Matricea simplică

O matrice simplectică este o matrice M 2 n × 2 n cu elemente reale care satisface condiția

M^{\text{T}}\Omega M=\Omega \,,

(unu)

unde M T denotă matricea transpusă pentru M și Ω este o matrice fixă 2 n ×2 n nesingulară simetrică oblică . Această definiție poate fi extinsă la matrice 2n × 2n cu intrări din orice câmp , cum ar fi din câmpul numerelor complexe .

De obicei, matricea blocului este aleasă ca Ω

\Omega ={\begin{bmatrix}0&E_{n}\\-E_{n}&0\\\end{bmatrix}}

unde E n este matricea de identitate n × n . Matricea Ω are determinantul +1 iar inversul său este Ω −1 = Ω T = −Ω.

Orice matrice simplectică are un determinant unitar. 2 n ×2 n — matrici simplectice cu elemente reale — formează un subgrup al grupului liniar special SL(2 n , R ) cu operația de înmulțire a matricei , și anume, un grup de Lie real necompact conex de dimensiunea n (2 n ). + 1) , o grupare simplectică Sp( 2n , R ). Grupul simplectic poate fi definit ca ansamblul de transformări liniare care păstrează forma simplectică a unui spațiu vectorial simplectic real .

Un exemplu de grup de matrice simplectice este grupul de trei matrice simplectice 2x2 , constând din matricea de identitate, o matrice triunghiulară superioară și o matrice triunghiulară inferioară, constând din elementele 0 și 1.

Proprietăți

Orice matrice simplectică este nedegenerată , iar matricea inversă este dată de formula

M^{-1}=\Omega ^{-1}M^{\text{T}}\Omega .

De asemenea, înmulțirea a două matrici simplectice va fi, din nou, o matrice simplectică. Aceasta dă mulţimii tuturor matricelor simplectice structura unui grup . Există o structură de varietate naturală pe acest grup care îl transformă într-un grup Lie (real sau complex) , numit grup simplectic .

Din definiție rezultă ușor că determinantul oricărei matrice simplectice este egal cu ±1. De fapt, se dovedește că determinantul este întotdeauna +1 pentru orice câmp. O modalitate de a vedea acest lucru este folosirea pfaffianului și a egalității

{\mbox{Pf}}(M^{\text{T}}\Omega M)=\det(M){\mbox{Pf}}(\Omega).

Deoarece și , avem det( M ) = 1. $M^{\text{T}}\Omega M=\Omega$ ${\mbox{Pf)}(\Omega )\neq 0$

Dacă câmpul în cauză este câmpul numerelor reale sau complexe, se obține o demonstrație elementară prin extinderea inegalității . [unu] $\det(M^{\text{T}}M+E)\geq 1$

Să presupunem că Ω este dat în formă standard și să fie M o matrice de bloc 2 n ×2 n , dată ca

M={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}

unde A , B , C , D sunt n × n matrice. Condiția pentru M poate fi echivalentă simplic cu următoarele două condiții [2]

A^{\text{T}}C,B^{\text{T}}D

simetric, și

A^{\text{T}}DC^{\text{T}}B=E

AB^{\text{T}),CD^{\text{T})

simetric, și

AD^{\text{T}}-BC^{\text{T}}=E

Pentru n = 1, aceste condiții se reduc la o condiție det( M ) = 1. Atunci o matrice 2×2 este simplectică dacă și numai dacă are un determinant unitar.

În cazul specificării Ω în formă standard, inversul lui M este dat de ecuație

M^{-1}=\Omega ^{-1}M^{\text{T)}\Omega ={\begin{pmatrix}D^{\text{T)}&-B^{\ text{T}}\\-C^{\text{T}}&A^{\text{T}}\end{pmatrix}}.

Grupul are dimensiunea n (2 n + 1). Acest lucru poate fi văzut dacă observați asta

\Omega M^{\text{T}}\Omega M=-E

Ultima egalitate poate fi reprezentată în formă

-\delta _{ij}=\sum _{k=1}^{n}m_{k,i+n}m_{n+k,j}-m_{n+k,i+n} m_{n,j}-m_{k,i}m_{n+k,j}+m_{k,i}m_{k,j}

unde este elementul (i, j) al matricei. Această sumă este antisimetrică și, deoarece partea stângă este zero pentru i diferit de j, aceasta lasă n(2n-1) egalități independente. $m_{{ij}}$

Transformări simplectice

În formularea abstractă a algebrei liniare , matricele sunt înlocuite cu mapări liniare ale unui spațiu vectorial cu dimensiuni finite . Analogia abstractă a unei matrice simplectice este transformarea simplectică a unui spațiu vectorial simplectic . Pe scurt, un spațiu vectorial simplectic este un spațiu vectorial 2n - dimensional V echipat cu o formă biliniară ω nedegenerată , simetrică oblică , numită formă simplectică .

Transformarea simplectică este atunci o transformare liniară L : V → V care păstrează ω, adică.

\omega (Lu,Lv)=\omega (u,v).

Dacă se fixează o bază pentru V , ω poate fi scris ca o matrice a lui Ω și L ca o matrice a lui M . Condiția ca L să fie o transformare simplectică este exact condiția ca M să fie o matrice simplectică:

M^{\text{T}}\Omega M=\Omega .

