțional de simplă a tuturor

Motive pentru crearea unor teorii alternative ale gravitației

Există sute de încercări de a crea o teorie ideală a gravitației. Prin motivație, aceste încercări se încadrează în 3 mari categorii:

Alternative directe la relativitatea generală (GR), cum ar fi teoria Einstein-Cartan , teoria scalar-tensorială a gravitației ( teoria Brans-Dicke ), teoria bimetrică Rosen sau teoria relativistă a gravitației a lui Logunov ;
Încercările de a crea o teorie cuantică a gravitației , dintre care cea mai faimoasă este gravitația cuantică în buclă ;
Teorii clasice de câmp unificat care combină gravitația cu electromagnetismul și posibil alte forțe (de obicei ipotetice), de exemplu, teoria Kaluza-Klein , teoria Schmutzer .

Acest articol descrie numai alternative directe la GR, teoriile cuantice ale gravitației fac obiectul articolului „ Gravația cuantică ”, teoriile unificate ale câmpului sunt descrise în articolul cu același nume, precum și încercările de a crea o teorie a totul .

Motivele creării teoriilor gravitației s-au schimbat de-a lungul timpului, din punct de vedere istoric, primele dintre ele au fost încercările de a explica mișcarea planetelor ( gravitația newtoniană a făcut față cu succes ) și a sateliților, în special a Lunii . Apoi a venit vremea teoriilor combinate ale gravitației și luminii, bazate pe conceptul de eter sau teoria corpusculară a luminii , de exemplu, teoria gravitației lui Fatio-Lesage . După ce întreaga fizică și-a schimbat caracterul după crearea teoriei speciale a relativității , a devenit necesară combinarea acesteia din urmă cu forțele gravitaționale. În același timp, fizica experimentală în dezvoltarea sa a ajuns la verificarea fundamentelor teoriei relativității și gravitației: invarianța Lorentz , deviația gravitațională a luminii și echivalența masei inerțiale și gravitaționale ( experimentul Eötvös ). Aceste experimente și alte considerații au condus în cele din urmă la teoria generală a relativității .

După aceea, motivația s-a schimbat dramatic. Gravitația a lăsat punctul central al aplicării forțelor pentru dezvoltarea fizicii - a devenit dezvoltarea mecanicii cuantice și a teoriei cuantice a câmpului , inspirată de descoperirile din fizica atomică , nucleară și a particulelor . Combinația dintre mecanica cuantică chiar și cu teoria relativității speciale s-a dovedit a fi atât de complicată încât teoria cuantică a câmpurilor încă nu reprezintă nicio ramură completă a cunoașterii fizice. Încercările de a combina principiile mecanicii cuantice cu teoria generală a relativității nu pot fi considerate complet reușite și sunt descrise în articolul „ gravitația cuantică ”.

După crearea relativității generale, s-au încercat atât îmbunătățirea teoriilor timpurii, cât și dezvoltarea unora noi care să țină cont de concepte noi. Au fost folosite diverse abordări, de exemplu, adăugarea spin la GR , introducerea expansiunii Universului în cadrul spațiului principal (neperturbat) al teoriei și necesitând absența singularităților .

Tehnologia experimentală a atins noi culmi și a impus restricții din ce în ce mai stricte teoriei gravitației. Multe abordări dezvoltate la scurt timp după crearea GR au fost infirmate, iar tendința generală este de a dezvolta forme din ce în ce mai generale de teorii ale gravitației, care au ajuns în cele din urmă la o anumită perfecțiune în sensul că, indiferent de abaterea de la GR detectată experimental, va exista să fie o teorie, descrierea ei.

Prin anii 1980 acuratețea din ce în ce mai mare a experimentelor a dus la respingerea completă a tuturor teoriilor gravitației, cu excepția acelei clase de ele, care include relativitatea generală ca caz extrem. Aceleași teorii pot fi respinse pe baza principiului „ briciului lui Occam ” până când abaterile de la predicțiile relativității generale sunt detectate în mod fiabil și confirmate experimental. În curând, fizicienii teoreticieni au fost fascinați de teoriile corzilor , care păreau foarte promițătoare. La mijlocul anilor 1980. mai multe experimente ar fi găsit abateri de la relativitatea generală la distanțe scurte (de sute de metri și mai jos), pe care le-au numit manifestări ale „ forței a cincea ”. Rezultatul a fost o explozie de activitate pe termen scurt în teoriile gravitaționale ale corzilor, dar aceste rezultate experimentale nu au fost ulterior confirmate (în prezent, natura newtoniană a forțelor de atracție gravitațională a fost verificată până la o scară de zeci de micrometri - 2009 ).

Noile încercări de a dezvolta teorii alternative ale gravitației sunt inspirate aproape exclusiv din motive cosmologice asociate sau înlocuind concepte precum „ inflație ”, „ materie întunecată ” și „ energie întunecată ”. Ideea principală în acest caz este acordul gravitației moderne cu interacțiunea gravitațională în relativitatea generală, dar cu o abatere puternică asumată de la aceasta în universul timpuriu. Studiul anomaliei Pioneer a generat recent, de asemenea, o creștere a interesului pentru alternativele la relativitatea generală, dar abaterea observată este probabil prea mare pentru a fi explicată în termenii oricăreia dintre aceste teorii mai noi.

Notație

Vezi analiza tensorială , geometrie diferenţială , fundamentele matematice ale relativităţii generale .

Indicii latini variază de la 1 la 3, indicii grecești variază de la 0 la 3. Indicele de timp este de obicei 0. Convenția lui Einstein este folosită pentru însumarea indicilor co- și contravarianți repeți.

$\eta _{{\mu \nu }}\;$ este metricul Minkowski , este un tensor , de obicei un tensor metric . Semnătura metrică $g_{{\mu \nu }}\;$ $(-,+,+,+)\;.$

Derivata covariantă se scrie ca sau ca $\partial _{\mu }\varphi \;$ $\varphi _{{;\mu }}\;.$

Teoriile timpurii, 1686–1916

Sursa principală: Pais (1989).

Teoriile timpurii ale gravitației, prin care toate teoriile dezvoltate înainte de GR, includ teoria lui Newton (1686) , diferitele sale modificări (în special, Clairaut și Hill), și apoi teoriile relativiste: teoria lui Poincaré ( 1905 ), Einstein ( 1912a & b ). ), Einstein-Grossmann ( 1913 ), Nordström (1912, 1913) și Einstein-Fokker ( 1914 ).

Teoria lui Newton ( 1686 )

În teoria lui Newton ( 1686 ) , rescrisă în termeni moderni, câmpul de densitate de masă generează un câmp scalar potențial gravitațional după cum urmează (până la o constantă): $\rho$ $\varphi$

\Delta \varphi =4\pi G\rho

, unde , este constanta gravitațională , este operatorul Laplace și pătratul nabla este scalar.

\Delta \varphi =\nabla ^{2}\varphi =\operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi

G

\Delta

În special, pentru o masă simetrică sferic (inclusiv o masă punctuală), câmpul scalar din afara acesteia, luând potențialul la infinit egal cu zero, este egal cu $M$

\varphi =-G{M \over r)

, unde este distanța de la punctul dat până la centrul de simetrie.

r

Câmpul scalar, la rândul său, afectează traiectoria unei particule care se mișcă liber după cum urmează:

{d^{2}x^{j} \over dt^{2}}+{\partial \varphi \over \partial x^{j}}=0

sau .

{\ddot {x}}+\operatorname {grad} \varphi =0

Energia potențială a unei mase punctuale este:

P=\varphi M

, unde este energia potențială, este mărimea masei.

P

M

Uneori se folosește un formalism cu potențial pozitiv, masele gravitatoare în acest caz formează „cocoașe de potențial”, nu „gropi”, liniile gradientului de potențial nu emană din masele gravitatoare, ci, dimpotrivă, intră în ele. În notația anterioară:

legătura câmpului potențial cu câmpul densității de masă: ,

\Delta \varphi =\nabla ^{2}\varphi =\operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi =-4\pi G\rho

cazul masei sferice simetrice: ,

\varphi =G{M \over r)

impact asupra unui punct material: sau ,

{d^{2}x^{j} \over dt^{2}}={\partial \varphi \over \partial x^{j}}

{\ddot {x}}=\operatorname {grad} \varphi

energie potenţială .

P=-\varphi M

Teoria lui Newton și versiunea ei reformulată de Lagrange (cu introducerea principiului variațional), desigur, nu iau în considerare efectele relativiste și, în consecință, nu pot fi considerate acum ca o teorie acceptabilă a gravitației. Cu toate acestea, teoria lui Newton, ca teorie confirmată prin experiment cu un anumit grad de precizie, conform principiului corespondenței , ar trebui reprodusă de orice teorie a gravitației ca limită pentru un câmp gravitațional slab și viteze mici ale corpurilor.

Modele mecanice (1650–1900)

Newton, întrebat despre cauzele gravitației, a răspuns: „Eu nu inventez ipoteze”. Adepții săi nu au fost atât de scrupuloși în această chestiune și au prezentat multe versiuni mecanice ale explicației gravitației. Dintre modificările teoriei newtoniene, se remarcă teoria lui Le Sage (modelul corpuscular) și modificările acesteia . Poincaré ( 1908 ) a comparat toate teoriile cunoscute până atunci și a ajuns la concluzia că numai teoria lui Newton era corectă. Modelele rămase prezic viteze superluminale foarte mari ale interacțiunii gravitaționale , care, la rândul lor, ar trebui să conducă la o încălzire foarte rapidă a Pământului din cauza ciocnirilor particulelor sale cu particule care provoacă atracția gravitațională a corpurilor, ceea ce nu este observat.

Iată o scurtă listă a acestor teorii:

René Descartes (1644) și Christian Huygens (1690) au folosit vârtejuri de corpusculi care umpleau tot spațiul gol pentru a explica gravitația.
Robert Hooke (1671) și James Challis (1869) au presupus că fiecare corp emite unde care îl determină să atragă alte corpuri. Nicolas Fatio de Duillier (1690) și Georges-Louis Le Sage (1748) au propus un model corpuscular folosind efectul de umbrire a unui corp în altul din fluxuri de corpusculi care sosesc constant din toate direcțiile ( teoria gravitației lui Le Sage ). Mai târziu, un model similar a fost dezvoltat de Hendrik Anton Lorenz , cu toate acestea, în loc de corpusculi, a folosit unde electromagnetice.
Isaac Newton (1675) și Riemann (1853) au susținut că atracția corpurilor este o consecință a interacțiunii cu fluxurile de eter.
Newton (1717) și Leonhard Euler (1760) au propus un model conform căruia eterul din apropierea corpurilor devine rarefiat, rezultând o forță îndreptată spre corp.
Kelvin (1871) a propus un model pulsatoriu al gravitației și electromagnetismului.

Abaterile în mișcarea corpurilor cerești de la cele calculate conform teoriei newtoniene au condus la luarea în considerare a legilor gravitației, care sunt diferite de cele newtoniene. De exemplu, pentru a explica abaterile în mișcarea Lunii, formula lui Clairaut a fost folosită la un moment dat

F=m_{1}m_{2}\left({\frac {G}{r^{2}}}+{\frac {H}{r^{4}}}\right)\,,

iar apoi Hilla (ea, dar cu alți parametri care nu coincid cu cei lunari, a fost folosită de S. Newcomb (1895) la elaborarea teoriei mișcării planetelor interioare ale sistemului solar și la compilarea tabelelor solare , prin care a fost apoi determinată secunda efemeridei )

F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{{2+\delta }}}}\,,\quad |\delta |\ll 1\,.

Odată cu dezvoltarea mecanicii cerești, a devenit clar că aceste abateri nu necesită modificarea teoriei gravitației, ci sunt cauzate de alte motive [1] .

În prezent, există și diverse teorii „vortex” și „eterodinamice” ale gravitației și uneori ale electromagnetismului (dezvoltate de V. A. Atsukovsky, Voronkov, Leonov, Rykov și alți autori). Practic, toate aceleași obiecții Poincaré le pot fi aplicate, așa că majoritatea oamenilor de știință consideră că astfel de încercări sunt în prezent pseudoștiințifice .

Modele electrice (1870–1900)

Sfârșitul secolului al XIX-lea a fost marcat de răspândirea teoriilor gravitației asociate cu legile interacțiunii electromagnetice obținute, precum legile lui Weber , Gauss , Riemann și Maxwell [2] [3] . Aceste modele trebuiau să explice un singur rezultat anormal al mecanicii cerești: o nepotrivire în mișcarea calculată și observată a periheliului lui Mercur . În 1890, Levy a reușit să obțină orbite stabile și cantitatea potrivită de deplasare a periheliului combinând legile lui Weber și Riemann. O altă încercare de succes a fost făcută de P. Gerber în 1898 [4] . Totuși, deoarece potențialele electrodinamice inițiale s-au dovedit a fi incorecte (de exemplu, legea lui Weber nu a fost inclusă în teoria finală a electromagnetismului a lui Maxwell), aceste ipoteze au fost respinse ca arbitrare [5] [6] . Alte încercări care au folosit deja teoria lui Maxwell (de exemplu, teoria lui H. Lorentz din 1900 ) au dat prea puțină precesie [7] [8] [9] .

