Functie continua

Funcție continuă - o funcție care se modifică fără „sărituri” instantanee (numite pauze ), adică una ale cărei mici modificări ale argumentului duc la mici modificări ale valorii funcției. Graficul unei funcții continue este o linie continuă .

O funcție continuă, în general, este un sinonim pentru conceptul de mapare continuă , cu toate acestea, cel mai adesea acest termen este folosit într-un sens mai restrâns - pentru mapările între spațiile numerice, de exemplu, pe linia reală . Acest articol este dedicat funcțiilor continue definite pe un subset de numere reale și luând valori reale. Pentru o variație a acestui concept pentru funcțiile unei variabile complexe, vezi articolul Analiză complexă .

Definiție

Lasă și . Există mai multe definiții echivalente pentru continuitatea unei funcții într-un punct . $D\subset \mathbb {R}$ $f:D\la \mathbb {R}$ $x_{0}\în D$

Definiție în termeni de limită : o funcție este continuă într-un punct limită pentru o mulțime dacă are o limită într-un punct , iar această limită coincide cu valoarea funcției : $f$ $x_{0}$ $D$ $f$ $x_{0}$ $f(x_{0})$ $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$
Definiție folosind formalismul ε-δ : O funcție este continuă într-un punct dacă pentru oricare există astfel încât pentru orice , $f$ $x_{0}\în D$ $\varepsilon >0$ $\delta>0$ $x\în D$ $|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon .$

Comentariu: În comparație cu definiția limitei unei funcții conform lui Cauchy , nu există o cerință în definiția continuității care să oblige toate valorile argumentului să îndeplinească condiția , adică să fie diferite de a.

X

0<\left\vert xa\right\vert

Definiție folosind simboluri o: o funcție este continuă într-un punct dacă $f$ $x_{0}$ $f(x_{0}+\delta )=f(x_{0})+o(1)$ , la . $\delta \to 0$
Definiție prin fluctuații : o funcție este continuă într-un punct dacă fluctuația sa într-un punct dat este zero.

O funcție este continuă pe o mulțime dacă este continuă în fiecare punct al mulțimii date. $f$ $E$

În acest caz, ei spun că clasa funcţionează şi scrie: sau, mai detaliat, . $f$ $C^{0}$ $f\în C^{0}(E)$ $f\in C^{0}(E,\mathbb {R} )$

Puncte de întrerupere

Dacă condiția inclusă în definiția continuității unei funcții este încălcată la un moment dat, atunci ei spun că funcția luată în considerare suferă o discontinuitate în acest moment . Cu alte cuvinte, dacă este valoarea funcției în punctul , atunci limita unei astfel de funcție (dacă există) nu coincide cu . În limbajul vecinătăților, condiția de discontinuitate pentru o funcție într-un punct se obține prin negarea condiției de continuitate pentru funcția luată în considerare într-un punct dat, și anume: există o astfel de vecinătate a punctului din domeniul de funcții încât indiferent cât de aproape ajungem la punctul domeniului functional , vor exista intotdeauna puncte ale caror imagini vor fi in afara vecinatatii punctului . $A$ $f$ $A$ $A$ $f$ $A$ $A$ $f$ $A$ $f$ $A$

Clasificarea punctelor de discontinuitate în R¹

Clasificarea discontinuităților funcțiilor depinde de modul în care sunt aranjate mulțimile X și Y. Iată o clasificare pentru cel mai simplu caz - . Punctele singulare (punctele în care funcția nu este definită) sunt clasificate în același mod . Este de remarcat faptul că clasificarea în diferă de la autor la autor. $f:X\la Y$ $f:\mathbb {R} \la \mathbb {R}$ $\mathbb {R}$

Dacă funcția are o discontinuitate într-un punct dat (adică limita funcției într-un punct dat este absentă sau nu se potrivește cu valoarea funcției într-un punct dat), atunci pentru funcțiile numerice există două opțiuni posibile asociate cu existența limitelor unilaterale pentru funcțiile numerice :

dacă ambele limite unilaterale există și sunt finite, atunci un astfel de punct se numește punct de discontinuitate de primul fel . Punctele de discontinuitate de primul fel includ discontinuități amovibile și salturi .
dacă cel puțin una dintre limitele unilaterale nu există sau nu este o valoare finită, atunci un astfel de punct se numește punct de discontinuitate de al doilea fel . Punctele de discontinuitate de al doilea fel includ poli și punctele de discontinuitate esențiale .

