Proporționarea ( germană Proportionierung , din latină pro-portio - ratio, dimensiune) este o modalitate de armonizare a unei forme bazată pe egalitatea relațiilor cantitative ale părților sale. Proporționalitatea este egalitatea (constanța) raporturilor a două sau mai multe variabile . În matematică , o proporție este un astfel de raport (dependență) de cantități încât, atunci când o cantitate crește sau scade de mai multe ori (dublare, triplă, înjumătățire, ...), alta crește sau scade cu aceeași cantitate. De exemplu, 1 : 2 = 3 : 6. Raportul acestor mărimi se numește coeficient de proporționalitate sau constantă de proporționalitate [1] .
În teoria artei și a practicii artistice, s-a dezvoltat o definiție stabilă: „Proporția este un raport regulat al dimensiunilor părților unei opere de artă între ele, precum și a fiecărei părți cu opera ca întreg” [2] .
În filosofia culturii, acest concept este considerat mai larg ca o modalitate de a stabili o structură formală optimă și holistică folosind metoda coordonării cantitative a părților și a întregului, dar distingând acest concept de categoria integrității semnificative - compoziție [3] .
În teoria arhitecturii, dimpotrivă, se folosește o definiție mai restrânsă: proporția este raportul dintre lungimea, lățimea și înălțimea unei clădiri, fațade sau părți ale acesteia. Studiul teoretic al proporțiilor în arhitectură este cunoscut sub numele de teoria proporțiilor [4] .
Conceptul de proporție în istoria artei clasice
O teorie destul de complexă a proporțiilor a existat în Egiptul antic , nu numai în matematică, ci și în artă [5] . De la preoții egipteni, grecii și romanii antici au moștenit teoria matematică a proporțiilor. Este în general acceptat că primul cuvânt grecesc „analogie” ( altă greacă ἀναλογία ), care înseamnă literal „re-relație”, a fost înlocuit cu analogul latin al lat. proportio orator roman Cicero .
Studiile pitagoreenilor au făcut posibilă separarea conținutului conceptelor de „proporționalitate” și „proporționalitate”. Vechiul arhitect roman Vitruvius în tratatul „ Zece cărți despre arhitectură ” (13 î.Hr.) a numit „proporționalitate simplă”, sau norma metrică, cuvântul „simetrie” ca simetrie și repetarea regulată, ritmică sau dinamică, organizarea compoziției. elemente - proporție [6] . Vitruvius a adăugat la aceasta conceptul de modus ( lat. modus - măsură, mărime, întindere, poziție). Modalitatea, sau modalitatea, este consistența tuturor părților formularului pe baza unui element, cel mai adesea modulul (cea mai mică parte luată ca unitate de măsură). Modalitatea conferă structurii proporționale o colorare emoțională, o anumită tonalitate (în teoria modernă a armoniei, aceste concepte sunt extinse la culoare și relațiile sonore).
Metodele și tehnicile practice de proporție se bazează pe distincția dintre conceptele de „raport” și „proporție”. Raporturile cantităților sau părților unui întreg între ele sunt de diferite feluri. Cele mai simple sunt multiplele exprimate ca numere întregi. De exemplu, raportul laturilor unui pătrat (1:1) sau unui dreptunghi format din două pătrate (1:2). Relațiile iraționale sunt exprimate printr-o fracție infinită. Proporția în teoria armoniei, ca și în matematică, se referă la egalitatea a două sau mai multe rapoarte. În consecință, cea mai bună proporție este aceea în care rapoartele părților și ale fiecărei părți față de întreg sunt egale. Se numește secțiunea de aur sau proporția divină ( lat. Sectio Aurea; Proportia Divina ).
Filosoful grec antic Platon (c. 427-347 î.Hr.) a menționat metoda geometrică de dublare a ariei unui pătrat prin construirea unui pătrat mai mare pe diagonala sa. Al doilea pătrat conține patru „jumătăți” din primul, prin urmare, aria sa este de două ori mai mare [7] . Această construcție simplă conține o regularitate importantă. Diagonala unui pătrat este o mărime irațională. Dacă luăm latura unui pătrat ca fiind 1, atunci diagonala lui este egală cu sau 1,414 ... Astfel, un sistem de măsuri bazat pe un pătrat și diagonala sa poartă dualitate, un principiu polifonic al relațiilor dintre numere întregi simple și numere iraționale.