Modele invariante Lorentz (1905–1910)

În jurul anilor 1904-1905, lucrările lui H. Lorentz , A. Poincaré și A. Einstein au pus bazele teoriei relativității speciale , excluzând posibilitatea propagării oricăror interacțiuni mai rapide decât viteza luminii . Astfel, a apărut sarcina de a înlocui legea newtoniană a gravitației cu o alta, compatibilă cu principiul relativității, dar care dă efecte aproape newtoniene la viteze și câmpuri gravitaționale mici. Asemenea încercări au fost făcute de A. Poincaré (1905 și 1906), G. Minkowski (1908) și A. Sommerfeld (1910) [9] . Cu toate acestea, toate modelele luate în considerare au dat o schimbare prea mică de periheliu [10] . În 1907, Einstein a ajuns la concluzia că pentru a descrie câmpul gravitațional este necesară generalizarea teoriei relativității de atunci, numită acum specială. Din 1907 până în 1915, Einstein s-a îndreptat constant către o nouă teorie, folosindu -și principiul relativității ca ghid .

Einstein ( 1912 ), Einstein și Grossman ( 1913 )

Publicarea lui Einstein din 1912 (în două părți) este importantă doar din punct de vedere istoric. În acel moment, el știa despre deplasarea gravitațională spre roșu și despre devierea luminii . Einstein a înțeles că transformările Lorentz sunt în general incorecte în prezența unui câmp gravitațional, dar le-a aplicat ca euristică. Această teorie afirma că viteza luminii este o valoare constantă într-un spațiu liber de materie, dar se modifică în prezența corpurilor materiale, creând astfel un efect gravitațional. Teoria era limitată la câmpurile gravitaționale staționare și includea principiul celei mai mici acțiuni :

\delta \int ds=0\,,\qquad ds^{2}=\eta _({\mu \nu }}dx^{\mu }dx^{\nu }\,,\quad \eta _{ {\mu \nu }}=diag\{-c^{2}(x^{i}),1,1,1\}.

Apoi, Einstein și Grossman ( 1913 ) au folosit deja geometria pseudo-riemanniană și analiza tensorială :

\delta \int ds=0\,,\qquad ds^{2}=g_({\mu \nu }}dx^{\mu }dx^{\nu }\,.

În munca lor, ecuațiile electrodinamicii au coincis deja exact cu ecuațiile din relativitatea generală. În plus, a fost folosită o ecuație suplimentară (nu întotdeauna adevărată în relativitatea generală)

T^{{\mu \nu }}=\kappa \rho {dx^{\mu } \over ds}{dx^{\nu } \over ds}\,,

exprimând tensorul energie-impuls în funcție de densitatea materiei.

Două teorii ale lui Nordström (1912), (1913)

Prima abordare a lui Nordström (1912) a fost să încerce să mențină constante metrica Minkowski și viteza luminii prin introducerea unei dependențe a masei de potențialul câmpului gravitațional Presupunând că satisface ecuația $c$ $\varphi\,.$ $\varphi$

\Box \varphi =\rho \,,

unde este densitatea de energie a masei de repaus și este Dalambertianul și introducerea dependenței $\rho$ $\Cutie$

m=m_{0}\exp(\phi /c^{2})\,,

Nordström a propus următoarea ecuație

-{\partial \varphi \over \partial x^{\mu }}={\dot {u}}_{\mu }+{u_{\mu } \over c^{2}{\dot {\varphi }}}\,,

unde este viteza cu 4 și punctul denotă diferențierea în funcție de timp. $u$

A doua încercare a lui Nordström (1913) a intrat în istorie ca prima teorie relativistică a câmpului gravitațional consistentă intern. Din principiul variațional (rețineți că notația lui Pais (1989) este folosită mai degrabă decât cea a lui Nordström):

\delta \int \psi ds=0\,,

ds^{2}=\eta _({\mu \nu }}dx^{\mu }dx^{\nu }\,,

unde este un câmp scalar, în această teorie au urmat următoarele ecuații de mișcare $\psi$

-{\partial T^{{\mu \nu }} \over \partial x^{\nu }}=T{1 \over \psi }{\partial \psi \over \partial x_{\mu }}\ ,.

Această teorie era invariantă de Lorentz, conținea legi de conservare, reproducea corect limita newtoniană și satisfacea principiul echivalenței slabe .

Abraham ( 1914 )

Cam în același timp, Abraham dezvolta un model alternativ în care viteza luminii depindea de potențialul gravitațional. Revizuirea lui Abraham ( 1914 ) asupra diferitelor modele gravitaționale este cunoscută ca fiind una dintre cele mai bune din domeniul său, dar propriul său model nu a rezistat examinării.

Einstein și Fokker ( 1914 )

Această teorie a fost prima încercare de a formula o teorie explicit covariantă a gravitației. După ce a scris

\delta \int \psi ds=0\,,

ds^{2}=g_{{\mu \nu }}dx^{\mu }dx^{\nu }\,,

g_{{\mu \nu }}=\psi ^{2}\eta _{{\mu \nu }}\,,

Einstein și Fokker au arătat identitatea construcției lui Einstein-Grossmann (1913) și Nordström (1913). O ecuație suplimentară pentru câmpul gravitațional a fost postulată în următoarea formă:

T\,\propto\,R,

adică urma tensorului energie-impuls este proporţională cu curbura scalară a spaţiului-timp.

Relativitatea generală

Teoria lui Einstein, cuprinsă în două lucrări în 1916 și 1917, este ceea ce se numește acum relativitate generală. Abandonând complet metrica Minkowski, Einstein a obținut:

\delta \int \psi ds=0\,,

ds^{2}=g_{{\mu \nu }}dx^{\mu }dx^{\nu }\,,

R_{{\mu \nu }}=8\pi G(T_{{\mu \nu }}-g_{{\mu \nu }}T/2)\,,

care poate fi scris și ca

T^{{\mu \nu }}={1 \over 8\pi G}(R^{{\mu \nu }}-g^({\mu \nu }}R/2)\,.

Cu cinci zile mai devreme decât Einstein, Hilbert a trimis spre publicare lucrarea „Fundamentals of Physics”, conținând în esență aceleași ecuații, dar derivate din principiul variațional în raport cu electrodinamica lui Mie . O parte a unui articol separat „ Întrebări de prioritate în teoria relativității ” este dedicată întrebărilor de prioritate. Hilbert a fost primul care a scris acțiunea corectă Einstein-Hilbert pentru relativitatea generală:

S={1 \over 16\pi G}\int R{\sqrt {-g}}d^{4}x+S_{m}\,,

unde este constanta gravitațională a lui Newton , este curbura scalară (scalarul Ricci) a spațiului-timp, este determinantul matricei componentelor tensorice metrice și este acțiunea câmpurilor negravitaționale (particule masive, câmp electromagnetic și așa mai departe) . $G$ $R=R_{\mu }^{\mu )$ $g=|g_{\mu \nu }|$ $S_{m}$

Relativitatea generală este o teorie tensorială, deoarece toate ecuațiile sale conțin doar cantități tensorale . Teoriile lui Nordstem, pe de altă parte, sunt scalare, deoarece câmpul gravitațional din ele este un scalar . În plus, vor fi luate în considerare și teoriile scalar-tensorilor care, pe lângă tensorii GR, conțin și cantități scalare (una sau mai multe), precum și alte variante răspândite în prezent care conțin câmpuri vectoriale .

Teorii din 1917 până în anii 1980

Surse principale: Will (1986) [11] , Will (2006). Vezi și Ni (1972), Trader (1973), Lang (2002), Turyshev (2007).

Această parte include o trecere în revistă a alternativelor la relativitatea generală dezvoltate după aceasta, dar înainte de descoperirea caracteristicilor rotației diferențiale a galaxiilor, ceea ce a condus la ipoteza existenței materiei întunecate .

Acestea includ teorii (enumerate în ordine cronologică, hyperlinkurile duc la părțile relevante ale acestui articol):

Whitehead (1922) , Cartan (1922, 1923) , Firtz și Pauli (1939), Birkhov ( 1943) , Milne (1948), Thiry (1948), Papapetrou (1954a, 1954b) , Littlewood ( 1953) ) ) 5 ), Bergman (1956) , Belinfante și Zweigart (1957) , Yilmaz (Yilmaz) (1958, 1973), Brans și Dicke (1961) , Whitrow și Morduk (Whitrow și Morduch) (1960, 1965) , Kustaanheimo), (1966) Kustaanheimo și Nuotio (1967), Deser și Lauren (1968) , Page și Tapper (1968) , Bergman (1968) , Bollini-Giambini-Tiomno (1970) , Nordvedt (1970) ), Waggoner (1970) , Rosen ( 1971 ) , 1975, 1975 ), Nee ( 1972 , 1973), Will și Nordvedt (1972) , Hellings și Nordvedt (1973) , Lightman și Lee (1973) , Lee-Lightman-Nee (1974), Bekenstein (1977) , Barker ( 1977) , ) , Restall (1979) .

Aceste teorii, în general, nu includ constanta cosmologică , adăugarea acesteia sau chintesența este tratată în secțiunea despre teoriile recente (vezi și acțiunea Einstein-Hilbert ). De asemenea, nu includ, cu excepția cazului în care se menționează altfel, potențiale scalare sau vectoriale suplimentare, din simplul motiv că aceste potențiale și constanta cosmologică nu au fost considerate necesare până la descoperirea accelerării expansiunii Universului prin observații ale supernovelor îndepărtate .

Clasificarea teoriilor gravitației

Teoriile gravitației pot fi, cu un anumit grad de aproximare, împărțite în mai multe categorii. Majoritatea teoriilor au:

„ acțiune ” (vezi principiul celei mai mici acțiuni - principiul variațional , bazat pe conceptul de acțiune);
densitatea lagrangiană ;
metrica .

Dacă o teorie are o densitate lagrangiană, de exemplu, atunci acțiunea este o integrală a acesteia în spațiu-timp $L\,,$ $S$

S\,\propto \,\int {\sqrt {-g}}Ld^{4}x\,.

În această ecuație, de obicei, deși nu neapărat, se trece la coordonatele în care $g=-1\,.$

Aproape toate teoriile consistente ale gravitației au acțiune . Acesta este singurul mod cunoscut pentru a asigura automat că legile conservării energiei , impulsului și momentului unghiular sunt incluse în teorie (deși se poate construi cu ușurință o astfel de acțiune care va încălca legile conservării). Versiunea originală din 1983 a dinamicii newtoniene modificate (MOND) nu a avut niciun efect.

Mai multe teorii au acțiune, dar le lipsește densitatea lagrangiană. Un bun exemplu este teoria lui Whitehead (1922), a cărei acțiune este non-locală.

O teorie a gravitației este o teorie metrică numai dacă poate fi exprimată matematic într-o formă care satisface următoarele două propoziții:

Condiția 1. Există un tensor de semnătură metrică (sau, care este imaterial ), care exprimă măsurătorile timpului propriu și lungimii adecvate în modul obișnuit pentru teoria relativității: $g_{\mu \nu }$ $(-,+,+,+)$ $(+,-,-,-)$

ds^{2}=g_{{\mu \nu }}dx^{\mu }dx^{\nu }\,.

Condiția 2. Materia și câmpurile supuse acțiunii unui câmp gravitațional se mișcă în conformitate cu ecuația

\nabla \cdot T=0\,,

unde este tensorul energie-impuls al tuturor câmpurilor de materie și negravitaționale și este derivata covariantă corespunzătoare metricii. $T$ $\nabla$

Orice teorie a gravitației cu o metrică nesimetrică nu este în mod clar o teorie metrică, dar orice teorie metrică poate fi reformulată astfel încât condițiile 1 și 2 să fie încălcate în noua formulare. $g_{\mu \nu }\neq g_{\nu \mu )$

Teoriile metrice includ (de la simplu la complex):

Teorii scalare (printre ele se numără teorii conform plane și teorii stratificate cu secțiuni spațiale conform dungi)
- Nordstrom, Einstein-Fokker, Whitrow-Morduch, Littlewood, Bergman, Page-Tupper, Einstein (1912), Rosen (1971), Papapetru, Nee, Yilmaz, [Kolman], Lee-Lightman-Nee;
Teorii bimetrice
- Rosen (1975), Restall, Lightman-Lee;
Teorii cvasiliniare (printre ele teorii liniare cu ecartament fix)
- Whitehead, Deser-Loren, Bollini-Giambini-Tiomno (Bollini-Giambini-Tiomno);
Teoriile tensorilor
- Einstein (1915) - GR;
Teorii scalare-tensoare
- Tiry (Thiry), Jordan, Brans-Dicke, Bergman, Wagoner, Nordvedt, Bekenstein;
Teorii tensorilor vectoriali
- Will-Nordvedt, Hellings-Nordvedt;
Alte teorii metrice

(Vezi și partea Teorii moderne )

Teoriile nonmetrice includ Cartan, Belinfante-Zweigart și unele altele.