Decalaj reparabil
Tip de pauză „săritură”
Punct singular de tip „pol”. Dacă redefinim funcția pentru x=2, obținem o discontinuitate „pol”.
Punct de pauză semnificativ

Punct de întrerupere amovibil

Dacă limita funcției există și este finită , dar funcția nu este definită în acest moment sau limita nu se potrivește cu valoarea funcției în acest moment:

\lim \limits _{x\to a}f(x)\neq f(a)

atunci punctul se numește punct de discontinuitate de unică folosință a funcției (în analiza complexă este un punct singular de unică folosință ). $A$ $f$

Dacă „corectăm” funcția în punctul unei discontinuități amovibile și punem , atunci obținem o funcție care este continuă în acest punct. O astfel de operație asupra unei funcții se numește extinderea definiției unei funcții la continuu sau extinderea definiției unei funcții prin continuitate , ceea ce justifică numele punctului ca punct al unei discontinuități amovibile . $f$ $f(a)=\lim \limits _{x\to a}f(x)$

Punct de întrerupere „sărit”

Un „salt” de discontinuitate apare dacă

\lim \limits _{x\to a-0}f(x)\neq \lim \limits _{x\to a+0}f(x)

. Punct de rupere „pol”

O discontinuitate „pol” apare dacă una dintre limitele unilaterale este infinită.

\lim \limits _{x\to a-0}f(x)=\pm \infty

sau .

\lim \limits _{x\to a+0}f(x)=\pm \infty

Punct de întrerupere esențial

În punctul unei discontinuități semnificative, cel puțin una dintre limitele unilaterale este absentă cu totul.

Clasificarea punctelor singulare izolate în R n , n>1

Pentru funcții și nu este nevoie să lucrați cu puncte de întrerupere, dar de multe ori trebuie să lucrați cu puncte singulare (puncte în care funcția nu este definită). Clasificarea punctelor singulare izolate (adică a celor în care nu există alte puncte singulare într-o anumită vecinătate) este similară. $f:\mathbb {R} ^{n}\la \mathbb {R} ^{n}$ $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$

Dacă , atunci este un punct singular amovibil (similar cu funcția argument real). $\există \lim \limits _{x\to a}f(x)$
Polul este definit ca . În spațiile multidimensionale, dacă modulul unui număr crește, se consideră că indiferent cum crește acesta. $\lim \limits _{x\to a}f(x)=\infty$ $f(x)\la \infty$
Dacă limita nu există deloc, este un punct singular esențial .

Lipsește conceptul de „săritură”. Ceea ce este considerat un salt în spații de dimensiuni mai mari este un punct singular esențial. $\mathbb {R}$

Proprietăți

Local

O funcție continuă într-un punct este mărginită într-o vecinătate a acestui punct. $A$
Dacă funcția este continuă în punctul și (sau ), atunci (sau ) pentru toate suficient de aproape de . $f$ $A$ $f(a)>0$ $f(a)<0$ $f(x)>0$ $f(x)<0$ $X$ $A$
Dacă funcțiile și sunt continue în punctul , atunci funcțiile și sunt, de asemenea, continue în punctul . $f$ $g$ $A$ $f+g$ $f\cdot g$ $A$
Dacă funcțiile și sunt continue în punctul și , atunci funcția este , de asemenea, continuă în punctul . $f$ $g$ $A$ $g(a)\neq 0$ $f/g$ $A$
Dacă o funcție este continuă într-un punct și o funcție este continuă într-un punct , atunci compoziția lor este continuă într-un punct . $f$ $A$ $g$ $b=f(a)$ $h=g\circf$ $A$

