Lie algebră

Algebra Lie este un obiect al algebrei generale , care este un spațiu vectorial cu o operație biliniară anticomutativă definită pe el (numită paranteză Lie sau comutator) care satisface identitatea Jacobi . În general, o algebră Lie este o algebră non -asociativă . Este numit după matematicianul norvegian Sophus Lie ( 1842-1899 ).

Algebra Lie apare în mod natural în studiul proprietăților infinitezimale ale grupurilor Lie . În fizică, grupurile de Lie apar ca grupuri de simetrie ale sistemelor fizice, iar algebrele lor Lie (vectori tangențiali apropiați de unitate) pot fi considerate ca mișcări de simetrie infinitezimală. Grupurile de minciună și algebrele sunt utilizate pe scară largă în fizica cuantică.

Definiție

O algebră Lie (altfel, o algebră Lie) este un spațiu vectorial deasupra unui câmp echipat cu o mapare biliniară $\mathfrak{L}$ $K$

{\mathfrak {L}}^{2}\la {\mathfrak {L}},\ \ (x,y)\mapsto [x,y],

îndeplinirea următoarelor două axiome :

$[x,x]=0$ ;
$[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0$ ( identitatea Jacobi ).

Cu alte cuvinte, algebrei Lie i se oferă o operație anticomutativă care satisface identitatea Jacobi . Această operație se numește comutator sau Lie bracket .

Note

Identitatea implică anticomutativitatea operatorului, . Într-adevăr, identitatea decurge din biliniaritatea operatorului . $[x,x]=0$ $[x,y]=-[y,x]$ $[x,y]+[y,x]=[x+y,x+y]-[x,x]-[y,y]$
Dacă caracteristica câmpului este , atunci este și inversul adevărat: identitatea decurge din anticomutativitate . ${\mathrm {char}}(K)\neq 2$ $[x,y]+[y,x]=0$ $[x,x]=0$
Conceptele de subalgebră , ideal , algebră coeficientă și homomorfism sunt definite în mod obișnuit.
Uneori, în definiția unei algebre Lie, un spațiu vectorial este înlocuit cu un modul (peste un inel comutativ cu o unitate).

Exemple

Spațiu vectorial tridimensional

Spațiul vectorial tridimensional obișnuit este o algebră Lie în ceea ce privește operația cu produsul încrucișat .

Algebre liniare Lie

Este folosit și termenul de algebre Lie matriceale .

Dacă este un spațiu vectorial cu dimensiuni finite peste ( ), atunci mulțimea transformărilor sale liniare este și un spațiu vectorial peste . Are dimensiune și poate fi reprezentat ca un spațiu de matrice . În acest spațiu vectorial este dată o operație naturală de înmulțire (compunerea transformărilor). Să definim funcționarea parantezei Lie prin formula . Spațiul cu paranteza Lie introdusă astfel satisface toate axiomele algebrei Lie. $V$ $K$ ${\mathrm {dim}}\;V=n$ ${\mathrm {Sfârșit}}\;V$ $K$ ${\mathrm {dim}}({\mathrm {Sfârșit}}\;V)=n^{2}$ $n\ ori n$ $[x,y]=xy-yx$ ${\mathrm {Sfârșit}}\;V$

Pentru a distinge algebra Lie rezultată de algebra asociativă originală a transformărilor liniare, se notează . Această algebră Lie se numește algebră Lie liniară completă . În cazul unui spațiu V cu dimensiuni infinite, se folosește și notația . Orice subalgebră din se numește algebră Lie liniară ${\mathfrak {gl}}\;(V)$ ${\mathfrak {gl}}\;(V)$ ${\mathfrak {gl}}\;(V)$

Algebre asociative și algebre Lie

Fie o algebră asociativă arbitrară peste cu înmulțire: → . Are structura naturală a unei algebre Lie peste , dacă definim paranteza Lie prin înmulțire asociativă cu formula: , această expresie se numește comutator . ${\mathfrak {A}}$ $K$ $(X y)$ $X y$ $K$ $[x,y]=xy-yx$

Operația inversă, conform algebrei Lie, se construiește o algebră asociativă, numită algebră învelitoare universală . Algebra Lie originală este încorporată în algebra asociativă construită.

Lie algebra câmpurilor vectoriale

Dacă M este o varietate netedă , atunci spațiul tuturor câmpurilor vectoriale diferențiabile definite pe ea formează o algebră Lie cu dimensiuni infinite. Operația care transformă câmpurile vectoriale într-o algebră Lie poate fi descrisă în mai multe moduri echivalente.