Aici este necesar să spunem câteva cuvinte despre principiul Mach , deoarece multe dintre aceste teorii se bazează sau sunt motivate de acesta, de exemplu, teoria lui Einstein-Grossmann (1913), Whitehead (1922), Brans-Dicke (1961). ). Principiul lui Mach poate fi gândit ca o etapă intermediară între ideile newtoniene și einsteiniene [12] :

Newton: Cadrul de referință selectat este conectat cu spațiul și timpul absolut.
Mach: Cadrul distins de referință este legat de distribuția materiei în Univers.
Einstein: Nu există un cadru de referință dedicat.

Până acum, toate încercările de a descoperi consecințele experimentale ale principiului lui Mach nu au avut succes, dar nu pot fi respinse complet.

Teorii scalare

Multe teorii, în special Littlewood (1953), Bergman (1956), Yilmaz (1958), Whitrow și Morduch (1960, 1965) și Page-Tupper (1968), pot fi deduse uniform în modul dat de Page și Tupper.

Potrivit lui Page și Tupper (1968), care au luat în considerare toate teoriile menționate în paragraful anterior, cu excepția teoriei lui Nordström (1913), teoria scalară generală a gravitației are ecuații de mișcare a maselor punctuale derivate din principiul acțiunii minime. de urmatoarea forma:

\delta \int f(\varphi /c^{2})ds=0\,,

unde va fi câmpul scalar pentru o sursă punctuală statică

\varphi=GM/r\,,

și poate depinde sau nu de Funcțiile au următoarea formă: $c$ $\varphi\,.$ $f(\varphi /c^{2})$

la Nordström (1912)

f(\varphi /c^{2})=\exp(-\varphi /c^{2})\,,\qquad c=c_{\infty }\,;

la Littlewood (1953) și Bergman (1956)

f(\varphi /c^{2})=\exp(-\varphi /c^{2}-(\varphi /c^{2})^{2}/2)\,,\qquad c=c_ {\infty }\,;

la Whitrow și Morduch (1960)

f(\varphi /c^{2})=1\,,\qquad c^{2}=c_{\infty }^{2}-2\varphi \,;

la Whitrow și Morduch (1965)

f(\varphi /c^{2})=\exp(-\varphi /c^{2})\,,\qquad c^{2}=c_{\infty }^{2}-2\varphi \ ,;

la Page și Tupper (1968)

f(\varphi /c^{2})=\varphi /c^{2}+\alpha (\varphi /c^{2})^{2}\,,\qquad c_{\infty }^{2 }/c^{2}=1+4(\varphi /c_{\infty }^{2})+(15+2\alpha )(\varphi /c_{\infty }^{2})^{2 }\,.

Page și Tupper (1968) au ajuns la un acord cu teoria lui Yilmaz (1958) până la ordinul doi (vezi și Teoria gravitației a lui Yilmaz ) la $\alpha=-7/2\,.$

Deviația gravitațională a luminii în teoriile scalare trebuie să fie zero, cu excepția cazului în care viteza luminii este o constantă. Deoarece variabilitatea vitezei luminii și abaterea sa zero contrazic datele experimentale, perspectiva unei teorii scalare viabile a gravitației pare foarte sumbră. Mai mult, dacă parametrii teoriei scalare sunt ajustați astfel încât să se obțină deviația corectă a luminii, deplasarea gravitațională spre roșu va fi cel mai adesea incorectă .

Nee (1972) a luat în considerare unele dintre teoriile scalare și a avansat încă două. În primul, a priori Minkowski spațiu-timp și coordonatele temporale universale, împreună cu materia obișnuită și câmpurile negravitaționale, creează un câmp scalar. Acest câmp scalar acționează împreună cu toate celelalte ca sursă pentru metrica.

Acțiunea corespunzătoare (Mizner-Thorn-Wheeler (1973) o da fără membru ): $\varphi R$

S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}L_{\varphi }+S_{m}\,,

L_{\varphi }=\varphi R-2g^{{\mu \nu }}\partial _{\mu }\varphi \partial _{\nu }\phi \,,

unde este acţiunea materiei. Ecuația câmpului scalar: $S_{m}$

\Box \varphi =4\pi T^{{\mu \nu }}[\eta _({\mu \nu }}e^{{-2\varphi }}+(e^{{2\varphi } }+e^{{-2\varphi )))\partial _{\mu }t\partial _{\nu }t]\,,

unde este coordonata universală a timpului. Această teorie este auto-consecventă și completă, dar mișcarea sistemului solar în ansamblu în raport cu distribuția medie a masei în univers duce la o diferență semnificativă între predicțiile sale și datele experimentale. $t$

În cea de-a doua teorie a lui Nee (1972) există două funcții arbitrare și care definesc metrica: $f(\varphi )$ $k(\varphi )\,,$

ds^{2}=e^{{-2f(\varphi )}}dt^{2}-e^{{2f(\varphi )}}[dx^{2}+dy^{2}+dz^ {2}]\,,

\eta ^{{\mu \nu }}\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi =4\pi \rho ^{*}k(\varphi )\,.

Nee (1972) menționează teoria lui Rosen (1971) ca fiind redusă la două câmpuri scalare și , care definesc metrica după cum urmează: $\varphi$ $\psi$

ds^{2}=\varphi ^{2}dt^{2}-\psi ^{2}[dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}]\,.

În teoria lui Papapetrou (1954a), partea gravitațională a Lagrangianului are forma:

L_{\varphi}=e^{\varphi}(\textstyle {\frac {1}{2}}e^{{-\varphi }}\partial _{\alpha }\varphi \partial _{\alpha } \varphi +\textstyle {\frac {3}{2}}e^({\varphi }}\partial _{0}\varphi \partial _{0}\varphi )\,.

Mai târziu, Papapetrou (1954b) introduce un al doilea câmp scalar . Atunci Lagrangianul gravitațional va fi: $\chi$

L_{\varphi }=e^{{(3\varphi +\chi)/2}}(-\textstyle {\frac {1}{2}}e^{{-\varphi }}\partial _{\ alfa }\varphi \partial _{\alpha }\varphi -e^{{-\varphi }}\partial _{\alpha }\varphi \partial _{\chi }\varphi +\textstyle {\frac {3} {2}}e^{{-\chi }}\partial _{0}\varphi \partial _{0}\varphi )\,.

Teorii bimetrice

Teoriile bimetrice conțin tensorul metric obișnuit și metrica Minkowski (sau metrica cu curbură constantă sau altă metrică „de fundal”) și pot include și alte câmpuri scalare și vectoriale.

Acțiunea în teoria bimetrică a lui Rosen (1973, 1975) are forma:

S={1 \over 64\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-\eta }}\eta ^({\mu \nu }}g^{{\alpha \beta }}g ^{{\gamma \delta }}(g_{{\alpha \gamma |\mu }}g_{{\alpha \delta |\nu }}-\textstyle {\frac {1}{2}}g_{{ \alpha \beta |\mu }}g_{{\gamma \delta |\nu }})+S_{m}\,,

unde linia verticală „|” denotă derivata covariantă în concordanță cu metrica Ecuațiile câmpului pot fi scrise ca: $\eta\,.$

\Box _{\eta }g_{{\mu \nu }}-g^({\alpha \beta }}\eta ^{{\gamma \delta }}g_{{\mu \alpha |\gamma }} g_{{\nu \beta |\delta }}=-16\pi G{\sqrt {g/\eta }}(T_{{\mu \nu }}-\textstyle {\frac {1}{2} }g_{{\mu \nu }}T)\,.

Lightman și Lee (1973) au dezvoltat o teorie metrică bazată pe teoria nonmetrică a lui Belinfante și Zweigart (1957a, 1957b), cunoscută sub numele de teoria BSLL. Introduce un câmp tensor și două constante și astfel acțiunea arată astfel: $B_{\mu \nu )$ $(B=B_{\mu \nu }\eta ^{\mu \nu })$ $A$ $f\,,$

S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-\eta }}(aB^{{\mu \nu |\alpha }}B_{{\mu \nu | \alpha }}+fB_{{,\alpha }}B^{{,\alpha }})+S_{m}\,,

iar tensorul energie-impuls este derivat din următoarea ecuație:

a\Box _{\eta }B^{{\mu \nu }}+f\eta ^({\mu \nu }}\Box _{\eta }B=-4\pi G{\sqrt {g /\eta }}T^{{\alpha \beta }}(\partial g_{{\alpha \beta }}/\partial B_{\mu }\nu )\,.

În Rastall (1979) metrica este o funcție algebrică a metricii Minkowski și a câmpului vectorial [13] . În acest caz, acțiunea:

S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}F(N)K^{{\mu ;\nu }}K_{{\mu ;\nu }}+S_{m},

unde și (în cartea lui Will (1986) sunt date ecuațiile de câmp pentru și ). $F(N)=-N/(2+N)\;$ $N=g^{{\mu \nu }}K_{\mu }K_{\nu }\;$ $T^{{\mu \nu }}\;$ $K_{\mu }\;$

Conform caracteristicilor formale, teoriile bimetrice includ teoria perturbațiilor gravitaționale ale spațiu-timpului - GR, liniarizată pe un fundal arbitrar spațiu-timp, precum și RTG - ul lui Logunov cu colegii de muncă.

Teorii cvasi-liniare

În teoria lui Whitehead (1922), metrica fizică este construită algebric din metrica Minkowski și câmpurile materiale, deci nu există câmpuri tampon: $g\;$ $\eta\;$

g_{{\mu \nu }}(x^{\alpha })=\eta _({\mu \nu }}-2\int _({\Sigma ^{-}}}{y_{\mu } ^{-}y_{\nu }^{-} \over (w^{-})^{3}}[{\sqrt {-g}}\rho u^{\alpha }d\Sigma _{\ alfa }]^{-},

unde indicele (−) indică mărimile calculate de-a lungul conului de lumină al punctului trecut în raport cu metrica a $x^{\alpha }\;$ $\eta \;,$

(y^{\mu })^{-}=x^{\mu }-(x^{\mu })^{-}\;,

(y^{\mu })^{-}(y_{\mu })^{-}=0\;,

w^{-}=(y^{\mu })^{-}(u_{\mu })^{-}\;,

(u_{\mu })=dx^{\mu }/d\sigma \;,

d\sigma ^{2}=\eta _{{\mu \nu }}dx^{\mu }dx^{\nu }\;.

Teoriile lui Deser și Lauren (1968) și Bollini-Giambini-Thiomno (1970) sunt teorii liniare cu ecartament fix. Luând ca model teoria câmpului cuantic și combinând spațiul-timp Minkowski cu acțiunea invariantă a gabaritului a câmpului tensorului spin-2 (adică câmpul graviton ) , acești autori au spus $h_{{\mu \nu }}\;$

g_{{\mu \nu }}=\eta _{{\mu \nu }}+h_{{\mu \nu }}\;.

Acțiunea lor:

S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-\eta }}[2h_{{|\nu }}^({\mu \nu }}h_{{\ mu \lambda }}^{{|\lambda }}-2h_{{|\nu }}^({\mu \nu }}h_({\lambda |\mu }}^{{\lambda }}+h_ {{\nu |\mu }}^{\nu }h_{\lambda }^{{\lambda |\mu }}-h^({\mu \nu |\lambda }}h_{{\mu \nu |\lambda }}]+S_{m}\;.

Cu toate acestea, identitățile Bianchi corespunzătoare acestei invarianțe parțiale de gabarit se dovedesc a fi greșite. Teoriile propuse încearcă să iasă din această contradicție prin postularea unei încălcări a simetriei acțiunii gravitaționale prin introducerea de câmpuri gravitaționale auxiliare care interacționează cu . $h_{{\mu \nu }}\;$

Teorii scalare-tensoare

Vezi și Teorii scalare-tensoare ale gravitației și Teoria Brans-Dicke

Aceste teorii conțin cel puțin un parametru liber, spre deosebire de relativitatea generală, unde nu există parametri liberi ( termenul cosmologic nu poate fi considerat în prezent un parametru liber al teoriei, deoarece este determinat experimental).

