Tensorul de curbură riemannian (numit uneori tensorul de curbură Riemann–Christoffel ) este o modalitate standard de exprimare a curburii varietăților riemanniene și, mai general, a varietăților arbitrare cu o conexiune afină , fără torsiune sau cu torsiune.
Numit după Bernhard Riemann .
Tensorul de curbură este definit ca o transformare liniară a spațiului tangent în fiecare punct al varietății, care caracterizează schimbarea vectorului , transferat în paralel de-a lungul unui paralelogram închis infinitezimal acoperit de vectori .
Tensorul de curbură este exprimat în termenii conexiunii Levi-Civita sau, în general, a conexiunii afine (care mai este numită și derivată covariantă ) după cum urmează:
unde este paranteza Lie .
Dacă câmpurile vectoriale sunt date prin diferențiere în raport cu coordonatele , și , și, prin urmare, naveta ( ), formula ia o formă simplificată:
astfel tensorul de curbură măsoară necomutativitatea derivatelor covariante .
Notă. Unii autori definesc tensorul de curbură cu semnul opus
În sistemul de coordonate, componentele tensorului de curbură sunt definite după cum urmează:
unde este un câmp vectorial, tangent la linia de coordonate în fiecare punct . În ceea ce privește simbolurile Christoffel :
În spațiul bidimensional, singura componentă netrivială este curbura gaussiană .
Tensorul de curbură Riemann are următoarele proprietăți de simetrie:
Ultima identitate a fost descoperită de Ricci , deși este numită prima identitate Bianchi sau identitatea algebrică Bianchi .
Aceste trei identități definesc setul complet de simetrii ale tensorului de curbură, adică pentru orice tensor care satisface aceste relații, se poate găsi o varietate Riemanniană a cărei curbură este descrisă de acest tensor. Un calcul combinatoriu simplu arată că tensorul de curbură trebuie să aibă componente independente.
Din aceste trei identități rezultă o altă relație utilă:
Identitatea Bianchi (numită și a doua identitate Bianchi sau identitate diferențială Bianchi ) implică derivate covariante:
Într-un sistem de coordonate dat într- o vecinătate a unui punct al varietății, identitățile de mai sus în componentele tensorului de curbură pot fi scrise după cum urmează. Parantezele denotă simetrizare ; indicele de după punct și virgulă înseamnă derivata covariantă.
(prima identitate Bianchi); (a doua identitate Bianchi).