Deltaedre

Deltaedrul este un poliedru ale cărui fețe sunt triunghiuri regulate . Numele este preluat din litera majusculă grecească delta ( ), care are forma unui triunghi echilateral. Există infinit de multe deltaedre, dar doar opt dintre ele sunt convexe și au 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 și 20 de fețe [1] .

Numărul de fețe, muchii și vârfuri este listat mai jos pentru fiecare dintre cele opt deltaedre.

Deltaedre convexe

În total, există 8 deltaedre convexe [2] , dintre care 3 sunt solide platonice , iar 5 sunt poliedre Johnson .

Într-un deltaedru cu 6 fețe, unele vârfuri sunt de gradul 3, iar unele sunt de gradul 4. În deltaedre cu 10, 12, 14 și 16 fețe, unele vârfuri sunt de gradul 4, iar unele sunt de gradul 5. Aceste cinci deltaedre neregulate aparțin clasei poliedrelor cu fețe regulate - poliedre convexe cu poligoane regulate ca fețe.

Nu există deltaedru convex cu 18 fețe [3] . Cu toate acestea, un icosaedru cu muchia contractată oferă un exemplu de octaedru , care poate fi fie convex cu 18 fețe neregulate, fie cu două seturi de trei triunghiuri echilaterale situate în același plan.

Deltaedre regulate
Nume Imagine Numărul
de vârfuri 		Numărul de
coaste 		Numărul de
fețe 		Configurația
vârfurilor 		Grupul de simetrie
tetraedru regulat patru 6 patru 4 x 3 3 T d , [3,3]
Octaedru regulat (bipiramidă patruunghiulară) 6 12 opt 6× 34 O h , [4,3]
Icosaedru regulat 12 treizeci douăzeci 12 × 35 eu h , [5,3]
Deltaedra Johnson
bipiramida triunghiulara 5 9 6 2 x 3 3
3 x 3 4 		D 3h , [3,2]
Bipiramidă pentagonală 7 cincisprezece zece 5 x 3 4
2 x 3 5 		D 5h , [5,2]
biclinoid scuamos opt optsprezece 12 4 x 3 4
4 x 3 5 		D2d , [2,2 ]
Prismă triunghiulară triplă extinsă 9 21 paisprezece 3 x 3 4
6 x 3 5 		D 3h , [3,2]
Bipiramidă patruunghiulară alungită răsucită zece 24 16 2 x 3 4
8 x 3 5 		D4d , [4,2 ]

Cazuri nestrict convexe

Există infinit de deltaedre cu triunghiuri coplanare (în același plan). Dacă seturile de triunghiuri coplanare sunt considerate a fi o singură față, mai puține fețe, muchii și vârfuri pot fi numărate. Fețele triunghiulare coplanare pot fi topite în fețe rombice, trapezoidale, hexagonale sau alte fețe poligonale echilaterale. Fiecare față trebuie să fie un polimond convex , cum ar fi , , , , , și , ... [4]

Câteva mici exemple

Deltaedre coplanare
Imagine Nume chipuri coaste Vârfurile Configurații de vârf Grupul de simetrie
Octaedru extins
Extensie
1 tetra. + 1 octombrie 		zece cincisprezece 7 1 x 3 3
3 x 3 4
3 x 3 5
0 x 3 6 		C 3v , [3]
4 3
 12
Trapezoedru triunghiular
Extensie
2 tetra. + 1 octombrie 		12 optsprezece opt 2 x 3 3
0 x 3 4
6 x 3 5
0 x 3 6 		C 3v , [3]
6 12
Extensia
2 tetra. + 1 octombrie 		12 optsprezece opt 2 x 3 3
1 x 3 4
4 x 3 5
1 x 3 6 		C 2v , [2]
2 2 2

 unsprezece 7
Piramida trunchiată triunghiulară
Extensie
3 tetra. + 1 octombrie 		paisprezece 21 9 3 x 3 3
0 x 3 4
3 x 3 5
3 x 3 6 		C 3v , [3]
1 3 1

 9 6
Octaedru alungit
Extensie
2 tetra. + 2 octombrie 		16 24 zece 0 x 3 3
4 x 3 4
4 x 3 5
2 x 3 6 		D 2h , [2,2]
4 4
 12 6
Tetraedru
Extensie
4 tetra. + 1 octombrie 		16 24 zece 4 x 3 3
0 x 3 4
0 x 3 5
6 x 3 6 		T d , [3,3]
patru 6 patru
Extensia
3 tetra. + 2 octombrie 		optsprezece 27 unsprezece 1 x 3 3
2 x 3 4
5 x 3 5
3 x 3 6 		D 2h , [2,2]
2 1 2 2


 paisprezece 9
Icosaedru cu marginea contractată optsprezece 27 unsprezece 0 x 3 3
2 x 3 4
8 x 3 5
1 x 3 6 		C 2v , [2]
12 2
 22 zece
Bi-truncated bipyramid
Extensie
6 tetra. + 2 octombrie 		douăzeci treizeci 12 0 x 3 3
3 x 3 4
6 x 3 5
3 x 3 6 		D 3h , [3,2]
26 _
 cincisprezece 9
Dom cu trei pasuri
Extensie
4 tetra. + 3 octombrie 		22 33 13 0 x 3 3
3 x 3 4
6 x 3 5
4 x 3 6 		C 3v , [3]
3 3 1 1


 cincisprezece 9

Extensie bipiramida triunghiulara
8 tetra. + 2 octombrie 		24 36 paisprezece 2 x 3 3
3 x 3 4
0 x 3 5
9 x 3 6 		D 3h , [3]
6 9 5
Antiprismă hexagonală 24 36 paisprezece 0 x 3 3
0 x 3 4
12 x 3 5
2 x 3 6 		D 6d , [12,2 + ]
12 2
 24 12
Tetraedru trunchiat
Extensie
6 tetraedru. + 4 octombrie 		28 42 16 0 x 3 3
0 x 3 4
12 x 3 5
4 x 3 6 		T d , [3,3]
4 4
 optsprezece 12
Tetrakiskuboctahedron
Octahedron
Extension
8 tetra. + 6 octombrie 		32 24 optsprezece 0 x 3 3
12 x 3 4
0 x 3 5
6 x 3 6 		O h , [4,3]
opt 12 6

Deltaedre neconvexe

Există o infinitate de deltaedre neconvexe și toroidale .

Un exemplu de deltaedru cu fețe care se intersectează

Alte deltaedre neconvexe pot fi obținute prin adăugarea de piramide pe fețele tuturor celor 5 poliedre regulate:

Triakistetraedrul Tetrakishexaedru Triakisoctaedru
( stella octangula ) 		Pentakisdodecaedru Triakisicosaedrul
12 triunghiuri 24 de triunghiuri 60 de triunghiuri

Alte extensii de tetraedre:

Exemple: Tetraedre crescute
8 triunghiuri 10 triunghiuri 12 triunghiuri

De asemenea, prin adăugarea de piramide inversate pe fețe:


Dodecaedru crestat
deltaedru toroidal
60 de triunghiuri 48 de triunghiuri

Note

  1. ↑ Freudenthal, van der Waerden, 1947 , p. 115–128.
  2. ↑ Deltaedre convexe . Preluat la 6 iunie 2016. Arhivat din original la 26 septembrie 2020.
  3. ↑ Trigg, 1978 , p. 55–57.
  4. ↑ Deltaedrele convexe și permisiunea fețelor coplanare . Consultat la 13 octombrie 2017. Arhivat din original la 19 octombrie 2015.

Literatură