Deși teoria Kaluza-Klein 5-dimensională nu este de obicei considerată ca scalar-tensor, cu toate acestea, după separarea (aproximativă) a metricii 4-dimensionale, se reduce la una cu un singur câmp scalar și un singur vector. Astfel, dacă componenta metrică din dimensiunea a 5-a este considerată ca un câmp gravitațional scalar și nu se acordă atenție componentelor mixte ale metricii din a 5-a și alte dimensiuni, care dau un câmp vectorial (conform ideii lui Kaluza electromagnetice) , atunci teoria Kaluza-Klein poate fi considerată un precursor al teoriilor scalar-tensoare ale gravitației, ceea ce a fost remarcat de Thiry (1948).

Teoriile scalare-tensoare includ: teoria lui Scherer (1941), Thiry (1948), Jordan (1955), Brans și Dicke (1961), Bergman (1968), Nordvedt (1970), Waggoner (1970), Bekenstein (1977) și Barker (1978).

Acțiunea în aceste teorii este integrala densității lagrangiene $S\;$ $L_{\varphi }\;:$

S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}L_{\varphi }+S_{m}\;,

L_{\varphi }=\varphi R-{\omega (\varphi ) \over \varphi }g^({\mu \nu ))\partial _{\mu }\varphi \partial _{\nu }\varphi +2\varphi \lambda (\varphi )\;,

S_{m}=\int d^{4}x{\sqrt {g}}G_{N}L_{m}\;,

si prin definitie

T^{{\mu \nu }}={2 \over {\sqrt {g}}}{\delta S_{m} \over \delta g_{{\mu \nu }}}\;,

unde este o funcție adimensională, diferită în diferite teorii, funcția joacă rolul constantei cosmologice GR, este o constantă de normalizare adimensională care fixează valoarea constantei gravitaționale în epoca actuală. Un potențial arbitrar poate fi adăugat unui câmp scalar. $\omega (\varphi )\;$ $\lambda (\varphi )\;$ $G_{N}\;$ $G\;$

O astfel de acțiune a fost aplicată fără limitare în teoriile lui Bergman (1968) și Waggoner (1970). Cazurile speciale includ teorii:

Nordvedt (1970) — (Omitem , mai departe în această secțiune, introducerea sa este discutată în continuare în secțiunea Constanta cosmologică și chintesența .) $\lambda=0\;;$ $\lambda$
Bransa-Dicke (1961) - constantă; $\omega\;$
Bekenshtein (1977) - teoria masei variabile - introducând parametri și obținuți din soluția cosmologică, definește o funcție astfel încât $r\;$ $q\;,$ $\varphi =[1-qf(\varphi )]f(\varphi )^{{-r}}\;$ $f\;,$

\omega (\varphi )=-\textstyle {\frac {3}{2}}-\textstyle {\frac {1}{4}}f(\phi)[(1-6q)qf(\phi )- 1][r+(1-r)qf(\varphi )]^{{-2}}\;;

Barker (1978) - teoria G constantă -

\omega (\varphi )=(4-3\phi )/(2\varphi -2)\;.

Schimbarea permite teoriilor scalare-tensoare în limită să se reproducă în epoca actuală rezultate care sunt arbitrar apropiate de relativitatea generală. Cu toate acestea, diferențele din universul timpuriu pot fi semnificative. $\omega (\varphi )\;$ $\omega \rightarrow \infty \;$

Atâta timp cât predicțiile relativității generale sunt confirmate experimental, teoriile generale scalare-tensoare (inclusiv teoria Brans-Dicke) nu pot fi renunțate, dar pe măsură ce experimentele continuă să se potrivească cu predicțiile relativității generale cu o acuratețe din ce în ce mai mare, parametrii de scalar-tensorul sunt impuse din ce în ce mai multe restricții teoriilor.

Teorii lui Hellings și Nordvedt

Teoriile lui Hellings și Nordvedt (1973) și Will și Nordvedt (1972) sunt ambele tensoare vectoriale. Pe lângă tensorul metric, ele prezintă un câmp vectorial asemănător timpului . Acțiunea gravitațională are forma: $K_{\mu }\;$

S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}[R+\omega K_{\mu }K^{\mu }R+\eta K^{\mu }K^{\nu }R_{{\mu \nu }}-\varepsilon F_{{\mu \nu }}F^{{\mu \nu }}+\tau K_{{\mu ;\nu } }K^{{\mu ;\nu }}]+S_{m}\;,

unde , , și sunt constante și $\omega\;$ $\eta\;$ $\varepsilon\;$ $\tau \;$

F_{{\mu \nu }}=K_{{\nu ;\mu }}-K_{{\mu ;\nu }}\;.

Ecuațiile de câmp ale acestei teorii pentru și sunt date în Will (1986). $T^{{\mu \nu }}\;$ $K_{\mu }\;$

Teoria lui Will şi Nordwett (1972) este un caz special al celui precedent pentru

\omega =\eta =\varepsilon =0\;;\qquad \tau =1\;,

în timp ce teoria lui Hellings și Nordvedt (1973)

\tau =0\;;\qquad \varepsilon =1\;;\qquad \eta =-2\omega \;.

Aceste teorii vector-tensoare sunt semi-conservative, adică au legile conservării momentului și momentului unghiular, dar pot fi prezente și efectele unui cadru de referință privilegiat. Când , aceste teorii se reduc la relativitatea generală, astfel încât, în mod similar teoriilor scalare-tensoare, teoriile vector-tensorilor nu pot fi infirmate de niciun experiment care confirmă relativitatea generală. $\omega=\eta=\varepsilon=0\;$

Teorii nonmetrice

(vezi, de asemenea, teoria Einstein-Cartan și conexiunea Cartan )

Teoria lui Cartan este deosebit de interesantă atât pentru că este nonmetrică, cât și pentru că este foarte veche. Starea teoriei lui Cartan este neclară. Will (1986) susține că toate teoriile nonmetrice contrazic Principiul Echivalenței lui Einstein (EPE) și, prin urmare, ar trebui să fie eliminate. Într-o lucrare ulterioară, Will (2001) atenuează această afirmație explicând criteriile experimentale pentru testarea teoriilor nonmetrice pentru a satisface EPE. Mizner, Thorne și Wheeler (1973) susțin că teoria lui Cartan este singura teorie nonmetrică care trece toate testele experimentale, iar Turyshev (2007) enumeră această teorie ca satisfăcând toate constrângerile experimentale actuale. Următoarea este o scurtă prezentare a teoriei lui Cartan după cea a lui Trautman (1972).

Cartan (1922, 1923) a propus o generalizare simplă a teoriei gravitației lui Einstein prin introducerea unui model spațiu-timp cu un tensor metric și o conexiune liniară asociată cu metrica, dar nu neapărat simetrică. Partea antisimetrică a conexiunii, tensorul de torsiune, este asociată în această teorie cu densitatea momentului unghiular intern ( spin ) al materiei. Independent de Cartan, idei similare au fost dezvoltate de Siama , Kibble și Hale între 1958 și 1966.

Inițial, teoria a fost dezvoltată în formalismul formelor diferențiale , dar aici va fi prezentată în limbaj tensor. Densitatea gravitațională lagrangiană din această teorie coincide în mod formal cu cea a relativității generale și este egală cu scalara de curbură:

L={1 \over 16\pi G}R(\Gamma ,g)\;,

totuși, introducerea torsiunii modifică legătura, care nu mai este egală cu simbolurile Christoffel, ci este egală cu suma acestora cu tensorul de contorsionare.

\Gamma _{{\nu \lambda }}^{\mu }=\left\{{^({\ \mu \ }}_{{\;\nu \lambda \;}}}\right\}+ K_{{\nu \lambda }}^{\mu }\;,

K_{{\mu \nu \lambda ))=Q_({\mu \nu \lambda ))+Q_({\lambda \nu \mu ))+Q_({\nu \lambda \mu )),\qquad Q_{{\mu \nu \lambda }}={\frac 12}(\Gamma _({\mu \nu \lambda }}-\Gamma _({\mu \lambda \nu }})\;,

unde este partea antisimetrică a conexiunii liniare - torsiune. Se presupune că conexiunea liniară este metrică , ceea ce reduce numărul de grade de libertate inerente teoriilor nonmetrice. Ecuațiile de mișcare ale acestei teorii includ 10 ecuații pentru tensorul energie-impuls, 24 ecuații pentru tensorul de spin canonic și ecuații de mișcare pentru câmpurile materiale negravitaționale: $Q_{{\mu \nu \lambda }}\;$

R_{{\mu \nu }}-{\frac 12}g_{{\mu \nu }}R+4{B^{{[\alpha }}}_({\beta \mu }}{B^ {{\beta ]}}}_{{\alpha \nu }}+2B_({\beta \alpha \mu }}{B_{\nu }}^({\beta \alpha }}-B_{{\ mu \beta \alpha }}{B_{\nu }}^{{\beta \alpha }}-

-{\frac 12}g_{{\mu \nu }}(4{{B_{{\alpha }}}^{{\beta }}}_{{[\lambda }}{B^{{\alpha }} \lambda ))}_{{\beta ]}}+B_({\alpha \beta \gamma }}B^({\alpha \beta \gamma }})=\kappa T_{{\mu \nu }} \;,

{Q^{\lambda }}_{{\mu \nu }}+{\delta _{\mu }}^{\lambda }Q_{\nu }-{\delta _{\nu }}^{\ lambda }Q_{\mu }=\kappa {s^{\lambda }}_{{\mu \nu }}\;,

{\frac {\partial L}{\partial \phi _{A))}+(\nabla _{\lambda }-2Q_{\lambda }){\frac {\partial L}{\partial \nabla _{ \lambda }\phi _{A}}}=0\;,

unde este tensorul metric de energie-impuls al materiei, este tensorul canonic de spin și este urma tensorului de răsucire (vezi Ivanenko , Pronin, Sardanashvili , Gauge Theory of Gravity (1985)). $T_{{\mu \nu }}={\frac \delta {\delta g^{{\mu \nu }}}}({\sqrt {-g}}L_{m})\;$ $s_{{\mu \nu }}^{\lambda }={\frac {\delta L_{m}}{\delta Q_{\lambda }^{{\mu \nu }}}}\;$ ${B^{\lambda }}_{{\mu \nu }}={Q^{\lambda }}_({\mu \nu }}+{\delta _{\mu }}^{\lambda } Q_{\nu }-{\delta _{\nu }}^{\lambda }Q_{\mu }\;$ $Q_{\mu }={Q^{\lambda }}_{{\mu \lambda }}\;$

Curbura spațiu-timpului în acest caz nu este riemanniană, dar pe spațiu-timp riemannian lagrangianul este redus la lagrangianul relativității generale. Efectele nonmetricității în această teorie sunt atât de mici încât pot fi neglijate chiar și în stelele neutronice . Singura regiune cu divergență puternică pare să fie, poate, universul foarte timpuriu. O trăsătură atractivă a acestei teorii (și modificările ei) este posibilitatea de a obține soluții non-singulare de „sărire” pentru Big Bang (vezi Minkevich și colab. (1980)).

Unele ecuații ale teoriei nonmetrice de Belinfante și Zweigart (1957a, 1957b) au fost deja discutate în secțiunea despre teoriile bimetrice .

Testarea teoriilor alternative ale gravitației

Dezvoltarea teoriilor și testarea lor s-au dezvoltat mână în mână de-a lungul secolului al XX-lea și nu numai. Majoritatea cecurilor pot fi clasificate în următoarele clase (vezi Will (2001)):

Cele mai simple baze.
Principiul Echivalenței Einstein (EPE).
Formalism post-newtonian parametrizat (PPN).
Câmpuri gravitaționale puternice.
Unde gravitaționale .

Teorii nu au fost testate pe motive

Pentru detalii vezi Misner, Thorne și Wheeler (1973), cap. 39 și Will (1986), Tabelul 2.1.

Nu toate teoriile gravitației sunt create egale. Doar câteva dintre numărul mare de ele care există în literatură sunt suficient de viabile pentru a fi comparate cu relativitatea generală.

La începutul anilor 1970, un grup de oameni de știință de la Caltech , inclusiv Thorne, Will și Nee (vezi Nee (1972)), au întocmit o listă de teorii gravitaționale din secolul al XX-lea . Pentru fiecare teorie, ei au pus următoarele întrebări:

(i) este teoria autoconsistentă?
(ii) este complet?
(iii) este de acord, cu câteva abateri standard, cu toate experimentele făcute până acum?

