Teoria lui Kummer

În teoria numerelor algebrice , teoria lui Kummer oferă o descriere a unor tipuri de extensii de câmp , constând în adăugarea câmpului original a rădăcinii gradului al n -lea din elementul său. Teoria a fost dezvoltată de Ernst Eduard Kummer în jurul anului 1840 în lucrarea sa despre Teorema lui Fermat .

Cu condiția ca caracteristica câmpului p să fie coprim la n pentru p > 0, principala afirmație a teoriei nu depinde de natura câmpului și, prin urmare, aparține algebrei generale.

Teoria lui Kummer are un analog pentru cazul n = p (teoria Artin-Schreier). Rolul unui grup (vezi mai jos) în acest caz este jucat de grupul aditiv al unui subcâmp simplu al câmpului original.

Exista si o generalizare a acestei teorii datorata lui E. Witt pentru cazul in care , folosind vectorii Witt .

Teoria lui Kummer este de bază, de exemplu, în teoria câmpului de clasă și în înțelegerea extensiilor abeliene . Ea afirmă că, având în vedere suficiente rădăcini de unitate, extensiile ciclice pot fi înțelese în ceea ce privește extragerea rădăcinilor.

Extensiile lui Kummer

O extensie Kummer  este o extensie a câmpului L/K (adică o încorporare a câmpului K în câmpul L ) astfel încât pentru un număr întreg n > 1 sunt valabile următoarele două condiții:

De exemplu, pentru n = 2, prima condiție este întotdeauna adevărată dacă caracteristica K ≠ 2. Extensiile Kummer în acest caz includ extensii pătratice L = K (√ a ), unde a din K nu este un pătrat. La rezolvarea ecuațiilor pătratice, orice extensie a lui K de gradul 2 are această formă. Extensia Kummer include în acest caz și extensii biquadratice și, mai general, extensii multipătrate . Cu caracteristica K egală cu 2, nu există astfel de extensii Kummer.

Pentru n = 3, nu există extensii Kummer de gradul 3 în câmpul numerelor raționale Q , deoarece sunt necesare trei rădăcini cubice de 1, deci sunt necesare numere complexe . Dacă L  este un câmp de împărțire al lui X 3 − a peste Q , unde a nu este cubul unui număr rațional, atunci L conține un subcâmp K cu trei rădăcini cubice de 1. Aceasta din urmă rezultă din faptul că dacă α și β sunt rădăcinile unui polinom cubic, trebuie să obținem (α/β) 3 =1, care este un polinom separabil . Astfel, L/K  este o extensie Kummer.

Mai general, dacă K conține n rădăcini a n- a distincte ale unității și caracteristica lui K nu împarte n , adăugarea la K a rădăcinii a n- a a oricărui element a din K formează o extensie Kummer (a puterii m care împarte n ).

Ca câmp de descompunere al polinomului X n − a , extensia Kummer este necesară în extensia Galois a grupului ciclic Galois de ordinul m .

Teoria lui Kummer

Teoria lui Kummer afirmă că având în vedere o rădăcină primitivă de grad n în K , orice extensie ciclică a lui K de grad n se formează prin adăugarea unei rădăcini de grad n .

Dacă K × este un grup multiplicativ de elemente nenule ale lui K , atunci extensiile ciclice ale lui K de grad n corespund subgrupurilor unic ciclice

adică elemente de K × modulo n- a puteri.

Corespondența poate fi scrisă astfel: să fie dat un subgrup ciclic

extensia corespunzătoare este dată de formula

adică prin unirea rădăcinilor a n- a ale elementelor Δ la K.

În schimb, dacă L este o extensie Kummer pentru K , atunci Δ este dat de

În acest caz există un izomorfism

dat de formula

unde α este orice rădăcină a n-a a lui a din L .

Generalizări

Există o ușoară generalizare a teoriei lui Kummer la extensiile abeliene ale grupului Galois de grad n și o afirmație similară este adevărată în acest context. Și anume, se poate demonstra că astfel de extensii sunt o mapare cu o singură valoare în subgrupuri

Dacă câmpul de bază K nu conține rădăcini n - ale ale unității , uneori se folosește un izomorfism

Vezi și

Link -uri