Trunchiere completă (geometrie)

În geometria euclidiană, îndreptarea sau trunchierea completă este procesul de trunchiere a unui poliedru prin marcarea mijlocului tuturor marginilor sale și tăierea tuturor vârfurilor până la aceste puncte [1] . Poliedrul rezultat va fi delimitat de fațete (fațete de dimensiunea n-1, în spațiul tridimensional acestea sunt poligoane) de forme de vârf și fațete trunchiate ale poliedrului original. Operația de îndreptare primește simbolul cu o singură literă r . Deci, de exemplu, r {4,3} este un cub rectificat, i.e. cuboctaedru.

Conway folosește notația ambo pentru această operație . În teoria grafurilor, această operație creează un graf din mijloc .

Un exemplu de îndreptare ca etapă finală a trunchierii muchiei

Trunchierea completă este etapa finală a procesului de trunchiere. Figura prezintă cele patru etape ale unui proces de trunchiere continuă de la un cub obișnuit la o stare complet trunchiată:

Grade mai mari de trunchiere completă

Pe poliedre regulate de dimensiuni mai mari pot fi implementate grade mai mari de trunchiere totală. Cel mai înalt grad de trunchiere completă creează un poliedru dublu . Îndreptarea trunchiază marginile în puncte. Îndreptarea dublă trunchiază (2D) fețele în puncte. La dimensiuni mai mari, tripla rectificare trunchiază celulele (fețe 3D) în puncte și așa mai departe.

Un exemplu de îndreptare dublă ca etapă finală a trunchierii feței

Secvența din figură arată trunchierea dublă a cubului ca etapă finală a procesului de la cub la octaedrul dublu, în care fața originală este trunchiată la un punct:

Pentru poligoane

Poligonul dual este același cu forma sa complet trunchiată. Noile vârfuri sunt situate la mijlocul laturilor poligonului original.

Pentru poliedre și plăci plane

Orice politop obișnuit și dualul său au același politop complet trunchiat. (Acest lucru nu este valabil pentru politopii din spații cu dimensiunea 4 sau mai mare.)

Un politop complet trunchiat poate fi obținut ca intersecție a politopului obișnuit original cu o versiune concentrică la scară adecvată a dualului. Din acest motiv, numele lor sunt construite ca combinații dintre numele poliedrului original și dualul său:

Tetraedrul complet trunchiat , al cărui dual este tetraedrul, se numește tetratetraedru , mai bine cunoscut sub numele de octaedru .
Octaedrul complet trunchiat , al cărui dual este cubul , se numește cuboctaedru .
Icosaedrul trunchiat complet , al cărui dual este dodecaedrul , se numește icosidodecaedru .
Un parchet pătrat complet trunchiat este un parchet pătrat .
Un parchet triunghiular complet trunchiat , al cărui dual este un parchet hexagonal , se numește parchet trihexagonal .

Exemple

Familie	Mamă	trunchiere completă	Dual
[p,q]
[3,3]	Tetraedru	Octaedru	Tetraedru
[4,3]	cub	Cuboctaedru	Octaedru
[5,3]	Dodecaedru	icosidodecaedru	icosaedru
[6,3]	Mozaic hexagonal	Mozaic trihexagonal	mozaic triunghiular
[7,3]	Placare heptagonală de ordinul al treilea	Mozaic trisemigonal	Placare triunghiulară de ordinul al șaptelea
[4,4]	mozaic pătrat	mozaic pătrat	mozaic pătrat
[5,4]	Placare pentagonală de ordinul al patrulea	mozaic pătrat-pentagonal	Placare pătrată de ordinul al cincilea

Pentru poliedre neregulate

Dacă poliedrul nu este regulat, punctele medii ale muchiilor care înconjoară vârful pot să nu se afle în același plan. Cu toate acestea, o formă de trunchiere completă rămâne posibilă și în acest caz - orice politop are un graf poliedric , ca un schelet (politop), iar din acest grafic se poate forma un graf din mijloc plasând vârfuri în mijloc. a muchiilor graficului original și conectând două noi vârfuri muchie dacă aparțin muchiilor succesive de-a lungul unei fețe comune. Graficul din mijloc rezultat rămâne poliedric, deci prin teorema lui Steinitz poate fi reprezentat ca un poliedru.