Dacă o teorie nu îndeplinea aceste criterii, nu se grăbea să o renunțe imediat. Dacă o teorie era incompletă în temeiul ei, grupul a încercat să o completeze cu mici modificări, reducând de obicei teoria în absența gravitației la relativitatea specială. De exemplu, pentru șapte teorii diferite, densitatea materiei care generează gravitația a fost calculată atât ca și ca urmă a unui tensor.Într -un alt caz, luând în considerare teoriile lui Thiry (1948) și Jordan (1955), acestea au fost completate. dând parametrului o valoare de 1 atunci când sunt reduse la teoria Brans-Dicke (1961) și sunt demne de luat în considerare în continuare. $\rho ^{*}=T_{{\mu \nu }}u^{\mu }u^{\nu }\;,$ $T\;.$ $\eta\;$

În această secțiune, criteriul „coerenței cu toate experimentele efectuate până în prezent” este înlocuit cu criteriul „coerenței cu majoritatea consecințelor mecanicii newtoniene și ale relativității speciale”. Puncte mai subtile vor fi discutate mai târziu.

Autoconsistența teoriilor nonmetrice include cerința pentru absența tahionilor , a polilor fantomă, a polilor de ordin superior și a problemelor în comportamentul câmpurilor la infinit.

Autoconsistența teoriilor metrice este cel mai bine ilustrată prin descrierea mai multor teorii care nu au această proprietate. Un exemplu clasic este teoria câmpului cu spin 2 (teoria lui Fiertz și Pauli (1939)), în care ecuațiile câmpului implică faptul că corpurile gravitatoare se mișcă de-a lungul liniilor drepte, în timp ce ecuațiile de mișcare determină corpurile să devieze de la traiectorii rectilinii. Teoria lui Yilmaz (Yilmaz, 1971, 1973) conține un câmp gravitațional tensor utilizat pentru a defini tensorul metric; dar această teorie este insuportabilă din punct de vedere matematic, deoarece dependența funcțională a metricii de câmpul tensor nu este bine definită.

Pentru ca o teorie a gravitației să fie completă, trebuie să fie capabilă să descrie rezultatele oricărui experiment imaginabil. Adică, trebuie să includă electromagnetismul și toate celelalte teorii confirmate prin experiment. De exemplu, orice teorie care nu poate prezice din primele principii mișcarea planetelor sau comportamentul ceasurilor atomice este incompletă. Teoria lui Milne (1948) este incompletă, deoarece nu include descrieri ale deplasării către roșu gravitaționale.

Teoriile lui Whitrow și Morduch (1960, 1965), Kustaanheimo (1966) și Kustaanheimo și Nuotio (1967) sunt fie incomplete, fie nu sunt auto-consistente. Introducerea ecuațiilor lui Maxwell într-o teorie va fi incompletă dacă ele descriu evoluția unui câmp pe un fundal spațial plat și neconsistente în sine, deoarece aceste teorii prezic o deplasare gravitațională spre roșu zero pentru teoria undelor luminii ( ecuațiile lui Maxwell ) și o deplasare diferită de zero pentru teoria corpusculară ( fotoni ). Un alt exemplu, mai evident, este gravitația newtoniană combinată cu ecuațiile lui Maxwell: în acest caz, lumina ca fotoni este deviată de câmpul gravitațional (deși de două ori mai slab decât în relativitatea generală), dar undele luminoase nu sunt.

Ca exemplu de inconsecvență cu fizica newtoniană, se poate cita teoria lui Birkhoff (1943), care prezice destul de bine efectele relativiste, dar impune ca undele sonore din materie să se propagă cu viteza luminii, ceea ce este complet în contradicție cu experimentul.

Un exemplu modern al absenței unei componente relativiste este Milgrom MOND, care va fi discutat în continuare .

Principiul Echivalenței Einstein (EPE)

EPE are trei componente.

Prima componentă a EPE este universalitatea „ căderii libere ”, cunoscută sub numele de principiul echivalenței slabe (WEP). Această universalitate echivalează cu echivalența (mai corect, proporționalitate strictă) a masei gravitaționale și inerțiale. Parametrul este utilizat ca măsură a încălcării maxime admisibile a POC. Primele experimente au fost efectuate de Galileo , care a descoperit universalitatea căderii libere pentru corpuri de diferite mase, și de Newton , care a limitat -o la 10 -3 pentru lemn și fier . Cele mai faimoase experimente ale lui Eötvös din anii 1890-1900, care au dat limita modernă - $\eta\;$ $\eta\;$ $\eta \leq 5\cdot 10^{{-9}}\;,$ $\eta \leq 5\cdot 10^{{-13}}\;.$

Al doilea este invarianța Lorentz locală (LLI). În absența efectelor gravitaționale, viteza luminii trebuie să fie constantă. Încălcările acestei prevederi sunt măsurate prin parametrul . Primele experimente speciale, acum interpretate ca teste ale LLI, căutarea „ vântului eteric ”, au fost efectuate de Michelson și Morley în anii 1880. și limitată de mărime (vezi experimentul Michelson-Morley ). În prezent $\delta \;.$ $\delta \;$ $5\cdot 10^{{-3}}\;$ $\delta \leq 10^{{-21}}\;.$

A treia componentă este invarianța spațiu-timp locală (LSTI), care include atât invarianța spațială, cât și cea temporală.

Conjectura lui Schiff afirmă că orice teorie completă auto-consistentă a gravitației care include principiul echivalenței slabe (WEP) include în mod necesar și EPE . Această presupunere pare plauzibilă, cel puțin pentru teoriile în care legea conservării energiei este îndeplinită (pe de altă parte, există și contraexemple exotice pentru aceasta).

Cel mai cunoscut instrument de lucru pentru descrierea abaterilor de la EPE este așa-numitul formalism dezvoltat de Lightman și Lee în 1973. În acest caz, se ia în considerare influența câmpului gravitațional asupra vitezei maxime a particulelor și asupra vitezei de propagare a interacțiunii electromagnetice. Mai precis, se limitează la luarea în considerare a interacțiunii electromagnetice a particulelor de testare fără structură încărcate într-un câmp gravitațional static simetric sferic. În ciuda limitărilor acestui formalism, el are suficientă precizie pentru, de exemplu, a respinge teoria nonmetrică a lui Belinfante și Zweigart (1957) ca fiind incompatibilă cu datele experimentale. $TH\varepsilon\mu\;$

Teoriile gravitației, așa cum am menționat deja, pot fi metrice și nonmetrice. În teoriile metrice, traiectoriile corpurilor punctiforme în cădere liberă sunt geodezice ale metricii spațiu-timp, astfel încât aceste teorii satisfac EPE. La rândul lor, fără excepție, toate teoriile nemetrice cunoscute permit încălcări ale EPE, deși în unele teorii (de exemplu, Einstein-Cartan ) aceste abateri sunt atât de mici încât nu permit verificarea experimentală directă.

Formalism post-newtonian parametrizat (PPN)

Vezi și Predicții ale relativității generale , Misner, Thorne, Wheeler (1973) și Will (1986).

Lucrarea asupra unui formalism standard, mai degrabă decât ad-hoc, pentru testarea modelelor alternative de gravitație a fost începută de Eddington în 1922 și finalizată de Will și Nordvedt în 1972 (vezi Nordtvedt & Will (1972) și Will & Nordtvedt (1972)). Acest formalism se bazează pe fizica newtoniană și descrie mici abateri de la aceasta, descrise de un set standard de parametri PPN. Deoarece sunt studiate abaterile de la fizica newtoniană, formalismul este aplicabil numai în domenii slabe. Efectele speciale ale câmpurilor puternice trebuie studiate separat pentru fiecare teorie, care va face obiectul unor analize ulterioare.

10 parametri PPN includ: $\gamma \;,$ $\beta\;,$ $\eta \;,$ $\alpha _{1}\;,$ $\alpha _{2}\;,$ $\alpha _{3}\;,$ $\zeta _{1}\;,$ $\zeta _{2}\;,$ $\zeta _{3}\;,$ $\zeta _{4}\;:$

$\gamma\;$ este o măsură a curburii spațiului printr-o masă gravitativă, egală cu 0 în gravitația newtoniană și 1 în relativitatea generală.
$\beta\;$ este o măsură a neliniarității atunci când se aplică câmpuri gravitaționale, egală cu 1 pentru relativitatea generală.
$\eta\;$ descrie efectele unei poziții privilegiate.
$\alpha _{1}\;,$ $\alpha _{2}\;,$ $\alpha_{3}\;$ măsurați amploarea și natura efectelor unui cadru de referință preferat. Toate teoriile în care cel puțin unul dintre parametri nu este egal cu 0 se numesc teorii cu un cadru de referință privilegiat. $\alfa\;$
$\zeta _{1}\;,$ $\zeta _{2}\;,$ $\zeta _{3}\;,$ $\zeta _{4}\;,$ $\alpha_{3}\;$ descrieți abaterile de la legile globale de conservare. În teoriile gravitației care conțin un set complet de legi de conservare: 4 pentru energie-moment și 6 pentru moment unghiular, toți acești parametri trebuie să fie egali cu 0.

Câmpuri puternice și unde gravitaționale

Parametrii PPN sunt o măsură a efectelor câmpurilor gravitaționale slabe. Câmpuri puternice sunt observate în obiecte compacte, cum ar fi piticele albe , stele neutronice și găurile negre . Posibilitățile experimentale de testare a teoriilor gravitației în câmpuri puternice includ descrierea stabilității și fluctuațiilor piticelor albe și stelelor neutronice, decelerația pulsarilor , evoluția orbitelor stelelor binare apropiate (și în special a pulsarilor binari ) și orizontul găurilor negre . .

Relativitatea generală prezice anumite proprietăți ale undelor gravitaționale, în special: transversalitatea lor, două stări de polarizare , viteza undei egală cu viteza luminii și puterea radiației dintr-un sistem de corpuri astronomice. Multe teorii alternative ale gravitației, chiar și care coincid cu relativitatea generală în ceea ce privește parametrii PPN, diferă de aceasta în ceea ce privește proprietățile undelor gravitaționale. De exemplu, unele teorii duc la concluzia că viteza undelor gravitaționale este mult mai mare decât viteza luminii. Dacă da, atunci principiul cauzalității va fi încălcat sau efectul unui cadru de referință inerțial selectat în spațiul gol va avea loc, cu toate acestea, este dificil de detectat. De asemenea, diferențele în proprietățile undelor gravitaționale în astfel de teorii pot afecta mărimea rezistenței radiative (asociată cu emisia undelor gravitaționale) în sisteme binare apropiate, care a fost deja măsurată.

Controale cosmologice

Cele mai multe dintre testele cosmologice ale teoriilor gravitației au fost dezvoltate recent. Teoriile care urmăresc eliminarea materiei întunecate sunt limitate de forma curbelor de rotație ale galaxiilor , de relația Tully-Fisher , de rotația mai rapidă a galaxiilor pitice și de observațiile lentilei gravitaționale ale clusterelor de galaxii.

Pentru teoriile dezvoltate pentru a înlocui stadiul inflaționist al expansiunii Universului, un test direct este magnitudinea neomogenităților din spectrul CMB .

Teoriile care includ sau înlocuiesc energia întunecată standard trebuie să satisfacă rezultatele cunoscute privind dependența luminozității supernovelor de deplasarea cosmologică spre roșu și de vârsta Universului.

Un alt test ar putea fi planeitatea spațială observabilă a universului. În relativitatea generală, combinația de materie barionică, materie întunecată și energie întunecată poate face universul exact plat. Pe măsură ce acest rezultat este rafinat, se impun restricții asupra teoriilor care înlocuiesc materia întunecată și energia întunecată.

Rezultatele testului

Parametrii PPN pentru diverse teorii

(A se vedea Will (1986) și Nee (1972) pentru detalii. Misner, Thorne, Wheeler (1977) oferă un tabel de traduceri ale notației Nee și Will.)

Relativitatea generală se desfășoară de mai bine de 90 de ani, dar până acum toate teoriile alternative au căzut una după alta sub atacul datelor experimentale. Această poziție este cel mai clar ilustrată de formalismul post-newtonian parametrizat (PPN).

Următorul tabel conține parametrii PLO pentru multe teorii gravitaționale. Dacă valoarea din celulă se potrivește cu numele coloanei, atunci formula completă este prea complexă pentru a fi reprodusă aici.