În istoria artei antice, este cunoscut termenul de „figure pătrate” (( greaca veche τετραγωνος ). Scriitorul roman antic Pliniu cel Bătrân (23-79 d.Hr.) a numit statuile de bronz ale școlii argive „pătrat cu aspect” ( lat. signa quadrata ) , în special celebrele „ Dorifor ” și „ Diadumen ” ale sculptorului Polykleitos... În același timp, s-a referit la enciclopedul Mark Terentius Varro (116-27 î.Hr.), sugerând că cuvântul „pătrat” poate nu indică natura siluetei statuii, ci metoda de proporție, expusă în lucrarea teoretică a lui Polykleitos „ Canon ” (lucrarea nu a fost păstrată) [8] .
Statuile atleților din imaginea lui Polykleitos arată într-adevăr „pătrat” (într-o traducere diferită, „proporții largi”). Când se analizează proporțiile lor, se dovedește că modulul figurii este latura pătratului, a cărui diagonală, la rândul său, servește ca latură a pătratului mai mare etc. Ca urmare, toate părțile liniei statuii sus proporţional în sistemul „măsurilor perechi”: relaţii raţionale şi iraţionale. Deci, înălțimea întregii figuri este împărțită în două, patru și opt părți (capul figurii este de 1/8 din înălțime). Cu toate acestea, în timpul mișcării plastice (atletul se sprijină pe un picior, al doilea picior este îndoit la genunchi și dat înapoi), apar relații iraționale. Dacă luăm ca unitate (latura unui pătrat mic) partea superioară a figurii (indiferent de mărimea sa reală) - capul și trunchiul până la creasta iliacă (pe care se află mușchii oblici) - ca unitate, atunci partea inferioară a figurii (breaua pelviană și piciorul de susținere) va fi egală cu 1,618 (latura pătratului mai mare). În consecință, întreaga înălțime a figurii este de 2.618. Aceste relații sunt legate prin modelul „ secțiunii de aur ”, descoperit de egiptenii antici și care este universal [9] .
Trebuie remarcat faptul că referirile la valorile canonice presupuse neschimbate, cele mai armonioase, care se găsesc adesea în literatura populară, nu au o justificare științifică suficientă. Măsurătorile statuilor antice, pe care se bazează astfel de teorii, în special cele date în studiile clasice ale lui A. Zeising : „On the proportions of the human body ..” (1854) [10] și „Aesthetic research” (1854) ) [11] , au un caracter aleatoriu, schimbător și făcute „foarte neglijent” [12]
Deducerile despre numerele armonice absolute și invariabile presupuse conținute în opere de artă remarcabile sunt inutile din mai multe motive. În primul rând, cele mai remarcabile statui antice nu sunt copii, ci cele mai recente și aproximative replici ale originalelor care nu au supraviețuit, diferă foarte mult în detalii, deoarece maeștrii școlilor romane și neo-attice nu au văzut originalele și s-au bazat doar pe descrieri literare aproximative și alte replici în alte materiale și dimensiuni. În al doilea rând, toate sculpturile sunt date în diverse mișcări: înclinarea capului, întoarcerea trunchiului, pozițiile brațelor și picioarelor. În astfel de cazuri, nu este clar care puncte de măsurare sunt considerate corecte: anatomice sau vizuale, percepute în perspective reale. În al treilea rând, canoanele proporționale , chiar dacă erau fixe, s-au schimbat semnificativ de-a lungul secolelor și chiar deceniilor, depind de epocă, manierisme, timpul și locul de muncă al maeștrilor și școlilor . De exemplu, în sculpturile perioadelor clasice, epoca lui Policleto și Fidias, și elenismul , în lucrările lui Lisip și Praxiteles. Același lucru este valabil și pentru arhitectură. Este evident că secretul armoniei proporțiilor nu constă în „numerele ideale”, ci în legile relațiilor proporționale mobile, dinamice [13] .