Echivalentul notației Conway pentru trunchierea completă este ambo , notat cu a . Aplicarea de două ori aa , (rectificare după rectificare) este operația de expansiune Conway , e , care este aceeași operație ca operația de teșire Johnson , t 0,2 pentru politopuri și plăci obișnuite.

Pentru poliedre 4-dimensionale și teselații 3-dimensionale

Orice 4-politop regulat convex are o formă de trunchiere completă, ca un 4-politop uniform .

Un politop obișnuit cu 4 dimensiuni {p,q,r} are celule {p,q}. Trunchierea completă va da două tipuri de celule - poliedre {p,q} complet trunchiate rămase din celulele originale și poliedre {q,r} ca celule noi formate în locurile vârfurilor trunchiate.

Cu toate acestea, trunchierea lui {p,q,r} nu este aceeași cu trunchierea lui {r,q,p}. O altă trunchiere, numită trunchiere totală dublă , este simetrică în raport cu politopul 4 și dualul său. Vezi Uniform 4-politop .

Exemple

Familie	Mamă	trunchiere completă	Trunchiere completă dublă (truncare dublă)	Trunchiere completă triplă (duală)
[p,q,r]
[3,3,3]	Cinci celule	Complet trunchiat cu cinci celule	Complet trunchiat cu cinci celule	Cinci celule
[4,3,3]	tesseract	Tesseract complet trunchiat	Complet trunchiat șaisprezece celule ( douăzeci și patru de celule )	Celulă hexazecimală
[3,4,3]	douăzeci şi patru de celule	Complet trunchiat cu 24 de celule	Complet trunchiat cu 24 de celule	douăzeci şi patru de celule
[5,3,3]	120 de celule	120 de celule complet trunchiate	600 de celule complet trunchiate	Șase sute de celule
[4,3,4]	fagure cubic	Fagure cubic trunchiat complet	Fagure cubic trunchiat complet	fagure cubic
[5,3,4]	Faguri dodecaedrici de ordinul al 4-lea	Fagure dodecaedral trunchiat complet de ordinul 4	Fagure cubic de ordinul 5 complet trunchiat	Faguri cubi de ordinul 5

Grade de îndreptare

Prima trunchiere completă trunchiază marginile în puncte. Dacă poliedrul este regulat , această formă este reprezentată de simbolul Schläfli extins t 1 {p,q,...} sau r {p,q,...}.

A doua trunchiere completă, sau îndreptare dublă , trunchiază fețele în puncte. Dacă poliedrul este regulat, trunchierea dublă se notează cu t 2 {p,q,...} sau 2 r {p,q,...}. Pentru politopii tridimensionali, trunchierea completă dublă dă politopul dublu .

Se pot construi grade mai mari de trunchiere completă pentru poliedre din spații de dimensiunea 4 și mai mare. În general, nivelul complet de trunchiere n decupează fețele n-dimensionale în puncte.

Dacă un poliedru din spațiul n-dimensional este trunchiat complet la gradul (n-1), fațetele sale (fațete de dimensiune n-1) sunt trunchiate într-un punct și devine dual cu cel original.

Notație și fațete

Există trei notații echivalente diferite pentru fiecare grad de trunchiere completă. Tabelele de mai jos arată numele după dimensiune și două tipuri de fațete pentru fiecare.

Poligoane regulate

Fațetele sunt margini reprezentate ca {2}.

nume {p}	Diagrama Coxeter	simbolul t-record Schläfli	Simbol Schläfli vertical
nume {p}	Diagrama Coxeter	simbolul t-record Schläfli	Nume	Fațeta-1	Fațeta-2
Mamă		t 0 {p}	{p}	{2}
Complet trunchiat		t 1 {p}	{p}		{2}

Politopuri și plăci uniforme tridimensionale obișnuite

Fațetele sunt poligoane regulate.