	$\gamma$	$\beta$	$\xi$	$\alpha_{1}$	$\alpha_2$	$\alpha _{3}$	$\zeta_{1}$	$\zeta _{2}$	$\zeta _{3}$	$\zeta _{4}$
Einstein (1916) - OTO	unu	unu	0	0	0	0	0	0	0	0
Teorii scalare-tensoare
Bergmann (1968), Wagoner (1970)	$\textstyle {\frac {1+\omega }{2+\omega }}$	$\beta$	0	0	0	0	0	0	0	0
NordtVedt (1970), Bekenstein (1977)	$\textstyle {\frac {1+\omega }{2+\omega }}$	$\beta$	0	0	0	0	0	0	0	0
Brans-Dicke (1961)	$\textstyle {\frac {1+\omega }{2+\omega }}$	unu	0	0	0	0	0	0	0	0
Teorii tensorilor vectoriali
Hellings Nordtvedt (1973)	$\gamma$	$\beta$	0	$\alpha_{1}$	$\alpha_2$	0	0	0	0	0
Will Nordtvedt (1972)	unu	unu	0	0	$\alpha_2$	0	0	0	0	0
Teorii bimetrice
Rosen (1975)	unu	unu	0	0	$c_{0}/c_{1}-1$	0	0	0	0	0
Rastall (1979)	unu	unu	0	0	$\alpha_2$	0	0	0	0	0
Lightman Lee (1973)	$\gamma$	$\beta$	0	$\alpha_{1}$	$\alpha_2$	0	0	0	0	0
Teorii stratificate
Lee Lightman Ni (1974)	$ac_{0}/c_{1}$	$\beta$	$\xi$	$\alpha_{1}$	$\alpha_2$	0	0	0	0	0
Ni (1973)	$ac_{0}/c_{1}$	$bc_{0}$	0	$\alpha_{1}$	$\alpha_2$	0	0	0	0	0
Teorii scalare
Einstein (1912) (Nu GR!)	0	0		−4	0	−2	0	−1	0	0†
Whitrow Morduch (1965)	0	−1		−4	0	0	0	−3	0	0†
Rosen (1971)	$\lambda$	$\textstyle {\frac {3}{4}}+\textstyle {\frac {\lambda }{4}}$		$-4-4\lambda$	0	−4	0	−1	0	0
Papetrou (1954a, 1954b)	unu	unu		−8	−4	0	0	2	0	0
Ni (1972) (stratificat)	unu	unu		-opt	0	0	0	2	0	0
Yilmaz (1958, 1962)	unu	unu		−8	0	−4	0	−2	0	−1†
Page-Tupper (1968)	$\gamma$	$\beta$		$-4-4\gamma$	0	$-2-2\gamma$	0	$\zeta _{2}$	0	$\zeta _{{4}}$
Nordström (1912)	−1	$\textstyle {\frac 12}$		0	0	0	0	0	0	0†
Nordström (1913), Einstein-Fokker (1914)	−1	$\textstyle {\frac 12}$		0	0	0	0	0	0	0
Ni (1972) (plat)	−1	1− q		0	0	0	0	$\zeta _{2}$	0	0†
Whitrow Morduch (1960)	−1	1− q		0	0	0	0	q	0	0†
Littlewood (1953), Bergman (1956)	−1	$\textstyle {\frac 12}$		0	0	0	0	−1	0	0†

† Teoria este incompletă și poate lua două sensuri. Este afișată valoarea cea mai apropiată de 0. $\zeta _{{4}}$

Toate rezultatele experimentale privind mișcarea planetelor mari și mici și a sateliților pentru 2007 sunt în concordanță cu relativitatea generală, astfel încât formalismul PPN exclude imediat toate teoriile scalare prezentate în tabel.

Lista completă a parametrilor PPN este necunoscută pentru teoria lui Whitehead (1922), Deser-Loren (1968) și Bollini-Giambini-Thiomno (1970), dar pentru ei , care contrazice direct GR și experiment. În special, aceste teorii prezic amplitudinea greșită a mareelor Pământului. $\beta=\xi$

Teorii care eșuează alte teste

Toate teoriile nonmetrice cunoscute, cum ar fi cele ale lui Belinfante și Zweigart (1957a, 1957b), cu excepția teoriei Einstein-Cartan , contrazic restricțiile experimentale privind validitatea principiului de echivalență al lui Einstein.

Teoriile stratificate ale lui Nee (1973), Lee, Lightman și Nee (1974) și alții nu prezic schimbarea periheliului lui Mercur.

Teoriile bimetrice ale lui Lightman și Lee (1973), Rosen (1975) și Rastall (1979) nu trec testul în câmpuri gravitaționale puternice.

Teoriile scalare-tensoare includ relativitatea generală ca un caz limitativ special, dar sunt în concordanță cu parametrii săi PST numai atunci când acestea coincid cu relativitatea generală. Pe măsură ce verificările experimentale devin mai precise, abaterile teoriilor scalare-tensoare de la relativitatea generală dispar.

Același lucru este valabil și pentru teoriile vector-tensori. Mai mult, teoriile vector-tensorilor sunt semi-conservative; au o valoare diferită de zero , care ar putea provoca efecte măsurabile în mareele pământului. $\alpha_2$

Aceste considerații nu lasă teorii ca alternative plauzibile la relativitatea generală (cu excepția poate teoriei lui Cartan (1922), care poate încălca EPP).

Aceasta a fost situația în momentul în care descoperirile în cosmologie au declanșat dezvoltarea alternativelor moderne.

Teorii moderne: din anii 1980. până în prezent

Această secțiune descrie alternative la relativitatea generală dezvoltate după publicarea observațiilor privind rotația diferențială a galaxiilor, conducând la ipoteza „ materiei întunecate ”.

O comparație detaliată a acestor teorii cu totalitatea datelor experimentale nu a fost efectuată.

Teoriile descrise includ teoriile lui Bekenstein (2004) și 3 teorii ale lui Moffat : (1995), (2002) și (2005a, b). Acestea includ o constantă cosmologică sau un potențial scalar sau vectorial suplimentar care îndeplinește aceeași funcție.

Motive pentru apariția noilor teorii

Motivele dezvoltării numărului principal de noi alternative la relativitatea generală sunt observațiile astronomice din ultimii ani, care au condus la necesitatea introducerii unor concepte precum „inflație”, „materie întunecată” și „energie întunecată” în astrofizică și cosmologie. bazată pe teoria generală a relativității. Noile teorii încearcă să descrie aceleași date experimentale fără a folosi astfel de concepte care le par creatorilor acestor teorii a fi eronate sau artificiale. Ideea principală este că gravitația ar trebui să fie în concordanță cu relativitatea generală în cel puțin sistemul solar în epoca actuală, dar poate fi semnificativ diferită la scara galactică și dincolo, precum și în universul timpuriu.

Noțiunea s-a răspândit treptat în rândul fizicienilor că scenariul clasic Big Bang a întâmpinat dificultăți, dintre care cele două cele mai grave au fost problema orizontului și observația că în universul foarte timpuriu, pe vremea când trebuia să se formeze quarcurile , pur și simplu exista " t suficient spațiu pentru ca universul să conțină cel puțin un quark. Pentru a depăși aceste dificultăți, a fost dezvoltat modelul inflaționist . Alternativa sa a fost o serie de teorii în care viteza luminii în universul timpuriu era mai mare decât este acum.

Descoperirea comportamentului specific al curbelor de rotație ale galaxiilor a fost o surpriză pentru comunitatea științifică. Au apărut două alternative: fie există mult mai multă materie neluminoasă în Univers decât se credea anterior, fie teoria gravitației în sine este incorectă la scară largă. Opinia predominantă în prezent este prima opțiune cu așa-numita „materie întunecată rece”, dar calea spre recunoașterea realității ei a fost prin diverse încercări de a dezvolta o teorie a gravitației care să nu necesite mase invizibile în plus față de observabile, iar acestea teoriile își au încă fani printre fizicieni și astronomi.

Descoperirea expansiunii accelerate a universului de către grupul lui Perlmutter a condus la o renaștere rapidă a ideii de constantă cosmologică, precum și a chintesenței ca alternativă la aceasta. Cel puțin o nouă teorie a gravitației a fost dezvoltată pentru a explica rezultatele lui Perlmutter dintr-o perspectivă complet diferită.

Un alt rezultat experimental recent care generează interes pentru teoriile non-GR este anomalia Pioneer . S-a descoperit foarte repede că teoriile alternative ale gravitației ar putea explica caracteristicile calitative ale efectului observat, dar nu și amploarea acestuia. Orice model cunoscut care reproduce cu acuratețe anomalia se abate puternic de la relativitatea generală și, ca urmare, contrazice alte rezultate experimentale [14] . În plus, există date preliminare care indică faptul că efectul poate fi cauzat de radiația termică neuniformă a diferitelor elemente structurale ale acestor dispozitive [15] .

Constanta cosmologica si chintesenta

(vezi și Constanta cosmologică , acțiunea Einstein-Hilbert , Quintessence (cosmologie) )

Constanta cosmologică din ecuațiile lui Einstein este o idee foarte veche care se întoarce la Einstein însuși (1917). Succesul modelului lui Friedmann al Universului , în care [16] , a dus la predominarea opiniei că acesta este egal cu zero, dar rezultatele lui Perlmutter privind accelerarea expansiunii Universului au dat un nou suflu. $\lambda\;$ $\lambda=0\;$ $\Lambda \neq 0\;$

Să luăm mai întâi în considerare modul în care constanta cosmologică afectează ecuațiile gravitației newtoniene și ale relativității generale, apoi vom schița posibilitățile includerii acesteia în alte teorii ale gravitației.

În teoria lui Newton, adunarea schimbă ecuația Newton-Poisson din $\lambda\;$

\nabla ^{2}\phi =4\pi \rho \;

inainte de

\nabla ^{2}\phi -\Lambda \phi =4\pi \rho \;.

În relativitatea generală, introducerea termenului cosmologic schimbă acțiunea Einstein-Hilbert din

S={1 \over 16\pi G}\int R{\sqrt {-g}}d^{4}x+S_{m}\;

inainte de

S={1 \over 16\pi G}\int (R-2\Lambda ){\sqrt {-g}}d^{4}x+S_{m}\;,

cu o modificare corespunzătoare a ecuaţiilor de câmp din

T^{{\mu \nu }}={1 \over 8\pi G}(R^{{\mu \nu }}-g^({\mu \nu }}R/2)\;

inainte de

T^{{\mu \nu }}={1 \over 8\pi G}(R^{{\mu \nu }}-g^({\mu \nu }}R/2+\Lambda g^ {{\mu \nu )))\;.

În teoriile metrice alternative ale gravitației, această constantă poate fi introdusă într-un mod complet similar.

Constanta cosmologică nu este singura modalitate de a obține accelerarea expansiunii universului în relativitatea generală și în teoriile alternative ale gravitației. Rolul său poate fi jucat cu succes de potențialul scalar din teoriile scalar-tensorilor. În general, dacă teoria conține un câmp gravitațional scalar , atunci adăugarea unui termen la partea gravitațională a acțiunii poate, pentru diferite tipuri de această funcție, să reproducă orice istorie predeterminată a expansiunii cosmologice. Considerațiile de simplitate și naturalețe conduc la dependențe astfel încât accelerația expansiunii este mare în Universul timpuriu și scade până în epoca actuală. Acest domeniu se numește chintesență. $\lambda (\varphi )\;$ $\varphi \;,$ $\lambda (\varphi )\;$ $\lambda (\varphi )\;$ $\varphi\;$

O tehnică similară funcționează și în cazul câmpurilor gravitaționale vectoriale, care apar în teoria lui Rastall (1979) și în teoriile vector-tensori. Adăugarea unui termen la acțiunea gravitațională duce la o imitare a constantei cosmologice. $K^{\mu }K^{\nu }g_{{\mu \nu }}\;$

MOND relativist (dinamică newtoniană modificată)

(A se vedea Dinamica newtoniană modificată , Teoria gravitației scalare-vector-tensoare și Bekenstein (2004) pentru mai multe detalii).

Teoria originală MOND a fost dezvoltată de Milgrom în 1983 ca o alternativă la „materia întunecată”. Abaterile de la natura newtoniană a gravitației ( ) se observă la o anumită accelerație, și nu la o anumită distanță. MOND explică cu succes relațiile Tully-Fisher: luminozitatea unei galaxii se schimbă proporțional cu puterea a patra a vitezei sale de rotație. Această teorie arată, de asemenea, de ce abaterile de la modelul de rotație așteptat sunt cele mai mari în galaxiile pitice. $F\sim r^{-2)$

Teoria originală avea mai multe defecte:

i. Nu includea efecte relativiste. ii. A încălcat legile conservării energiei, impulsului și momentului unghiular. iii. Era auto-contradictoriu, deoarece a prezis diferite orbite galactice pentru gaze și stele. iv. A făcut imposibilă calcularea lentilei gravitaționale a clusterelor de galaxii.

În 1984 probleme ii. și iii. au fost rezolvate prin găsirea formei lagrangiane a acestei teorii (în engleză AQUAL). Versiunea relativistă a Lagrangianului obținut, corespunzătoare teoriei scalar-tensorilor, a fost respinsă, deoarece a dat unde de câmp scalar care se propagă mai repede decât viteza luminii. Lagrangianul non-relativist are următoarea formă:

L=-{a_{0}^{2} \over 8\pi G}f\left\lbrack {|\nabla \varphi |^{2} \over a_{0}^{2}}\right\rbrack -\rho\varphi\;.