Sub schimbarea bazei , (cu matricea de schimbare A ), avem

\Omega \mapsto A^{\text{T}}\Omega A

M\mapsto A^{-1}MA.

Este întotdeauna posibil să se reducă Ω fie la forma standard dată în introducere, fie la forma bloc-diagonală descrisă mai jos prin alegerea unei matrice adecvate A .

Matrice Ω

Matricele simplectice sunt definite în raport cu o matrice fixă nedegenerată , simetrică oblică Ω. După cum s-a explicat în secțiunea anterioară, Ω poate fi privit ca o reprezentare în coordonate a unei forme biliniare nedegenerate [en] skew - . Acesta este un rezultat de bază al algebrei liniare , afirmând că două astfel de matrici diferă una de cealaltă doar prin schimbarea bazei .

Cea mai comună alternativă la matricea standard Ω de mai sus este matricea diagonală bloc

\Omega ={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}}&&0\\&\ddots &\\0&&{\begin{matrix}0&1\\-1&0 \end{matrice}}\end{bmatrice}}.

Această matrice diferă de cea anterioară prin permutarea vectorilor de bază .

Uneori, notația J este folosită în loc de Ω pentru o matrice simetrică oblică. Aceasta nu este o alegere bună, deoarece confundă notația de structură complexă , care are adesea aceeași expresie de coordonate ca Ω, dar reprezintă o structură complet diferită. Structura complexă J este reprezentarea în coordonate a unei transformări liniare al cărei pătrat este -E , în timp ce Ω este reprezentarea în coordonate a unei forme biliniare nedegenerate simetrice. Este ușor să alegeți o bază în care J să nu fie simetrică oblic sau pătratul Ω să nu fie -E .

Având în vedere o structură hermitiană pe un spațiu vectorial, J și Ω sunt legate prin

\Omega _{ab}=-g_{ac}{J^{c}}_{b}

unde este metrica . Că J și Ω au aceeași expresie de coordonate (până la semn) este pur și simplu o consecință a faptului că metrica g este de obicei matricea identității. $g_{ac)$

Diagonalizarea și descompunerea

Pentru orice matrice simplectică reală definită pozitivă S , există un U în U(2 n , R ) astfel încât

S=U^{\text{T}}DU\quad {\text{for}}\quad D=\operatorname {diag} (\lambda _{1},\ldots,\lambda _{n} ,\lambda _{1}^{-1},\ldots ,\lambda _{n}^{-1}),

unde elementele diagonale ale lui D sunt valorile proprii ale lui S [3] .

Orice matrice simplectică reală S are o descompunere polară sub forma [3] :

S=UR\quad

pentru și .

U\in \operatorname {U} (2n,\mathbb {R} )

R\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )\cap \operatorname {Sym} _{+}(2n,\mathbb {R} )

Orice matrice simplectică reală poate fi descompusă într-un produs de trei matrici:

S=O{\begin{pmatrix}D&0\\0&D^{-1}\end{pmatrix}}O',

astfel încât O și O' sunt simplectice și ortogonale , iar D este o matrice diagonală pozitiv-definită . Această descompunere este strâns legată de descompunerea cu valoare singulară a unei matrice și este cunoscută sub numele de descompunere Euler sau Bloch-Messiah.

Matrici complexe

Dacă în loc de M luăm o matrice 2n × 2n cu intrări complexe , definiția nu a fost standardizată în literatură. Mulți autori [4] rafinează definiția de mai sus la

M^{*}\Omega M=\Omega \,.

(2)

unde M * înseamnă conjugarea hermitiană a matricei M . În acest caz, determinantul poate să nu fie 1, dar are o valoare absolută de 1. În cazul lui 2×2 ( n =1), M va fi produsul unei matrice simplectice și un număr complex cu valoarea absolută 1.

Alți autori [5] rețin definiția ( 1 ) pentru matrice complexe, iar matricele care satisfac condiția ( 2 ) sunt numite matrici simpectice conjugate .

Vezi și

Note

↑ Rim, D. (2015), An Elementary Proof That Matrices simplectice au un determinant, arΧiv : 1505.04240 .
↑ de Gosson, Maurice Introducere în mecanica simplectică: Prelegeri I-II-III . Preluat la 12 mai 2017. Arhivat din original la 6 mai 2021. (nedefinit)
↑ 12 de Gosson, 2011 .
↑ Xu, 2003 , p. 1–24.
↑ Mackey, Mackey, 2003 .

Literatură

Maurice A. de Gosson. Metode simplectice în analiza armonică și în fizica matematică . - Birkhäuser, 2011. - V. 7. - (Operatori Pseudo-Diferenţiali, Teorie şi Aplicaţii). — ISBN 9783034600163 . - doi : 10.1007/978-3-7643-9992-4 .
HG Xu. O descompunere a matricei de tip SVD și aplicațiile sale // Algebră liniară și aplicațiile sale. - 2003. - iulie ( v. 368 ). — S. 1–24 . - doi : 10.1016/S0024-3795(03)00370-7 .
D.S. Mackey, N. Mackey. Despre determinantul matricelor simplectice. - Manchester, Anglia: Manchester Center for Computational Mathematics, 2003. - T. 422. - (Raport de analiză numerică).