Global

Teorema de continuitate uniformă : O funcție care este continuă pe un segment (sau orice altă mulțime compactă ) este uniform continuă pe acesta.
Teorema lui Weierstrass asupra unei funcții pe un compact : o funcție care este continuă pe un segment (sau orice altă mulțime compactă ) este mărginită și își atinge valorile maxime și minime pe ea.
Intervalul unei funcții care este continuă pe interval este intervalul în care sunt luate minimum și maxim de-a lungul intervalului . $f$ $[a,b]$ $[\min f,\\max f],$ $[a,b]$
Dacă funcția este continuă pe interval și atunci există un punct în care . $f$ $[a,b]$ $f(a)\cdot f(b)<0,$ $\xi \in(a,b),$ $f(\xi )=0$
Teorema valorii intermediare : dacă funcția este continuă pe interval și numărul satisface inegalitatea sau inegalitatea, atunci există un punct în care . $f$ $[a,b]$ $\varphi$ $f(a)<\varphi <f(b)$ $f(a)>\varphi >f(b),$ $\xi \in(a,b),$ $f(\xi )=\varphi$
O mapare continuă de la un segment la linia reală este injectivă dacă și numai dacă funcția dată pe segment este strict monotonă .
O funcție monotonă pe un segment este continuă dacă și numai dacă domeniul său este un segment cu puncte finale și . $[a,b]$ $fa)$ $f(b)$
Dacă funcțiile și sunt continue pe segmentul , și și atunci există un punct în care Din aceasta, în special, rezultă că orice mapare continuă a segmentului în sine are cel puțin un punct fix . $f$ $g$ $[a,b]$ $f(a)<g(a)$ $f(b)>g(b),$ $\xi \in(a,b),$ $f(\xi )=g(\xi ).$

Exemple

Funcții elementare

Polinoamele arbitrare , funcțiile raționale , funcțiile exponențiale , logaritmii , funcțiile trigonometrice (directe și inverse) sunt continue peste tot în domeniul lor de definiție.

Funcție de pauză detașabilă

Funcție dată de formulă $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,$

f(x)={\begin{cazuri}{\frac {\sin x}{x)),&x\neq 0\\0,&x=0\end{cazuri))

este continuu in orice punct Punctul este un punct de discontinuitate, deoarece limita functiei $x\neq 0.$ $x=0$

\lim \limits _{x\to 0}f(x)=\lim \limits _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1\neq f(0).

Funcția de semnare

Funcţie

f(x)=\operatorname {sgn} x={\begin{cases}-1,&x<0\\0,&x=0\\1,&x>0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R}

se numește funcția semn .

Această funcție este continuă în fiecare punct . $x\neq 0$

Punctul este un punct de discontinuitate de primul fel și $x=0$

\lim \limits _{x\to 0-}f(x)=-1\neq 1=\lim \limits _{x\to 0+}f(x)

în timp ce funcția dispare în punctul însuși.

Funcția Heaviside

Funcția Heaviside , definită ca

f(x)={\begin{cases}1,&x\geqslant 0\\0,&x<0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R}

este continuă peste tot, cu excepția punctului în care funcția suferă o discontinuitate de primul fel. Cu toate acestea, există o limită din partea dreaptă la punctul, care este aceeași cu valoarea funcției în punctul dat. Astfel, această funcție este un exemplu de funcție dreaptă-continuă pe întregul domeniu al definiției . $x=0$ $x=0$

În mod similar, funcția pas definită ca

f(x)={\begin{cases}1,&x>0\\0,&x\leqslant 0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R}

este un exemplu de funcție stângă-continuă pe întregul domeniu al .