Versiunea sa relativistă

L=-{a_{0}^{2} \over 8\pi G}{\tilde f}(L^{2}g^({\mu \nu }}\partial _{\mu }\phi \ parțial _{\nu }\phi )\;

are un termen de masă nestandard. Aici , și sunt funcții arbitrare limitate doar de cerințele comportamentului corect al teoriei în limitele Newtonian și MOND. $f\;$ $\tilde f$

În 1988, a fost propusă o versiune a teoriei cu un câmp scalar suplimentar (ing. PCC), rezolvând problemele versiunii anterioare, dar predicțiile acesteia s-au dovedit a fi contradictorii cu datele privind deplasarea periheliei lui Mercur și gravitaționale. lentilă de către galaxii și clusterele lor.

În 1997, MOND a fost încorporat cu succes în teoria stratificată relativistă a lui Sanders, dar această teorie, ca orice teorie stratificată, are probleme semnificative cu efectele cadrelor de referință selectate.

Bekenstein (2004) a creat un model tensor-vector-scalar (TeVeS). Are două câmpuri scalare și , precum și un câmp vectorial . Acțiunea este împărțită în părți gravitaționale, scalare, vectoriale și materiale. $\varphi\;$ $\sigma \;,$ $U_{\alpha }\;.$

S=S_{g}+S_{s}+S_{v}+S_{m}\;.

Partea gravitațională este aceeași ca în relativitatea generală,

S_{s}=-\textstyle {\frac {1}{2}}\int [\sigma ^{2}h^{\alpha \beta }\varphi _{,\alpha }\varphi _{ ,\beta }+\textstyle {\frac {1}{2}}Gl^{-2}\sigma ^{4}F(kG\sigma ^{2})]{\sqrt {-g}}d^ {4}x\;,

S_{v}=-{K \over 32\pi G}\int [g^{{\alpha \beta }}g^{{\mu \nu }}U_{{[\alpha ,\mu ]}} U_{{[\beta ,\nu ]}}-2(\lambda /K)(g^{\mu }\nu U_{\mu }U_{n}u+1)]{\sqrt {-g} }d^{4}x\;,

S_{m}=\int L({\tilde g}_{{\mu \nu )),f^{\alpha },f_{{|\mu ))^{\alpha },\cdots ){\ sqrt {-g}}d^{4}x\;,

unde, prin definiție , , este lungimea caracteristică și sunt constante, parantezele pătrate din jurul indicilor denotă antisimetrizare, este factorul Lagrangian , și este Lagrangianul convertit din spațiu-timp plat la curbat arbitrar cu metrica . $h^{{\alpha \beta }}=g^{{\alpha \beta }}-U^{\alpha }U^{\beta }\;$ $l\;$ $k\;$ $K\;$ $U_{{[\alpha ,\mu ]}}\;$ $\lambda\;$ ${\tilde g}^{{\alpha \beta }}=e^{{2\phi }}g^{{\alpha \beta }}+2U^{\alpha }U^{\beta }\operatorname { sh}(2\varphi )\;$ $L\;$ ${\tilde g}^{{\alpha \beta }}\;$

$F\;$ este din nou o funcție arbitrară și a fost dată ca exemplu de funcție care oferă comportamentul asimptotic corect; rețineți că pentru această funcție este nedefinită. $F(\mu )=\textstyle {\frac 34}{\mu ^{2}(\mu -2)^{2} \over 1-\mu }\;$ $\mu=1\;$

Datele privind statisticile lentilei gravitaționale slabe, publicate în 2010, contrazic modelul original Bekenstein și, de asemenea, are dificultăți în explicarea efectelor în ciocnirea galaxiilor [17] .

Teoriile lui Moffat ale gravitației

În 1995, Moffat a dezvoltat o teorie nonmetrică asimetrică a gravitației (NTG). S-a susținut că îi lipsesc orizonturile găurilor negre, dar Burko și Ori (1995) au arătat că nu este cazul, iar găurile negre pot exista într-o astfel de teorie a gravitației.

Moffat a susținut mai târziu că teoria sa a explicat curbele de rotație ale galaxiilor fără a implica „materia întunecată”. Damour, Dezer și McCarthy (1993) au criticat NTG pentru comportament asimptotic inacceptabil.

Formularea matematică a teoriei nu este dificilă, ci complicată, astfel încât ceea ce urmează este doar o scurtă schiță. Teoria introduce un tensor asimetric, iar densitatea lagrangiană este împărțită în două părți: gravitațională și materială. $g_{{\mu \nu }}\;$

L=L_{R}+L_{M}\;,

mai mult, Lagrangianul materiei are aceeași formă ca în relativitatea generală și $L_{M}\;$

L_{R}={\sqrt {-g}}[R(W)-2\lambda -\textstyle {\frac 14}\mu ^{2}g^({\mu \nu }}g_{{[ \mu \nu ]}}]-\textstyle {\frac 16}g^({\mu \nu }}W_{\mu }W_{\nu }\;,

unde este un termen de curbură similar dar nu identic cu curbura scalară a lui GR și sunt constante cosmologice, este partea antisimetrică și este o conexiune obținută într-un mod recursiv specific. Ca prima aproximare $R(W)\;$ $\lambda\;$ $\mu ^{2}\;$ $g_{{[\nu \mu ]}}\;$ $g_{{\nu \mu }}\;,$ $W_{\mu }\;$ $W_{\mu }\approx -2g_{{[\mu \nu ]}}^{{,\nu }}\;.$

Teoria lui Moffat (2002) este susținută de autorul său ca fiind o teorie bimetrică scalar-tensorială a gravitației și una dintre multele teorii în care viteza luminii era mai mare în universul timpuriu. Aceste teorii sunt aduse la viață, în special, de dorința de a evita „problema orizontului” fără a invoca inflația. Constanta gravitațională din această teorie este variabilă, în plus, încearcă să explice lipsa de luminozitate a supernovelor în termeni care nu includ accelerarea expansiunii Universului, riscând astfel să prezică un timp prea scurt pentru existența Universului. . $G\;$

Într-un sens general, această teorie pare neconvingătoare. Acțiunea este împărțită în părți gravitaționale, scalare și materiale. Ecuațiile câmpului gravitațional și scalar coincid cu ecuațiile standard ale teoriei Brans-Dicke cu o constantă cosmologică și un potențial scalar, dar includ metrica Minkowski. Numai termenul material folosește o metrică non-plată, adică

g_{{\mu \nu }}=\eta _{{\mu \nu }}+B\partial _{\mu }\varphi \partial _{\nu }\varphi \;,

unde are dimensiunea pătratului lungimii. Această teorie cel puțin nu trece testul pentru invarianța Lorentz și deviația luminii într-un câmp gravitațional. $B\;$

Teoria metrică a tensoriilor antisimetrice ( Moffat (2005a)) prezice curbele de rotație ale galaxiilor fără a invoca conceptele de „materie întunecată” sau MOND și se spune că poate explica cu succes lentila gravitațională și în grupurile de galaxii. Are o variabilă , care crește până la valoarea actuală finală la aproximativ un milion de ani după Big Bang. $G\;$

Această teorie conține câmpuri tensorale și vectoriale antisimetrice . Acțiunea include 4 termeni: gravitațional, câmp, interacțiuni și material $A_{{\mu \nu }}\;$ $J_{\mu }\;$

S=S_{G}+S_{F}+S_{{FM}}+S_{M}\;.

Termenii gravitației și materiei coincid cu cei din relativitatea generală cu o constantă cosmologică. Acțiunea câmpului și termenul de interacțiune al câmpului antisimetric cu materia au forma:

S_{F}=\int d^{4}x{\sqrt {-g}}(\textstyle {\frac 1{12}}F_({\mu \nu \rho }}F^{{\mu \ nu \rho }}-\textstyle {\frac 14}\mu ^{2}A_({\mu \nu }}A^({\mu \nu }})\;,

S_{{FM}}=\int d^{4}x\epsilon ^({\alpha \beta \mu \nu }}A_{{\alpha \beta }}\partial _{\mu }J_{\nu }\;,

Unde

F_{{\mu \nu \rho }}=\partial _{\mu }A_{{\nu \rho }}+\partial _{\rho }A_{{\mu \nu }}\;,

a este simbolul lui Levi-Civita . Interacțiunea are o formă Pauli și este invariantă de gauge pentru orice sursă de curent, care la rândul său arată ca un câmp fermionic material , asociat cu numărul barionului și leptonului . $\epsilon ^{{\alpha \beta \mu \nu }}\;$

Teoria gravitației scalar-tensor-vector a lui Moffat (2005b) conține tensor, vector și trei câmpuri scalare , , , dar ecuațiile sale de câmp sunt destul de simple. Acțiunea este împărțită în părți gravitaționale, vectoriale, scalare și materiale: $K_{\mu }$ $G\;$ $\omega\;$ $\mu\;$

S=S_{G}+S_{K}+S_{S}+S_{M}\;.

$S_{G}\;$ are o formă standard, cu excepția introducerii unui multiplicator sub integrală $G\;.$

S_{K}=-\int d^{4}x{\sqrt {-g))\omega (\textstyle {\frac 14}B_({\mu \nu ))B^{{\mu \nu } }+V(K))\;,

Unde $B_{{\mu \nu }}=\partial _{\mu }K_{\nu }-\partial _{\nu }K_{\mu }\;,$

S_{S}=-\int d^{4}x{\sqrt {-g}}({1 \over G^{3}}({\frac 12}g^{{\mu \nu }}\ nabla _{\mu }G\nabla _{\nu }GV(G))+

{\quad ^{{}}}+{1 \over G}({\frac 12}g^{{\mu \nu }}\nabla _{\mu }\omega \nabla _{\nu }\omega -V(\omega ))+

{\quad ^{{}}}+{1 \over \mu ^{2}G}({\frac 12}g^{{\mu \nu }}\nabla _{\mu }\mu \nabla _ {\nu }\mu -V(\mu )))\;.

Potențialul pentru câmpul vectorial este ales în următoarea formă:

V(K)=-\textstyle {\frac 12}\mu ^{2}\varphi ^{\mu }\phi _{\mu }-\textstyle {\frac 14}g(\varphi ^{\mu } \varphi _{\mu })^{2}\;,

unde este constanta de cuplare. Funcțiile potențiale ale câmpurilor scalare nu au fost specificate. $g\;$

Note

↑ Bronshten V. A. Cum se mișcă Luna? - M .: Știință. Ch. ed. Fiz.-Matematică. lit., 1990. - 208 p. - 117.000 de exemplare. — ISBN 5-02-014071-6 .
↑ Bogorodsky A.F. Capitolul 2 // Gravitația universală. - Kiev: Naukova Dumka, 1971. - 128 p. - 6600 de exemplare.
↑ Comerciant G.-Yu. Capitolul I // Relativitatea inerției = Hans-Jürgen Treder. Die Relativitate der Tragheit. Berlin, 1972 / Per. cu el. K. A. Bronnikova. Sub redacția prof. K. P. Staniukovici. - M . : Atomizdat, 1975. - 128 p. - 6600 de exemplare.
↑ Gerber, P. Die räumliche und zeitliche Ausbreitung der Gravitation (germană) // Zeitschrift für mathematische Physik. - 1898. - T. 43 . - S. 93-104 .
↑ Zenneck, J. Gravitația (germană) // Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen. - 1903. - T. 5 . - S. 25-67 . (link indisponibil)
↑ Rosever N. T. Periheliul lui Mercur. De la Le Verrier la Einstein = Roseveare NT Perigeliul lui Mercur de la Le Verrier la Einstein / Per. din engleza. A. S. Rastorguev, ed. V. K. Abalakina. — M .: Mir, 1985. — 246 p. — 10.000 de exemplare.
↑ Lorentz, H.A. Considerații asupra gravitației (neopr.) // Proc. Acad. Amsterdam. - 1900. - T. 2 . - S. 559-574 .
↑ Pais, Abraham. (1989) Activitatea științifică și viața lui Albert Einstein. Pe. din engleza. V. I. și O. I. Matsarskikh; Ed. A. A. Logunova. - M.: Nauka, 1989. - 566, [1] p., [4] p. ill., 22 cm - ISBN 5-02-014028-7 . Traducere în limba rusă a cărții Pais, Abraham. „Sutil este Domnul...”: ȘTIINȚA ȘI VIAȚA LUI Albert EINSTEIN. — OXFORD UNIVERSITY PRESS, 1982.
↑ 1 2 Vizgin V.P. Capitolul I, secțiunea 2. // Teoria relativistă a gravitației (origini și formare. 1900-1915). — M .: Nauka, 1981. — 352 p. - 2000 de exemplare.
^ Walter, S. (2007), Breaking in the 4-vectors: the four-dimensional movement in gravitation, 1905–1910 , în Renn, J., The Genesis of General Relativity (Berlin: Springer) . — T. 3: 193–252
↑ Există și o ediție ulterioară în limba engleză a lui Will (1993).
↑ Formularea de mai sus a principiului nu corespunde pe deplin cu afirmațiile originale ale lui Mach, vezi articolul Principiul lui Mach pentru mai multe detalii.
↑ Will (1986) enumeră această teorie ca fiind una bimetrică, deși poate fi clasificată și ca o teorie vectorială.
↑ L. Iorio și J. Giudice, Ce ne spun mișcările orbitale ale planetelor exterioare ale Sistemului Solar despre anomalia Pioneer? New Astronomy 11 (2006) 600
↑ Se găsește motivul pentru accelerarea anormală a Pionierilor . Data accesului: 31 ianuarie 2012. Arhivat din original pe 20 noiembrie 2011. (nedefinit)
↑ Cele două lucrări cosmologice seminale ale lui Friedman consideră soluții generale corespunzătoare . $\Lambda \neq 0\;$
↑ Einstein a trecut testul cosmic: Nature News . Consultat la 10 februarie 2011. Arhivat din original pe 21 aprilie 2011. (nedefinit)