Titlu {p,q}	Diagrama Coxeter	simbolul t-record Schläfli	Simbol Schläfli vertical
Titlu {p,q}	Diagrama Coxeter	simbolul t-record Schläfli	Nume	Fațeta-1	Fațeta-2
Mamă		t 0 {p,q}	{p,q}	{p}
Complet trunchiat		t 1 {p,q}	${\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$ = r{p,q}	{p}	{q}
dublu trunchiat		t 2 {p,q}	{q,p}		{q}

Politopuri și faguri cu 4 dimensiuni, uniforme , obișnuite

Fațetele sunt poliedre regulate sau complet trunchiate.

nume {p,q,r}	Diagrama Coxeter	simbolul t-record Schläfli	Simbol Schläfli extins
nume {p,q,r}	Diagrama Coxeter	simbolul t-record Schläfli	Nume	Fațeta-1	Fațeta -2
Mamă		t 0 {p, q, r}	{p,q,r}	{p,q}
Rectificat		t 1 {p, q, r}	${\begin{Bmatrix}p\ \ \\q,r\end{Bmatrix})$ = r{p,q,r}	$\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}$ = r{p,q}	{q,r}
Dublu trunchiat complet (dublu trunchiat complet)		t 2 {p, q, r}	${\begin{Bmatrix}q,p\\r\\\end{Bmatrix})$ = r{r,q,p}	{q,r}	${\begin{Bmatrix}q\\r\end{Bmatrix})$ = r{q,r}
Trix trunchiat complet (dublu)		t 3 {p,q,r}	{r,q,p}		{r,q}

Politopuri obișnuite în spațiu 5-dimensional și faguri 4-dimensionale

Fațetele sunt poliedre cu patru dimensiuni regulate sau complet trunchiate.

Titlu {p,q,r,s}	Diagrama Coxeter	înregistrarea t a simbolului Schläfli	Simbol Schläfli extins
Titlu {p,q,r,s}	Diagrama Coxeter	înregistrarea t a simbolului Schläfli	Nume	Fațeta-1	Fațeta -2
Mamă		t 0 {p,q,r,s}	{p,q,r,s}	{p,q,r}
Complet trunchiat		t 1 {p,q,r,s}	${\begin{Bmatrix}p\ \ \ \ \ \\q,r,s\end{Bmatrix})$ = r{p,q,r,s}	${\begin{Bmatrix}p\ \ \\q,r\end{Bmatrix})$ = r{p,q,r}	{q,r,s}
Dublu trunchiat complet (dublu trunchiat complet)		t 2 {p,q,r,s}	${\begin{Bmatrix}q,p\\r,s\end{Bmatrix})$ = 2r{p,q,r,s}	${\begin{Bmatrix}q,p\\r\\\end{Bmatrix})$ = r{r,q,p}	${\begin{Bmatrix}q\ \ \\r,s\end{Bmatrix})$ = r{q,r,s}
Triplu trunchiat (complet trunchiat dual)		t 3 {p,q,r,s}	${\begin{Bmatrix}r,q,p\\s\\\\\\end{Bmatrix})$ = r{s,r,q,p}	{r,q,p}	${\begin{Bmatrix}r,q\\s\\\end{Bmatrix})$ = r{s,r,q}
Cvadruplu trunchiat complet (dual)		t 4 {p,q,r,s}	{s,r,q,p}		{s,r,q}

Vezi și

Note

^ Weisstein , Eric W. Rectificare pe site- ul web Wolfram MathWorld .

Literatură

HSM Coxeter . Politopi obișnuiți . — ediția a 3-a. - New York: Dover Publications Inc., 1973. - ISBN 0-486-61480-8 . (p.145-154 Capitolul 8: Trunchiere)
NW Johnson . Politopuri uniforme. — Manuscris, 1991.
- NW Johnson . Teoria politopilor și fagurilor uniformi. — Universitatea din Toronto: Ph.D. disertație, 1966.
John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Simetriile lucrurilor. - New York: A.K. Peters/CRC Press, 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 . (Capitolul 26)

Link -uri

George Olszewski Rectificare la glosar pentru hiperspațiu.

Operații pe poliedre

Fundatia	trunchiere	trunchiere completă	trunchiere adâncă	Dualitate _	întinderea	trunchiere	Alternare


t 0 {p, q} {p, q}	t 01 {p,q} t{p, q}	t 1 {p, q} r{p, q}	t 12 {p,q} 2t{p, q}	t 2 {p, q} 2r{p, q}	t 02 {p,q} rr{p, q}	t 012 {p,q} tr{p, q}	ht 0 {p,q} h{q, p}	ht 12 {p,q} s{q, p}	ht 012 {p,q} sr{p, q}