Teoria K topologică

În matematică , teoria K topologică este un subset al topologiei algebrice . La începutul existenței sale, a fost aplicat studiului pachetelor vectoriale pe spații topologice cu idei recunoscute acum ca parte a teoriei K (generale) introduse de Alexander Grothendieck . Lucrările timpurii asupra teoriei K topologice sunt de Michael Atiyah și Friedrich Hirzebruch .

Definiții

Fie X un spațiu Hausdorff compact și sau . Apoi este definit ca grupul Grothendieck al unui monoid comutativ de mănunchiuri de vector de dimensiuni finite peste X cu o sumă Whitney . Produsul tensor al fasciculelor definește structura unui inel comutativ pe teoria K. Fără index, de obicei denotă teoria K complexă, în timp ce teoria K reală este uneori notă ca . În continuare, luăm în considerare teoria K complexă. $k=\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $K_{k}(X)$ $k$ $K(X)$ $KO(X)$

Ca exemplu inițial, rețineți că teoria K a unui punct este numerele întregi. Acest lucru se datorează faptului că toate pachetele vectoriale de pe un punct sunt banale și, prin urmare, sunt clasificate după rangul lor, în timp ce grupul Grothendieck de numere naturale este un număr întreg.

Există o versiune redusă a teoriei K , , care este definită pentru X , spații compacte cu un punct distins (cf. omologia redusă ). Teoria dată poate fi văzută intuitiv ca K ( X ) modulo mănunchiuri triviale . Este definit ca grupul de clase de echivalență stabile de pachete. Se spune că două mănunchiuri E și F sunt izomorfe stabil dacă există mănunchiuri triviale și , astfel încât . Această relație de echivalență definește o structură de grup pe mulțimea de mănunchiuri vectoriale, deoarece fiecare fascicul vectorial poate fi completat la un fascicul trivial prin însumare cu complement ortogonal. Pe de altă parte, poate fi definit ca nucleul mapării induse prin încorporarea punctului de bază x 0 în X. ${\widetilde {K}}(X)$ $\varepsilon_{1}$ $\varepsilon _{2}$ $E\oplus \varepsilon _{1}\cong F\oplus \varepsilon _{2)$ ${\widetilde {K}}(X)$ $K(X)\to K(x_{0})\cong \mathbb {Z}$

Teoria K este o teorie coomologică multiplicativă (generalizată) . Scurtă secvență exactă de spații cu punct distins ( X , A )

{\widetilde {K}}(X/A)\to {\widetilde {K}}(X)\to {\widetilde {K}}(A)

Continuă la o secvență lungă exactă

\cdots \to {\widetilde {K}}(SX)\to {\widetilde {K}}(SA)\to {\widetilde {K}}(X/A)\to {\widetilde {K} }} }}(X)\la {\widetilde {K}}(A).

Fie S n a n- a suspensie redusă a spațiului. Apoi definim:

{\widetilde {K}}^{-n}(X):={\widetilde {K}}(S^{n}X),\qquad n\geq 0.

Indicii negativi sunt aleși în așa fel încât maparea cofrontierei crește dimensiunea.

Este adesea logic să luăm în considerare versiunea neredusă a acestor grupuri, definită ca:

K^{-n}(X)={\widetilde {K}}^{-n}(X_{+}).

Unde este cu un punct evidențiat separat marcat cu un semn „+”. [unu] ${\displaystyle X_{+))$ $X$

În fine, teorema de periodicitate a lui Bott, formulată mai jos, ne oferă teorii cu indici pozitivi.

Proprietăți

K n și, respectiv,sunt functori contravarianți din categoria de homotopie a spațiilor (cu un punct distins) la categoria inelelor comutative. Prin urmare, de exemplu, teorie K - asupra spațiilor contractibile este ${\widetilde {K}}^{n}$ $\mathbb {Z} .$

Spectrul teoriei K este (cu topologie discretă pe ), i.e. unde [, ] denotă clase de mapare de spații etichetate până la homotopie, iar BU este o colimită a spațiilor de clasificare a grupurilor unitare : În mod similar, $BU\times \mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ $K(X)\cong \left[X^{+},\mathbb {Z} \times BU\right],$ $BU(n)\cong \operatorname {Gr} \left(n,\mathbb {C} ^{\infty}\right).$

{\widetilde {K}}(X)\cong [X,\mathbb {Z} \times BU].