De asemenea, este caracteristic faptul că teoria proporționării a fost intens dezvoltată în perioadele de cea mai rațională atitudine față de natură și artă. Deci, din 1496 la Milano , artistul Leonardo da Vinci și matematicianul Luca Pacioli au încercat împreună să creeze o teorie similară în tratatul „ Proporția divină ” ( lat. De Divina Proportione ). Textul principal și calculele matematice, precum și publicarea cărții, au fost efectuate de L. Pacioli. Două manuscrise ale acestui tratat au fost păstrate - unul în Biblioteca Publică din Geneva, al doilea - în Biblioteca Ambrosian din Milano. Leonardo a completat ilustrațiile, incluzând posibil și pe cea cunoscută sub numele de Omul Vitruvian . Tratatul a fost finalizat la 14 decembrie 1498. S-au făcut gravuri în lemn din desenele lui Leonardo. Tratatul a fost publicat la Veneția în 1509 [14] [15] .
Teoria proporțiilor a fost dezvoltată de mulți artiști renascentistes: Lorenzo Ghiberti , Leon Battista Alberti , Albrecht Dürer , mai târziu I. D. Preisler .
Modalităţi de proporţionare în istoria arhitecturii
În practica construcțiilor, arhitecții din diferite vremuri înainte de apariția teoriei științifice a armoniei, de regulă, au urmat intuitiv legile armonizării formei. Aceste abilități au fost transmise din tată în fiu de multe generații de maeștri ai artelelor de construcții itinerante („masoni” - zidari ). Spre deosebire de profunzimile iraționale ale creativității, legile numerice ale raporturilor cantităților sunt supuse calculului, analizei, fixării precise și, prin urmare, sunt mai ușor de transferat de la o generație de maeștri la alta, de la profesori la ucenici ca „ secrete de măiestrie”.
„Media de aur” ( lat. aurea mediocritas ) a servit drept criteriu intuitiv pentru armonia proporțiilor, iar rapoartele de mărime observate în natură au servit drept model. Așadar, elenii antici în arhitectura lor au folosit numere întregi, module multiple și tehnici raționale, dar au introdus „corecții optice” și nuanțe, care dădeau rapoartelor de mărime o ușoară neregularitate. Acestea sunt curbura ( lat. curbura - curbura, curbura liniilor drepte și a planurilor), entasis ( alte grecești ἔντασις - stres) - o ușoară îngroșare a coloanelor în partea de mijloc, contracție (încălcarea egalității intercoloanelor , convergența distanțelor). între coloane).
Ei au folosit, de asemenea, relații epimorale ( greaca veche επι - deasupra, deasupra și alte grecești μοριον - parte, particulă), în care, spre deosebire de multiplii simpli (1:2; 1:3; 1:4), excesul celei mai mari părți este egală cu o parte din cea mai mică (de exemplu: 2:3; 3:4; 8:9), care este aproape aproape de raportul „segmentelor de aur”. Această metodă s-a manifestat, în special, la calcularea numărului de coloane ale templelor grecești antice pe fațadele frontale și laterale conform formulei epimorale: n : (n + 1), când numărul de coloane de pe fațada laterală este încă unul. decât pe faţă. Această regularitate a fost numită grecii „analogie”.
În Muzeul Național de Arheologie din Napoli și în Muzeul Terme din Roma se păstrează obiecte neobișnuite găsite în timpul săpăturilor de la Pompei și numite convențional busole proporționale . Ele diferă în detalii, dar converg în principal - două scânduri de lemn sunt reticulate cu o balama fixă. Raporturile laturilor lor corespund regulii „secțiunii de aur”. Arheologii găsesc instrumente similare în diferite regiuni ale lumii antice. Probabil au servit ca standarde ale modulelor proporționale în arhitectură [16] .
