Derivat de Pinkerle

În matematică , derivata Pinkerle T' a unui operator liniar T : K [ x ] → K [ x ] pe un spațiu vectorial de polinoame într-o variabilă x peste un câmp K este comutatorul operatorului T înmulțit cu x în endomorfism. algebră End( K [ x ]). Te T' este un alt operator liniar T' : K [ x ] → K [ x ]

T':=[T,x]=Tx-xT=-\operatorname {ad} (x)T.

Mai detaliat, pe un polinom, acest operator acționează după cum urmează: $p(x)$

T'\{p(x)\}=T\{xp(x)\}-xT\{p(x)\}\qquad \forall p(x)\in \mathbb {K} [x ].

Numit după matematicianul italian Salvatore Pinkerle .

Proprietăți

Derivata Pinkerle, ca orice comutator , este o diferențiere care satisface regula produsului și sumei: pentru orice operator liniar și aparținând lui , $\scriptstyle S$ $\scriptstyle T$ $\scriptstyle \operatorname {End} \left(\mathbb {K} [x]\right)$

$\scriptstyle {(T+S)^{\prime }=T^{\prime }+S^{\prime ))$ ;
$\scriptstyle {(TS)^{\prime }=T^{\prime }\!S+TS^{\prime }}$ unde este componența operatorilor ; $\scriptstyle {TS=T\circ S}$

De asemenea , unde este paranteza obișnuită Lie , care decurge din identitatea Jacobi . $\scriptstyle {[T,S]^{\prime }=[T^{\prime },S]+[T,S^{\prime }]},$ $\scriptstyle {[T,S]=TS-ST}$

Derivata obișnuită, D = d / dx , este un operator pe polinoame. Calculul direct arată că derivata lui Pinkerle este

D'=\left({d\over {dx}}\right)'=\operatorname {Id} _{\mathbb {K} [x]}=1.

Prin inducție , această formulă se generalizează la

(D^{n})'=\left({{d^{n}} \over {dx^{n}}}\right)'=nD^{n-1}.

Aceasta demonstrează că derivata Pinkerle a operatorului diferenţial

\partial =\sum a_{n}{{d^{n}} \over {dx^{n}}}=\sum a_{n}D^{n}

este, de asemenea, un operator diferenţial, deci derivata Pinkerle este o derivaţie . $\scriptstyle \operatorname {Dif.} (\mathbb {K} [x])$

Operator de schimbare

S_{h}(f)(x)=f(x+h)

pot fi înregistrate

S_{h}=\sum _{n=0}{{h^{n}} \over {n!}}D^{n}

folosind formula Taylor . Atunci derivatul său Pinkerle este

S_{h}'=\sum _{n=1}{{h^{n}} \over {(n-1)!}}D^{n-1}=h\cdot S_{h }.

Cu alte cuvinte, operatorii de deplasare sunt vectorii proprii ai derivatei Pinkerle, al căror spectru este întregul spațiu al scalarilor . $\scriptstyle {\mathbb {K} }$

Dacă T este invariant de deplasare, adică dacă T comută cu S h sau , avem și: , la fel este și invariant de deplasare . $\scriptstyle {[T,S_{h}]=0}$ $\scriptstyle {[T',S_{h}]=0}$ $\scriptstyle T'$ $\scriptstyle h$

Operator delta timp discret

(\delta f)(x)={{f(x+h)-f(x)} \over h)

acesta este operatorul

\delta ={1 \over h}(S_{h}-1),

a cărui derivată Pinkerle este operatorul de deplasare . $\scriptstyle {\delta '=S_{h)}$

Vezi și

Comutator operator

Link -uri

Weisstein, Eric W. Pincherle Derivative . MathWorld — O resursă web Wolfram.
Biografia lui Salvatore Pincherle la arhiva MacTutor History of Mathematics .

Calcul diferenţial

Principal

vederi private

Operatori diferențiali
( în diferite coordonate )

Prima comanda	Operator Nabla Gradient Divergenţă Rotor Helmholtzian
a doua comanda	Operator eliptic operator Laplace Operator vectorial Laplace operator D'Alembert Operator Laplace-Beltrami
ordine superioare	Operator hipoeliptic

subiecte asemănătoare