Pentru teoria K reală se folosește spațiul BO .

Analogul operațiilor Steenrod din teoria K sunt operațiile Adams . Ele pot fi folosite pentru a defini clase caracteristice în teoria K topologică .

Principiul de divizare în teoria topologică K ne permite să reducem afirmațiile despre pachete de vectori arbitrare la declarații despre sume de pachete unidimensionale.

Izomorfismul Thom în teoria topologică K este:

K(X)\cong {\widetilde {K}}(T(E)),

unde T ( E ) este spațiul Thom al pachetului vectorial E peste X. Acest lucru este valabil atunci când E este un pachet de spin.

Secvența spectrală Atiyah-Hirzebruch permite calcularea grupurilor K din grupurile de coomologie obișnuite.

Teoria K topologică poate fi generalizată la un functor pe C*-algebre .

Periodicitatea lui Bott

Periodicitatea , numită după Raoul Botta , poate fi formulată după cum urmează:

$K(X\times \mathbb {S} ^{2})=K(X)\otimes K(\mathbb {S} ^{2}),$ și , unde H este clasa mănunchiului tautologic pe adică pe sfera Riemann . $K(\mathbb {S} ^{2})=\mathbb {Z} [H]/(H-1)^{2)$ $\mathbb {S} ^{2}=\mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C}),$

${\widetilde {K}}^{n+2}(X)={\widetilde {K}}^{n}(X).$

$\Omega ^{2}BU\cong BU\times \mathbb {Z} .$

În teoria K reală , există o periodicitate similară, doar modulo 8.

Aplicații

Cele mai faimoase două aplicații ale teoriei K topologice se datorează lui Frank Adams . El a rezolvat mai întâi problema identităţii Hopf invariant făcând calcule folosind operaţiile lui Adams . Apoi a demonstrat o limită superioară pentru numărul de câmpuri vectoriale liniar independente pe sfere.

Personajul lui Zhen

Michael Atiyah și Friedrich Hirzebruch au demonstrat o teoremă care leagă teoria topologică K a unui complex CW cu coomologia sa rațională. În special, au arătat că există un homomorfism $X$

ch:K_{\text{top}}^{*}(X)\otimes \mathbb {Q} \to H^{*}(X;\mathbb {Q} )

astfel încât

{\begin{aligned}K_{\text{top}}^{0}(X)\otimes \mathbb {Q} &\cong \bigoplus _{k}H^{2k}(X;\mathbb {Q} )\\K_{\text{top}}^{1}(X)\otimes \mathbb {Q} &\cong \bigoplus _{k}H^{2k+1}(X;\mathbb { Q} )\end{aliniat}}

Există un analog algebric care conectează grupul Grothendieck de snopi coerente și inelul Chow de o varietate proiectivă netedă . $X$

Vezi și

Teorema indicelui Atiyah-Singer

Link -uri

↑ [1] . Arhivat pe 17 aprilie 2018 la Wayback Machine

Literatură

Atiyah, Michael Francis. Teoria K. — al 2-lea. - Addison-Wesley , 1989. - (Advanced Book Classics). - ISBN 978-0-201-09394-0 .
Manual de K-Theory. - Springer-Verlag , 2005. - ISBN 978-3-540-30436-4 .
Karoubi, Max. Teoria K: o introducere. - Springer-Verlag , 1978. - ISBN 0-387-08090-2 .
Hatcher. Pachetele vectoriale și teoria K. (nedefinit)
Stykow. Conexiuni ale teoriei K la geometrie și topologie . (nedefinit)
Karoubi, Max (2006), Teoria K. O introducere elementară, arΧiv : math/0602082 .