Sistemul de proporție în arhitectură a fost întotdeauna strâns legat de tehnica și tehnologia construcției, dezvoltarea geometriei și metodele de măsurare a cantităților. Necesitatea de a așeza planul clădirii pe teren la dimensiune completă a contribuit la dezvoltarea tehnicilor de construire a anumitor relații proporționale atât în plan orizontal, cât și în plan vertical. Cea mai simplă modalitate de astfel de proporționare a fost construirea unui unghi drept pe sol, de care depindea proiecția centrului de greutate al viitoarei structuri la mijlocul bazei (perpendiculară de la vârf la planul de sol) - prima condiție pentru rezistența și fiabilitatea clădirii. Arhitecții antici au rezolvat această problemă în mod ingenios, simplu. Au luat un șnur de măsurare - o frânghie împărțită prin noduri în douăsprezece părți egale, și-au legat capetele (al doisprezecelea și zero noduri) și, întinzându-se pe pământ, au bătut cuie în pământ la a treia, a șaptea și a douăsprezecea divizie. În acest caz, s-a obținut un triunghi cu raportul laturilor de 3: 4: 5. Un astfel de triunghi, conform uneia dintre axiomele geometriei și teoremei lui Pitagora, va fi întotdeauna dreptunghiular. După ce au primit un unghi drept fără calcule, constructorii l-ar putea mări la dimensiunea dorită, îl pot transfera într-un plan vertical. Datorită proprietăților sale universale, un astfel de triunghi în istoria arhitecturii a fost numit: „ triunghiul sacru egiptean ” . Una dintre piramidele gigantice de la Giza , Piramida lui Khafre , are două „triunghiuri sacre” în secțiune transversală, iar raportul dintre înălțimea și latura bazei pătrate este de 2:3 (143,5: 215,25 m). Multă vreme, aceste dimensiuni au scăzut oarecum (136,4: 210,5 m).
Numerele triunghiului: 3, 4, 5, suma lor este 12 și, de asemenea, 7, suma lui 3 și 4, se găsesc constant în natură și au fost, de asemenea, venerate ca sacre. Conform ideilor religioase, geometria universală a triunghiului egiptean a personificat Marea Triada a zeilor: Isis și Osiris (două picioare) și fiul lor Horus (ipotenuza). „Ființa și neființa sunt comparate cu Isis și Osiris, iar diagonala cu Horus-Falcon” ( Egipt. ḥr - „înălțime”, „cer”) [17] .
Grecii antici i-au numit pe constructorii piramidelor egiptene „harpedonauți” („targătoare de frânghii” din alte grecești αρπεδονη - laș, laț). Arhitectul francez A. Fournier de Cora, artistul norvegian E. Kielland și arhitectul rus V. N. Vladimirov , studiind tehnicile de proporționare ale arhitecților antici, au ajuns în mod independent la un model care îmbină figuri geometrice și relații numerice, repetate firesc în planuri și secțiuni. a structurilor antice. Un astfel de model a fost numit „sistemul egiptean de diagonale” [18] [19] [20] [21] .
Dacă luăm un pătrat (cu un raport de aspect de 1:1) și îi proiectăm diagonala (egale cu rădăcina pătrată a lui doi) pe continuarea uneia dintre laturi și apoi restabilim perpendiculara din punctul găsit, obținem o figură nouă - un dreptunghi. După ce a tras o diagonală în ea, aflăm că este egală cu rădăcina pătrată a lui trei. Să repetăm construcția și să vedem un nou dreptunghi cu o latură mai lungă. Diagonala acestui dreptunghi va fi egală cu rădăcina pătrată a lui patru, adică 2. Proiectând această diagonală ca în cazurile anterioare și restabilind perpendiculara, obținem așa-numitul pătrat cu două adiacente (format din două pătrate egale) cu o diagonală egală cu rădăcina pătrată a lui cinci. În interiorul unui pătrat cu două pătrate (două pătrate formează cel mai adesea planurile templelor egiptene antice) sunt plasate un număr de diagonale și, în consecință, valori iraționale, conectate printr-o anumită succesiune.
Raportul dintre latura unui pătrat și diagonala sa a fost adesea folosit în construcțiile proporționale, deoarece a facilitat formarea unei serii continue de cantități interdependente. Sistemul de pătrate înscrise sau descrise cu diagonale era convenabil, deoarece îi dădea arhitectului un fel de scară proporțională, pe baza căreia putea construi proporționalitatea părților clădirii.