Literatură

Gilbert D. (1915) FUNDAMENTELE FIZICII (Primul mesaj) // Albert Einstein și teoria gravitației / Per. cu germana, engleza, franceza - M .: Mir, 1979. - S. 133-145.
Traducere în limba rusă a lui
Hilbert D. Die Grundlagen der Physik // Nachrichten K. Gesellschaft Wiss. Göttingen, Math.-phys. Klasse, 1915, Heft 3, S. 395.
Vizgin V. P. Teoria relativistă a gravitației (origini și formare, 1900-1915). — M.: Nauka, 1981. — 352 p.
Vizgin V.P. Teorii unificate în prima treime a secolului XX. — M.: Nauka, 1985. — 304 p.
Pais A. Activitatea științifică și viața lui Albert Einstein / Per. din engleza. V. I. și O. I. Matsarskikh; Ed. A. A. Logunova. - M.: Nauka, 1989. - 566, [1] p. — ISBN 5-02-014028-7 .
Traducere în limba rusă a cărții
Pais, Abraham. „Sutil este Domnul...”: ȘTIINȚA ȘI VIAȚA LUI Albert EINSTEIN. — OXFORD UNIVERSITY PRESS, 1982.
Will K. Teoria și experimentul în fizica gravitațională / Per. din engleza. — M.: Energoatomizdat , 1985. — 296 p.
Traducere în limba rusă a cărții
Will, Clifford M. Theory and Experiment in Gravitational Physics. — Cambridge University Press, 1981.
Există o ediție ulterioară în limba engleză, vezi Will (1993).
Barker, BM (1978) Teoria generală a gravitației scalare-tensoare cu constanta G, The Astrophysical Journal 219, 5, http://adabs.harvard.edu/abs/1978ApJ…219…5B (link indisponibil)
Bekenstein, JD (1977) Masele în repaus ale particulelor sunt variabile? Physical Review D 15, 1458-1468, http://prola.aps.orh/pdf/PRD/v15/i6/p1458_1 (link indisponibil)
Bekenstein, JD (2004) Teoria gravitației revizuită pentru paradigma dinamică newtoniană modificată. Fiz. Rev. D70, 083509
Belinfante, FJ și Swihart, JC (1957a) Teoria liniară fenomenologică a gravitației Partea I, Ann. Fiz. 1, 168
Belinfante, FJ și Swihart, JC (1957b) Teoria liniară fenomenologică a gravitației Partea II, Ann. Fiz. 2, 196
Bergman, O. (1956) Teoria câmpului scalar ca teorie a gravitației, Amer. J Phys. 24, 39
Bergmann, PG (1968) Comentarii asupra teoriei scalar-tensorilor, Int. J. Theor. Fiz. 1, 25-36
Birkhoff, GD (1943) Materia, electricitatea și gravitația în spațiu-timp plat. Proc. Nat Acad. sci. US 29, 231-239
Bollini, CG, Giambiaga, JJ și Tiomno, J. (1970) A linear theory of gravitation, Nuovo Com. Lett. 3, 65-70
Brans, C. și Dicke, RH (1961) Principiul lui Mach și o teorie relativistă a gravitației. Fiz. Rev. 124, 925-935
Burko, Lior M. & Ori, Amos (1995) Observații privind formarea găurilor negre în gravitația nesimetrică. http://arxiv.org/abs/gr-qc/9507009
Cartan, E. (1922) Sur une generalization de la notion de courbure de Riemann st les espaces a torsion. Acad. sci. Paris, Comptes Rend. 174, 593-595
Cartan, E. (1923) Sur les varietes a connection affine et la theorie de la relativite generalisee. Annales Scientifiques de l'Ecole Normale Superieure Ser. 3, 40, 325-412. http://archive.numdam.org/article/ASENS_1923_3_40__325_0.pdf
Damour, T., Deser, S. & MaCarthy, J. (1993) Gravitația nesimetrică are asimptotice inacceptabile, http://arxiv.org/PS_cache/qr-qc/pdf/9312/9312030/pdf (link indisponibil)
Deser, S. și Laurent, B.E. (1968) Gravitație fără auto-interacțiune, Annals of Physics 50, 76-101
Einstein, A. (1912a) Lichtgeschwindigkeit und Statik des Gravitationsfeldes. Annalen der Physik 38, 355-369
Einstein, A. (1912b) Zur Theorie des statischen Gravitationsfeldes. Annalen der Physik 38, 443
Einstein, A. și Grossmann, M. (1913), Z. Math Physik 62, 225
Einstein, A. și Fokker, AD (1914) Die Nordstromsche Gravitationstheorie vom Standpunkt des absoluten Differentkalkuls. Annalen der Physik 44, 321-328
Einstein, A. (1916) Annalen der Physik 49, 769
Einstein, A. (1917) Uber die Spezielle und die Allgemeinen Relativatatstheorie, Gemeinverstandlich, Vieweg, Braunschweig
Fierz, M. și Pauli, W. (1939) Despre ecuațiile de undă relativiste pentru particule cu spin arbitrar într-un câmp electromagnetic. Proc. Royal Soc. Londra 173, 211-232
Hellings, WH și Nordtveldt Jr, K. (1973) Teoria vector-metrică a gravitației, Physical Review D 7, 3593-3602, http://prola.aps.org/pdf/PRD/v7/i12/p3593_1
Ivanenko, D. și Sardanashvily G. (1983) Gauge treatment of gravitation, Physics Reports 94, 1-45
Jordan, P. (1955) Schwerkraft und Weltall, Vieweg, Braunschweig
Kustaanheimo, P. (1966) Route dependence of the gravitational redshift. Fiz. Lett. 23, 75-77
Kustaanheimo, P.E. și Nuotio, V.S. (1967) Publ. Astron. obs. Helsinki nr. 128
Lang, R. (2002) Fundamentele experimentale ale relativității generale, http://www.mppmu.mpg.de/~rlang/talks/melbourne2002.ppt Arhivat la 1 martie 2008 la Wayback Machine
Lee, DL, Lightman, AP și Ni, WT (1974) Legi de conservare și principii variaționale în teoriile metrice ale gravitației, Physical Review D 10, 1685-1700, http://prola.aps.org/pdf/PRD/v10/ i6/p1695_1 (link indisponibil)
Lightman, AP și Lee, DL (1973), New two-metric theory of gravitation with antecedente geometrie, Physical Review D 8, 3293-3302, http://prola.aps.org/pdf/PRD/v8/i10/p3293_1
Littlewood, D.E. (1953) Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 49, 90-96
Milne E.A. (1948) Kinematic Relativity, Clarendon Press, Oxford
Misner, CW, Thorne, KS și Wheeler, JA (1973) Gravitation, W. H. Freeman & Co.
Moffat, JW (1995) Teoria gravitațională nonsymmetric, http://arxiv.org/PS_cache/qr-qg/pdf/9411/9411006.pdf (link indisponibil)
Moffat, JW (2002) Teoria gravitației bimetrice, variația vitezei luminii și atenuarea supernovelor, http://arxiv.org/PS_cache/qr-qg/pdf/0202/0202012.pdf (link mort)
Moffat, JW (2005a) Teoria gravitațională, curbele de rotație a galaxiilor și cosmologie fără materie întunecată, http://arxiv.org/PS_cache/qr-qg/pdf/0412/0412195.pdf (link indisponibil)
Moffat, JW (2005b) Teoria gravitației scalare-tensor-vector, http://arxiv.org/PS_cache/qr-qg/pdf/0506/0506021.pdf (link indisponibil)
Newton, I. (1686) Philosopiae Naturalis Principia Mathematica
Ni, W.T. (1972) Cadre teoretice pentru testarea gravitației relativiste IV, The Astrophysical Journal 176, 769-796
Ni, W.T. (1973) O nouă teorie a gravitației, Physical Review D 7, 2880-2883
Nordtvedt Jr, K. (1970) Metrica post-newtoniană pentru o clasă generală de teorii gravitaționale scalare-tensoare cu consecințe observaționale, The Astrophysical Journal 161, 1059
Nordtvedt Jr, K. și Will CM (1972) Legi de conservare și cadre preferate în gravitația relativistă II, The Astrophysical Journal 177, 775
Nordstrom, G. (1912), Relatiovitatsprinzip und Gravitation. Fiz. Zeitschr. 13, 1126
Nordstrom, G. (1913), Zur Theorie der Gravitation vom Standpunkt des Relativitatsprinzips, Annalen der Physik 42, 533
Pais, A. (1982) Subtil este Domnul, Clarendon Press
Page, C. și Tupper, BOJ (1968) Teorii gravitaționale scalare cu viteză variabilă a luminii, Mon. Nu. R. Astr. soc. 138, 67-72
Papapetrou, A. (1954a) Zs Phys., 139, 518
Papapetrou, A. (1954b) Math. Nach., 12, 129 & Math. Nach., 12, 143
Poincare, H. (1908) Știință și Metodă
Rastall, P. (1979) The Newtonian theory of gravitation and its generalization, Canadian Journal of Physics 57, 944-973
Rosen, N. (1971) Teoria gravitației, Physical Review D 3, 2317
Rosen, N. (1973) A bimetric theory of gravitation, General Relativity and Gravitation 4, 435-447.
Rosen, N. (1975) A bimetric theory of gravitation II, General Relativity and Gravitation 6, 259-268, http://www.springerlink.com/content/1778634236421720/fulltext.pdf (link indisponibil)
Scherrer, W. (1941) Zur Theorie der Elementarteilchen. Verhandlungen der Schweizer Naturforschenden Gesellschaft 121, 86-87.
Thiry, Y. (1948) Les equations de la theorie unitaire de Kaluza, Comptes Rendus Acad. Sci (Paris) 226, 216
Trautman, A. (1972) Despre ecuațiile Einstein-Cartan I, Bulletin de l'Academie Polonaise des Sciences 20, 185-190
Turyshev, SG (2007) Teste ale gravitației relativiste în secolul 21: istorie, progres recent și direcții viitoare, http://www.zarm.uni-bremen.de/Q2C2/presentations/turyshev.pdf Arhivat la 1 martie 2008 la Wayback Mașinărie
Waggoner, RV (1970) Teoria scalar-tensorilor și undele gravitaționale, Physical Review D 1, 3209-3216, http://prola.aps.org/pdf/PRD/v1/i12/p3209_1
Whitehead, A.N. (1922) The Principles of Relativity, Cambridge Univ. presa
Whitrow, GJ și Morduch, G.E. (1960) Relativitate generală și teorii Lorentz-invariante ale gravitațiilor, Nature 188, 790-794
Whitrow, GJ și Morduch, G.E. (1965) Teorii relativiste ale gravitației, Vistas in Astronomy 6, 1-67
Will, CM (1981, 1993) Teoria și experimentul în fizica gravitațională, Cambridge Univ. presa
Will, CM (2001) The Confrontation between General Relativity and Experiment, http://www.livingreviews.org/Articles/Volume4/2001-4will
Will, CM și Nordtvedt Jr, K. (1972) Legi de conservare și cadre preferate în gravitația relativistă I, The Astrophysical Journal 177, 757
Yilmaz, H. (1958) Noua abordare a relativitatii generale, Phys. Rev. 111, 1417
Yilmaz, H. (1973) Noua abordare a relativității și gravitației, Annals of Physics 81, 179-200

Link -uri

Will, Clifford M. (27-03-2006). „Confruntarea dintre relativitatea generală și experiment” . Recenzii vii în relativitate . 9 (1): 3.arXiv : gr-qc/0510072 . Cod biblic : 2006LRR .....9....3W . DOI : 10.12942/lrr-2006-3 . ISSN 2367-3613 . PMC 5256066 . PMID28179873 . _