Funcția Dirichlet

Funcţie

f(x)={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q} \\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases))

se numește funcția Dirichlet . În esență, funcția Dirichlet este funcția caracteristică a mulțimii numerelor raționale . Această funcție este discontinuă în fiecare punct , deoarece într-o vecinătate arbitrar mică a oricărui punct există atât numere raționale, cât și iraționale.

Funcția Riemann

Funcţie

f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{n)),&x={\frac {m}{n)}\in \mathbb {Q} ,\ {\text{ mcd}}(m,n)=1\\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}

se numește funcția Riemann sau „funcția Thomas”.

Această funcție este continuă pe mulțimea numerelor iraționale ( ), deoarece limita funcției în fiecare punct irațional este egală cu zero (dacă șirul este , atunci cu necesitate ). În toate punctele raționale este discontinuă. $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ $x_{k}=m_{k}/n_{k}\la x\notin \mathbb {Q}$ $n_{k}\la \infty$

Variații și generalizări

Continuitate uniformă

O funcție este numită uniform continuă pe dacă pentru oricare există astfel încât pentru oricare două puncte și astfel încât , . $f$ $E$ $\varepsilon >0$ $\delta>0$ $x_{1}$ $x_{2}$ $|x_{1}-x_{2}|<\delta$ $|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon$

Fiecare funcție uniform continuă pe un set este evident și continuă pe acesta. În general, invers nu este adevărat. Totuși, dacă domeniul de definiție este compact, atunci și funcția continuă se dovedește a fi uniform continuă pe segmentul dat. $E$

Semicontinuitate

Există două proprietăți care sunt simetrice între ele - semicontinuitatea inferioară și semicontinuitatea superioară :

se spune că o funcţie este semicontinuă inferioară într-un punct dacă pentru oricare există o vecinătate astfel încât pentru orice ; $f$ $A$ $\varepsilon >0$ $U_{E}(a)$ $f(x)>f(a)-\varepsilon$ $x\în U_{E}(a)$
se spune că o funcție este semicontinuă superioară într-un punct dacă pentru oricare există o vecinătate astfel încât pentru orice . $f$ $A$ $\varepsilon >0$ $U_{E}(a)$ $f(x)<f(a)+\varepsilon$ $x\în U_{E}(a)$

Există următoarea relație între continuitate și semi-continuitate:

dacă luăm o funcție care este continuă în punct și micșorăm valoarea (cu o valoare finită), atunci obținem o funcție care este mai mică semicontinuă în punctul ; $f$ $A$ $fa)$ $A$
dacă luăm o funcție care este continuă în punctul și creștem valoarea (cu o cantitate finită), atunci obținem o funcție care este semicontinuă superioară în punctul . $f$ $A$ $fa)$ $A$

În conformitate cu aceasta, putem admite valori infinite pentru funcțiile semicontinue:

daca , atunci presupunem ca o astfel de functie este mai mica semicontinua in punctul ; $f(a)=-\infty$ $A$
dacă , atunci presupunem că o astfel de funcție este semicontinuă superioară în punctul . $f(a)=+\infty$ $A$

Continuitate unidirecțională

O funcție este numită continuă în stânga (dreapta) într-un punct din domeniul său de definiție dacă următoarea egalitate este valabilă pentru limita unilaterală : $f$ $x_{0}$ $f(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}-}f(x)$ $(f(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}+}f(x)).$

Continuitate aproape peste tot

Pe linia reală, măsura Lebesgue liniară simplă este de obicei considerată . Dacă o funcție este de așa natură încât este continuă peste tot , cu excepția, poate, a unui set de măsură zero, atunci se spune că o astfel de funcție este continuă aproape peste tot . $f$ $E$

În cazul în care mulțimea punctelor de discontinuitate ale unei funcții este cel mult numărabilă, obținem o clasă de funcții integrabile Riemann (vezi criteriul de integrabilitate Riemann pentru o funcție).

Note

Literatură

Zorich V. A. Analiză matematică, partea I. - M . : Fizmatlit, 1984. - 544 p.