Metoda geometrică de construire a „secțiunii de aur” este în mod ideal simplă, deoarece nu necesită calcule și implică doar două mișcări ale busolei. Nu s-a schimbat până în prezent și se numește „calea arhitecților” . Piciorul mic al „triunghiului egiptean” (dimensiunea 1) este așezat cu o busolă sau un cordon de măsurare pe ipotenuza lui Pitagora (este și diagonala unui pătrat cu două adiacente, egală cu rădăcina pătrată a lui cinci). Apoi, restul diagonalei (rădăcina pătrată de cinci minus unu) este transferat prin mișcarea opusă a busolei piciorului mare (egal cu doi). Ca urmare, piciorul mare va fi împărțit în două părți inegale, dintr-o privire la care se simt relații armonice. Aceste senzații pot fi verificate prin calcul. Să desemnăm partea mai mare a piciorului împărțită în părți prin litera "A", iar cea mai mică - prin "B". Apoi, raportul dintre întregul picior (A + B) și cea mai mare parte (restul diagonalei) va fi două împărțite la rădăcina pătrată de cinci minus unu. Pentru orice valoare, acest raport va fi exprimat printr-un număr irațional, o fracție infinită: 1,618033 ... Dacă verificăm raportul dintre partea mai mare (A) și partea mai mică a segmentului dat (B), atunci, în mod surprinzător , va obține același număr: 1,618033 ... O astfel de formulă poate fi scrisă după cum urmează: (A + B) : A \u003d A : B (întregul este legat de partea mai mare în același mod în care partea mai mare este legat de cel mai mic). De la o schimbare a locurilor membrilor acestei proporții, rezultatul nu se schimbă.
Sensul estetic al formulei constă în faptul că această proporție este cea mai bună și singura posibilă - acel caz ideal în care rapoartele părților de orice dimensiune (formă) sunt egalizate între ele și fiecare dintre aceste părți la întreg. Toate celelalte relații armonice leagă doar părți separate ale formei, iar „proporția de aur” leagă toate părțile și întregul. Cu alte cuvinte, în „formula frumuseții” relațiile părților și întregului sunt legate printr-o singură regularitate. Potrivit lui Platon, „cea mai bună analogie face întregul și părțile sale inseparabile”. Mai mult, toate cantitățile pot fi împărțite la infinit și își vor păstra „proprietățile de aur”. Alte metode și tehnici de armonizare sunt de natură particulară, iar „proporția de aur” este universală. De aici și numele.
Cel mai izbitor exemplu de funcționare a acestui model este relația dintre plan și fațada Partenonului din Atena (447-438 î.Hr.) - standardul universal recunoscut de armonie. Cercetătorii au fost întotdeauna surprinși în măsurătorile acestei capodopere a arhitecturii de prezența unor măsuri multiple și a relațiilor iraționale, în special, abaterea planului templului de la dimensiunea tradițională a două pătrate. Regula „raportului de aur” explică această „ciudățenie”. Dacă proiectăm diagonala pătratului adiacent al stilobatului Partenon pe continuarea laturii sale lungi, atunci vom obține rapoartele reale ale planului acestei clădiri: unu la rădăcina pătrată a lui cinci. Cu alte cuvinte, dacă lățimea fațadei principale a templului (30,89 m) este luată ca 1, atunci raportul dintre lățime și lungimea fațadei laterale de-a lungul stilobatului (69,54 m) va fi unul la rădăcina pătrată. din cinci. Toate dimensiunile spațiului intern sunt legate prin aceleași relații: naos , pronaos și opistodom [22] .
Fațada principală a Partenonului (fără frontonul triunghiular) se încadrează într-un pătrat alăturat cu două. Coloana împreună cu capitelul (10,43 m) este membrul mai mic al „proporției de aur”. Secțiunea mai mare a „secțiunii de aur” corespunde înălțimii totale a clădirii, inclusiv acoperișul. Aceleași relații se repetă în detaliu până la cel mai mic [23] . „Numărul de aur” inițial (1.618033…) este de obicei notat pentru concizie prin litera greacă φ („phi”), care începe numele remarcabilului sculptor și arhitect al antichității Fidias, unul dintre creatorii Partenonului.