Folosind derivata Lie a câmpului Y în direcția câmpului X :

[X,Y]\equiv L_{X}Y

Dacă un sistem de coordonate local este dat pe varietatea , atunci în reprezentarea de coordonate comutatorul câmpurilor vectoriale este egal cu $(t_{1},...,t_{n})$

[X,Y]^{i}=X^{j}\partial _{j}Y^{i}-Y^{j}\partial _{j}X^{i},

unde, ca de obicei, însumarea peste un indice repetat j este implicită și

\partial _{j}Y^{i}(t_{1},...,t_{n})={\frac {\partial }{\partial t_{{j))))Y^{i} (t_{1},...,t_{n})

\partial _{j}X^{i}(t_{1},...,t_{n})={\frac {\partial }{\partial t_{{j))))X^{i} (t_{1},...,t_{n})

— derivate parțiale ale funcțiilor de -a lungul direcțiilor t j .

Y^{i}(t_{1},...,t_{n}),X^{i}(t_{1},...,t_{n})

Alegând o metrică riemanniană arbitrară pe varietate, se poate demonstra că

[X,Y]=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X

, unde sunt câmpuri vectoriale și este derivata covariantă față de direcția câmpului vectorial X. Echivalența cu definițiile date mai sus arată că rezultatul este de fapt independent de alegerea metricii.

X Y

\nabla _{X}

Câmpurile vectoriale unu-la-unu corespund unor derivări ale algebrei funcțiilor pe o varietate, comutatorul derivărilor este din nou o derivație (vezi secțiunea următoare) și, prin urmare, definește un câmp vectorial.

Identitatea Jacobi pentru algebra câmpului vectorial poate fi rescrisă ca regula Leibniz pentru derivata Lie:

[X,[Y,Z]]=[[X,Y],Z]+[Y,[X,Z]]\Longftrightarrow L_{X}[Y,Z]=[L_{X}Y,Z] +[Y,L_{X}Z]

Observație: Grupul de difeomorfism al unei varietăți ar trebui considerat informal un „grup Lie” pentru algebra Lie a câmpurilor vectoriale dintr-o varietate. Deși în cazul cu dimensiuni infinite, corespondența dintre grupuri și algebrele Lie nu este formală, cu toate acestea, multe proprietăți pot fi generalizate cu ușurință (deși unele nu mai sunt adevărate).

Ansamblul tuturor derivațiilor algebrelor K și algebrelor Lie

O derivare în algebră este o mapare liniarăcare satisface regula Leibniz pentru derivarea unui produs. Mulțimea tuturor derivațiiloreste un subspațiu vectorial în. Comutatorul a două derivații este din nou o derivație, la fel și o subalgebră în. ${\mathfrak {A}}$ $\delta :{\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {A}}$ $\delta (ab)=a\delta (b)+\delta (a)b$ $\operatorname {Der}\;{\mathfrak {A}}$ $\operatorname {End}\;{\mathfrak {A}}$ $\operatorname {Der}\;{\mathfrak {A}}$ ${\mathfrak {gl(A)))$

Alături de derivările de algebre arbitrare, se poate lua în considerare un caz particular de derivare a unei algebre Lie . În algebrele Lie, unele derivări apar într-un mod natural. Endomorfismele asociate sunt derivate ale unei algebre Lie de forma . Astfel de derivații se numesc interne , restul sunt numite externe . Maparea se numește reprezentarea adjunctă a algebrei Lie . $L$ $L$ $\operatorname {ad}\;x\colon y\to [x,y];x,y\in L$ $L\la \operatorname {Der}\;L;\;x\mapsto \operatorname {ad}\;x$

Derivațiile interne se formează într-o subalgebră izomorfă cu factorul algebrei algebrei în raport cu centrul acesteia . $\operatorname {Der}(L)$ $\operatorname {ad}\;L$ $L/Z(L)$ $L$ $Z(L):=\{x\in L\mid [x,y]=0;\forall y\in L\}$

Vezi și

Literatură

Serre J.-P. Lie Algebras and Lie Groups Copie de arhivă din 20 februarie 2007 la Wayback Machine
Resurse ale bibliotecii de fizică și matematică Arhivat la 14 iulie 2007 pe site-ul web Wayback Machine al EqWorld - „Lumea ecuațiilor matematice” Arhivat la 3 octombrie 2008 la Wayback Machine .
Seminar „Minciuna Sophus”. Teoria algebrelor Lie. Topologia grupurilor Lie. — M .: IL, 1962 (djvu) .
Nomizu K. Grupuri de Lie și geometrie diferențială. — M. : IL, 1960 (djvu)
Bourbaki N. Grupuri de Lie și algebre. Capitolele I-III. M.: Mir, 1976. 496 p.
Bourbaki N. Grupuri de Lie și algebre. Capitolul IX. M.: Mir, 1986. 174 p.
Humphries J. Introducere în teoria algebrelor Lie și reprezentările lor - M. : MTsNMO, 2003.

Dicționare și enciclopedii

În cataloagele bibliografice
BNE : XX535297 BNF : 119444791 GND : 4130355-6 J9U : 987007529233905171 LCCN : sh85076782 NDL : 00567367 NKC : ph234835 SUDOC : 027392600