Tehnici similare au fost folosite de arhitecții ruși antici. Meșterii tâmplări au efectuat marcarea planului de construcție direct pe sol fără calcule bazate pe pătrat și diagonala acestuia. Pentru a face acest lucru, au folosit un șnur de măsurare și șuruburi de lemn înfipte în pământ. Principala măsură era lungimea bușteanului, iar modulul lăzii era alcătuit din coroane stivuite una peste alta - patru bușteni legați la colțuri, formând un pătrat. Sarcina de a construi un unghi drept a fost rezolvată cu ajutorul corzilor bidimensionale - metoda de egalizare a diagonalelor coroanei suprapuse (inferioare) (egalitatea diagonalelor dă un pătrat). Următoarea sarcină: proiectarea diagonalei (sau a derivatei sale) pe prelungirea laturii pătratului a dat cel de-al doilea modul, egal cu latura pătratului de două ori suprafața. La sol, a fost desenat un plan pentru o clădire viitoare, de exemplu, o biserică - cușca principală (așa-numita biserică cu cușcă) cu un vestibul și un altar atașat. Este firesc ca vechii dulgheri ruși au găsit în mod independent cea mai simplă soluție practică a problemei, binecunoscută în antichitate [24] .
În anii 1950, istoricul și arheologul B.A. Rybakov a studiat vechii „Babiloni” ruși - semne grafice formate din dreptunghiuri sau pătrate similare înscrise unul în celălalt. Se găsesc în săpături pe cioburi de lut (ceramide) și plăci de piatră, din secolul al XVII-lea - în cronicile rusești. Potrivit cercetătorului, „Babilonul” este o reprezentare schematică a Turnului Babel și în același timp un simbol al canonului proporțional [25] .
De-a lungul timpului, pe baza unei simple experiențe de tâmplărie în Rusia Antică, a fost dezvoltat un sistem rafinat de proporție bazat pe „sistemul de măsuri pereche”: numere raționale și iraționale. Acest lucru este dovedit de măsurătorile templelor. Studiul măsurilor rusești antice de lungime conform lui B. A. Rybakov și alți cercetători confirmă acest fapt. Constructorii nu au folosit unul sau două sázheny ca măsură de lungime , ci șase principale și unul suplimentar. Snurul măsurat al dulgherilor ruși antici a fost numit „sokar” (din greaca veche σωχος - puternic). Mărimile brațurilor s-au schimbat, totuși, modelul de proporție nu a fost într-o măsură ideală, ci în relația lor și, mai presus de toate, cu dimensiunea figurii umane. Această tradiție străveche, numită antropomorfism , a fost păstrată în arta bizantină și veche rusă.
Comparând raporturile mai multor sazhens folosiți în construcția rusă antică și după ce a construit un „Babilon” (conform lui B. A. Rybakov), este posibil, luându-și o anumită libertate, să înscriem în acest „Babilon” figura unui om în conformitate cu celebru desen al lui Leonardo da Vinci , asociat, după cum sugerează ei, cu un tratat de arhitectură al lui Vitruvius („ Omul Vitruvian ”; latină Homo vitruvianus ). Antropomorfismul măsurilor rusești antice de lungime este evident, la fel ca și analogia sistemelor dimensionale ale Rusiei medievale și Occidentului european.
Artele de construcție medievale din Europa de Vest au folosit în principal două metode de construcții geometrice. Cel mai simplu mod de a calcula dimensiunile, revenind la vechile „cifre pătrate”, a fost numită: cuadratura . Această metodă a fost descrisă pentru prima dată de francmasonul german (francmason) din Regensburg , constructorul catedralelor Matthaus Roritzer în 1486. A primit numele de „german”. Întreaga clădire a fost înscrisă într-un pătrat (în raport de plan și înălțime), iar valorile derivate au fost determinate de diagonala pătratului construit pe lățimea fațadei principale a clădirii. Un astfel de exemplu, bazat pe măsurătorile fațadei Catedralei Notre Dame din Paris , este dat în celebra sa carte a lui Auguste Choisy [26] .
O altă metodă se numește triangulare . Această metodă a primit și o semnificație mistică, în special în construcția templelor, deoarece triunghiul echilateral este un simbol al Sfintei Treimi . În practică, conform reconstrucției lui B. R. Vipper , arăta așa. La șantierul selectat, exact la prânz, un stâlp a fost săpat în pământ - un gnomon (indicator), indicând centrul fațadei principale, vestice, a viitoarei clădiri. Soarele amiezii la latitudinile mijlocii aruncă o umbră de la gnomon exact spre nord, iar jumătate din lățimea fațadei a fost pusă deoparte în această direcție. Cealaltă jumătate a fost măsurată în direcția opusă. Apoi, pe lățimea obținută a fațadei principale, cu ajutorul corzilor de măsurare, s-a construit pe sol un triunghi isoscel (în alte cazuri, echilateral). Vârful acestuia marca jumătate din lungimea navei principale a viitorului templu. Apoi un al doilea triunghi a fost oglindit. Mediana triunghiurilor, perpendiculară pe linia fațadei, determina linia de mijloc a navei principale a templului, orientată de-a lungul axei vest-est. Bazele triunghiurilor au fost împărțite în patru părți egale. Acest lucru a dat raportul corect dintre lățimea navei principale și cele două laterale, care ar fi trebuit să fie de două ori mai înguste. Punctele de intersecție ale triunghiurilor mici marcau locurile viitoarelor suporturi. O astfel de triangulare ar putea fi defalcată în valori infinitezimale, transferate pe un plan vertical, determinând principalele puncte structurale ale fațadelor și structura interioară a clădirii [27] .
La așezarea pietrei de temelie a Catedralei din Milano în 1387, au fost invitați arhitecți din Germania și Franța, care au argumentat: dacă să construiască templul după „metoda germană” (ad quadratum) - pe baza unui pătrat și a diagonalei acestuia - sau după „metoda franceză” (ad triangulum) – pe baza triunghiului echilateral. Un desen în secțiune transversală a Catedralei din Milano (conform crucii din mijloc), realizat în 1391 de Gabriele Stornalocco din Piacenza, este dat în ediția italiană a tratatului lui Vitruvius Zece cărți despre arhitectură de Cesare Cesariano din 1521. Acest desen demonstrează clar „sistemul cuplat”, în care principalele puncte structurale ale catedralei sunt înscrise nu numai în triunghiuri echilaterale, ci și în cercuri concentrice. Un astfel de „sistem conectat” oferă cea mai mare rezistență și integritate vizuală întregii structuri.
Teoria proporționării în arhitectură în timpul Renașterii a fost dezvoltată de Leon Battista Alberti , Andrea Palladio , N. A. Lvov . În noul timp - I. V. Zholtovsky , O. I. Guryev , I. P. Shmelev.
Se știe că Andrea Palladio nu a folosit calcule complexe și numere iraționale. În tratatul său „ Patru cărți despre arhitectură ” (1570), el nu menționează regula secțiunii de aur, dar sugerează să proporționeze clădirile „într-unul sau două cuburi”. Totuși, în clădirile lui Palladio, rapoartele se repetă: 2: 3: 5. Arhitectul venețian a recurs și la construirea de asemănări de dreptunghiuri de diferite dimensiuni pe baza diagonalelor paralele sau perpendiculare (una dintre axiomele geometriei). Această tehnică a primit în istoria arhitecturii denumirea de „regula unghiului drept”. Unul dintre simbolurile armoniei proporțiilor din istoria arhitecturii este celebra clădire a Vilei Rotunda a lui Palladio .
Cercetătorul lucrării lui Palladio, arhitectul O. I. Guryev a subliniat că, fără a menționa „secțiunea de aur”, dar urmând „regula dreptunghiurilor și cuburilor similare”, și construindu-le pe diagonale paralele sau perpendiculare, Palladio a stabilit rapoartele cantităților care sunt determinate. de „membri sau înrudiți cu seria Fibonacci: 9:5 este de trei ori raportul de 3:5, iar 3:1 este de două ori raportul de 3:2 etc.” [28] .
Arhitectul francez Le Corbusier și-a creat faimosul „ Modulor ” pe baza sistemului tradițional de măsuri pereche, „regula unghiului drept” și două „scări” (valori raționale și iraționale) .
Arhitectul și teoreticianul artei din Sankt Petersburg Igor Pavlovici Shmelev, studiind legile armoniei, și-a creat propria interpretare a canonului preoților egipteni antici pe baza analizei plăcilor de lemn din mormântul lui Khesi-Ra, un preot al zeului Horus și arhitectul șef al faraonului Djoser din Saqqara [29] .
În istoria artelor plastice, una dintre lucrările sale teoretice din 1783 a fost dedicată subiectului proporționării de către pictorul Sir Joshua Reynolds , precum și gravorul englez John Thomas Smith , care a numit teoria sa „regula treimilor”.